专题09,,相似与图形位似变换,考察题型,（解析版）

时间：2020-11-05 12:09:15 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　 专题 09

　相似与图形的位似变换 考察题型

　 【考查题型思维导图】

　◉题型一 、比例线段的基本性质

　例 例 1 ．（2019· 泰州市智堡实验学校初三月考）段 已知线段 a=4cm ，线段 b=9cm ，线段 c 是线段 a 、b 的比例中项，则段 线段 c 等于（

　）

　A． ．5cm B． ．6cm C． ．13cm D． ．36cm 【答案】B 【解析】由 c 是线段 a，b 的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得答案． 【详解】解：∵c 是线段 a，b 的比例中项，a=4cm，b=9cm， ∴c 2 =ab=36， ∴c=6cm． 故选：B． 【点睛】此题考查了比例中项的定义．解题的关键是熟记比例中项的定义． 练习 1 ．（2018· 山东长清初三期中）若 若 3x=5y ，则xy=_______ ；已知2a c eb d f  且 且 b+d+f ≠0 则 则a c eb d f  =__________. 【答案】53

　2

　 【解析】根据比例的基本性质即可求解；根据等比性质求解即可. 【详解】若 3x=5y，则xy=53 ； ∵2a c eb d f  且 b+d+f≠0 ∴a c eb d f  =2 故答案为：53；2 【点睛】本题考查的是比例的基本性质及等比性质，熟练掌握两个性质是关键. 练习 2 ．（2019· 洪雅县实验中学校初三期中）为 比例尺为 1 ∶4000000 的地图上，两城市间的图上距离为 3cm ，则这两城市间的实际距离为________km. 【答案】120 【解析】

　试题解析：根据比例尺公式：比例尺=图上距离/实地距离，得到：实地距离=图上距离/比例尺，即：

　13 3 4000000 12000000cm=120km.4000000   

　故答案为 120.

　练习 3 ．（2020· 安徽无为初三月考）

　如图：

　/ / AD BC ， AC ， BD ， EF 点 相较于点 G， ， DEG △ ， AGE ， BFG ，FGC △ 为 的面积分别记为 a ，b ，c ，d ，若 2 AE DE  ，则24a cb d  的值为__________ ．

　【答案】12 【解析】根据题意△AGE 和△DEG 高相等，底是两倍关系所以面积也是两倍关系，即 b=2a，同理 d=2c，将代数式中的 b 和 d转换成 a 和 c即可解出． 【详解】∵AE=2DE， ∴S △ AGE =2S △ DEG ， 又∵AD∥BC，

　 ∴1= =2BFG DEGFGC AGES SS S△ △△ △， ∴b=2a，d=2c，  2 2 2 14 2 2 4 2 2 2a c a c a cb d a c a c            ． 故答案为12． 【点睛】本题考查相似比的应用，关键在于通过线段比转换成面积比． 练习 4 ．（2019· 四川南江初三期末）

　已知：已知2 3 5x y z  ≠0 ，求2 23 22x xy zxy yz 的值． 【答案】﹣12． 【解析】设比为 k，将 x,y,z 均用 k 表示，代入所求代数式进行计算即可. 【详解】设2x＝3y＝5z＝k，则 x＝2k，y＝3k，z＝5k， ∴ 原式＝2 2 22 24 18 5012 15k k kk k ＝22363kk ＝-12． 【点睛】本题考查比的性质，设参数 k，将 x,y,z 用 k 表示代入是解决此类求比问题的常用方法. ◉题型二 、黄金分割

　例 例 1 ．（2020· 全国初三课时练习）

　如图，已知点

　P 是线段

　AB 的黄金分割点，且

　PA>PB ，若

　S S 1 1

　 表示以

　PA 为边的正方形的面积，S S 2 2 表示长

　为

　AB 、宽为

　PB 的矩形的面积，则（

　）

　A ．S S 1 1 =S 2 2

　B ．S S 1 1 >S 2 2

　C ．S S 1 1 <S 2 2

　D ． 无法确定

　S S 1 1 和

　S S 2 2 的大小 【答案】A 【解析】根据黄金分割的概念知：AP BPAB AP ，

　变形后求解． 【详解】由题意得：AP BPAB AP ， 即2. AP AB BP  

　∴2121.S APS AB PB 

　即：S 1 =S 2

　故选:A.

　 【点睛】考查黄金分割的定义，根据黄金分割的定义得到AP BPAB AP ， 是解题的关键. 练习 1 ．（2020· 全国初三课时练习）点 已知点 C 在线段 AB 上，且点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则下列结论正确的是（ （

　）

　A． ．AB 2 =AC•BC B． ．BC 2 =AC•BC C． ．AC=5 12BC D． ．BC= 3 52AB 【答案】D 】

　【解析】【详解】∵点 C 是线段 AB 的黄金分割点且 AC＞BC， ∴5 12BC ACAC AB  ，即 AC 2 =BC•AB，故 A、B 错误； ∴AC=5 12AB，故 C 错误； ∴BC=5 12AC=3 52-AB，故 D正确； 故选 D． 【点睛】本题主要考查黄金分割，黄金分割的定义是：“把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割．其比值是5 12，近似值为 0.618”. 练习 2 ．（2020· 全国初三专题练习）知 已知 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP>BP ，那么下列比例式能成立的是(

　) A ．AB APAP BP

　B ．AB BPAP AB

　C ．BP ABAP BP

　D ．5 12ABAP 【答案】A 【解析】由于点 P是线段 AB 的黄金分割点，且 AP>BP，故有 AP 2 =BP×AB，那么AB APAP BP . 【详解】∵点 P是线段 AB 的黄金分割点，且 AP>BP， ∴AP 2 =BP×AB， 即AB APAP BP ，故 A正确，B、C 错误； 5 12BP APAP AB  ，故 D错误； 故答案为 A. 【点睛】本题考查了黄金分割的知识，把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC），且使 AC 是 AB 和 BC的比

　 例中项，叫做把线段 AB 黄金分割．

　 练习 3 ．（2020· 山东莱州初二期末）

　宽与长的比是黄金比的矩形，称为黄金矩形. 从外形看，它最具美感. 现在想要制作一张 “ 黄金矩形 ”为 的贺卡，如果较长的一条边的长为 20cm ，那么与其相邻的一条边的长为__________cm （结果保留根号）. . 【答案】

　10 5 10 

　【解析】由宽与长的比为5-12计算即可． 【详解】解：设与长边相邻的一条边的长为 x cm， ∵矩形的长为 20cm， ∴5 -120 2x ， 解得：

　10 5-10 x  ， 故填：

　10 5 -10 ． 【点睛】本题考查黄金比的数值5-12，牢记黄金分割比，列比例式时注意是短边与长边之比． 练习 4 ．（2020· 全国初三课时练习）为 如图，以长为 2 的线段 AB 为边作正方形 ABCD ，取 AB 的中点 P ，连接 PD， ，在 在 BA 的延长线上取点 F ，使 PF ＝PD ，以 AF 为边作正方形 AMEF ，点 M 在 在 AD 上． （ （1 ）求 AM ，DM 的长； （ （2 ）求证：AM 2 ＝ ＝AD·DM； ； （ （3 ）根据（2 ）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？

　】

　【答案】（1）

　5 －1，3－ 5 ；（2）证明见解析；（3）图中的点 M为线段 AD 的黄金分割点 】

　【解析】（1）由勾股定理求 PD，根据 AM=AF=PF-PA=PD-PA，DM=AD-AM 求解； （2）由（1）计算的数据进行证明；

　 （3）根据（2）的结论得：AM DMAD AM ，根据黄金分割点的概念，则点 M 是 AD的黄金分割点． 【详解】解：（1）∵P 为边 AB 的中点， ∴AP＝12AB＝1， ∴PD＝2 2AP AD ＝2 21 2 ＝ 5 ， ∴PF＝PD＝ 5 ，从而 AF＝PF－AP＝ 5 －1，∴AM＝AF＝ 5 －1， ∴DM＝AD－AM＝3－ 5 ． （2）证明：∵AM 2 ＝(5 －1) 2 ＝6－2 5 ， AD·DM＝2(3－ 5 )＝6－2 5 ， ∴AM 2 ＝AD·DM． （3）图中的点 M 为线段 AD的黄金分割点．理由如下：

　∵AM 2 =AD•DM， ∴5 12AM DMAD AM  ， ∴点 M 是 AD的黄金分割点． 【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段 AM，DM 的长，然后求得线段AM 和 AD，DM 和 AM 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断． ◉题型三 、平行线分线段成比例

　例 例 1 ．（2020· 全国初三课时练习）

　如图，DE ∥FG ∥BC ，若 DB=4FB ，则 EG 与 与 GC 的关系是（

　）

　A． ．EG=4GC B． ．EG=3GC C． ．EG=52GC D． ．EG=2GC 【答案】B 【解析】

　分析：根据平行线分线段成比例定理即可得到答案． 详解：∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，

　 ∴31EG DFGC FB＝ ＝ =3． 故选 B． 点睛：此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键． 练习 1 ．（2020· 全国初三期末）知 如图，已知 AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线 l 1 、 、l 2 点 于点 A 、D 、F 和点 B 、C 、E， ，果 如果 AD ：DF ＝3 ：1 ，BE ＝10 ，那么 CE 等于(

　 )

　A ．103 B ．203 C ．52 D ．152 【答案】C 【解析】根据平行线分线段成比例定理得到 3AD BCDF CE  ，得到 BC=3CE，然后利用 BC+CE=BE=10 可计算出 CE的长，即可． 【详解】解：∵AB∥CD∥EF， ∴ 3AD BCDF CE  ， ∴BC=3CE， ∵BC+CE=BE， ∴3CE+CE=10， ∴CE=52． 故选 C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 练习 2 ．（2020· 全国初三课时练习）

　如图，在 ABC 中，若 AB ＝24 ，AE ＝6 ，EC ＝10， ，ADBD＝AEEC． （ （1 ）求 AD 的长； （ （2 ）试说明AB ACBD EC ．

　】

　【答案】（1）9；（2）见解析

　 】

　【解析】（1）设 AD＝x，则 BD＝24－x，根据题意，列出比例方程即可求出结论； （2）根据题意，分别求出ABBD和ACEC，即可得出结论． 【详解】解：（1）设 AD＝x，则 BD＝24－x． 由ADBD＝AEEC， 得24xx ＝610，解得 x＝9． 经检验，x＝9 是原方程的解，且符合题意， ∴AD＝9． （2）由 AB＝24，AD＝9，得 BD＝15． ∵ABBD＝2415＝85，ACEC＝6 1010＝85， ∴ABBD＝ACEC． 【点睛】此题考查的是比例线段，掌握比例线段的定义和比例的性质是解决此题的关键． 练习 3 ．（2020· 全国初三单元测试）

　如图，点 D 、 E 分别在 ABC  的边 AB 、 AC 上， DE BC ∥ . （ （1 ）若 2ADES   ， 7.5BCES   ，求BDES  ； （ （2 ）若BDES m ，BCES n ，求ABCS  . （用 m ， n 表示）

　】

　【答案】（1）

　3BDES   ；（2）2ABCnSn m 【解析】

　【解析】（1）首先设BDES x ，然后根据三角形的性质同高的三角形面积比等于底的比，和三角形平行线定理得出AD AEDB EC ，列出分式方程，解得即可； （2）首先设ADES y ，由（1）中的面积比等式列出等式，求出ADES  ，然后即可求出ABCS .

　 【详解】（1）设BDES x ， 根据题意可得ADEBDES ADS DB，ABEBCES AES EC， DE BC ∥ ，  AD AEDB EC， 2ADES   ， 7.5BCES   ， 2 27.5xx  ， 解得：15 x   （舍），23 x  ， 3BDES    ； （2）由（1）知ADE ABEBDE BCES SS S  . 设ADES y ， ∵BDES m ，BCES n ， y y mm n  ， 解得2myn m， 2 2ABCm nS m nn m n m     .

　【点睛】此题主要考查三角形平行线的性质，解题关键是根据比例关系列出等式. 练习 4 ．（2020· 全国初三课时练习）

　已知：平行四边形 ABCD ， E 是 BA 延长线上一点， CE 与 AD 、 BD 交于 G 、F ．求证：2CF GF EF  ．

　【答案】详见解析 【解析】由平行四边形对边互相平行，可得平行线分线段成比例，得出比例式进行等比代换即可得证. 【详解】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD BC ∥ ， AB CD ∥ ． ∴GF DFCF BF ，CF DFEF BF

　∴GF CFCF EF ， 即2CF GF EF  ． 【点睛】本题考查证明线段乘积关系，由平行线分线段成比例得到比例式是解决本题的关键. 练习 5 ．（2019· 全国初三单元测试）

　已知如图，E E 为平行四边形 D ABCD 的边 B AB 的延长线上的一点，E DE 分别交 AC 、 BC于 于 G G 、F F ，试说明：G DG 是 是 GE 、F GF 的比例中项．

　【答案】答案见解析 【解析】根据平行四边形两条对边平行,得到两对相似三角形,写出对应边成比例,得到两个比例式中各有两条线段的比相等,根据等量代换得到比例式,再转化成乘积式,即可得出答案. 【详解】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴DC∥AE， ∴DG CG=GE AG ∵AD∥BC， ∴GF CG=DG AG ∴DG GF=GE DG ∴DG2 ＝GE•GF，

　 ∴DG 是 GE、GF 的比例中项． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例,用到的知识点是平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理,用到两次等量代换是本题的关键. ◉题型四 、相似三角形的判定与性质综合

　例 例 1 ． （2019·）

　无锡市南长实验中学初三月考）， 如图，E ，F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC ， 上两点，AE=CF=14AC ．连接 接 DE ，DF 并延长，分别交 AB ，BC 于点 G ，H ，连接 GH ，则ADGBGHSS△△的值为（

　）

　A ．12 B ．23 C ．34 D． ．1 【答案】C 【解析】

　【解析】首先证明 AG：AB=CH：BC=1：3，推出 GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得2 23 92 4ADC BACBGH BGHS S BAS S BG（ ）

　（ ）

　   ,13ADGADCSS，由此即可解决问题． 【详解】∵四边形 ABCD是平行四边形 ∴AD=BC，DC=AB， ∵AC=CA， ∴△ADC≌△CBA， ∴S △ADC =S △ABC ， ∵AE=CF=14AC，AG∥CD，CH∥AD， ∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3， ∴AG：AB=CH：BC=1：3， ∴GH∥AC， ∴△BGH∽△BAC， ∴2 23 92 4ADC BACBGH BGHS S BAS S BG（ ）

　（ ）

　   ，

　 ∵13ADGADCSS， ∴9 1 34 3 4ADGBGHSS  . 故选 C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 练习 1 ．（2020· 全国初三期末）为 如图，现有测试距离为 5m 的一张视力表，表上一个 E 的高 AB 为 为 2cm ，要制作测为 试距离为 3m 的视力表，其对应位置的 E 的高 CD 为____cm． ．

　【答案】1.2 【解析】证明△OCD∽△OAB，然后利用相似比计算出 CD即可． 【详解】解：OB=5m，OD=3m，AB=2cm， ∵CD∥AB， ∴△OCD∽△OAB， ∴CD ODAB OB ，即32 5CD ， ∴CD=1.2， 即对应位置的 E 的高 CD为 1.2cm． 故答案为 1.2． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似的性质求相应线段的长． 练习 2 ．（2020·）

　长沙麓山国际实验学校初三期末）△ △ABC 中，E， ，F 分别是 AC， ，AB 的中点，连接 EF ，则 S △ AEF :S △ ABC＝_____ ．

　 【答案】14 【解析】

　【解析】由 E、F分别是 AB、AC 的中点，可得 EF是△ ABC的中位线，直接利用三角形中位线定理即可求得 BC＝2EF，然后根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵△ABC 中，E、F 分别是 AB、AC 的中点，EF＝4， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴BC＝2EF，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴S △ AEF ：S △ ABC ＝（EFBC）

　2 ＝14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，三角形面积比等于相似比的平方，三角形中位线是对应边的一半，所以得到相似比是 1：2． 练习 3 ．（2020· 江西吉安初三其他）形 如图，在矩形 ABCD 中，AD ＝2AB ＝2 ，E 是 是 BC 边上的一个动点，连接 AE， ，点 过点 D 作 作 DF ⊥AE 于 于 F ，连接 CF，当 ，当△ △CDF 为等腰三角形时，则 为等腰三角形时，则 BE 的长是____.

　【答案】1 或 3 或 2﹣ 3 ． 【解析】

　【解析】过点 C 作 CM⊥DF，垂足为点 M，判断△CDF 是等腰三角形，要分类讨论，①CF＝CD；②DF＝DC；③FD＝FC，根据相似三角形的性质进行求解． 【详解】①CF＝CD时，过点 C 作 CM⊥DF，垂足为点 M， 则 CM∥AE，DM＝MF， 延长 CM 交 AD于点 G， ∴AG＝GD＝1， ∵AG∥EC，AE∥CG， ∴四边形 AECG 是平行四边形， ∴CE＝AG＝1， ∴当 BE＝1时，△CDF是等腰三角形． ②DF＝DC 时，则 DC＝DF＝1，

　 ∵DF⊥AE，AD＝2， ∴∠DAE＝30°， ∴∠AEB＝30° 则 BE＝ 3

　∴当 BE＝ 3 时，△CDF 是等腰三角形； ③FD＝FC 时，则点 F 在 CD的垂直平分线上，故 F 为 AE 中点． ∵AB＝1，BE＝x， ∴AE＝21 x ， AF＝212x ， ∵△ADF∽△EAB， ∴AD AFAE EB ， 221221xxx， x 2 ﹣4x+1＝0， 解得：x＝2﹣ 3 或 2+ 3 （舍弃）， ∴当 BE＝2﹣ 3 时，△CDF 是等腰三角形． 综上，当 BE＝1、 3 、2﹣ 3 时，△CDF 是等腰三角形． 故答案为 1或 3 或 2﹣ 3 ．

　【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 练习 4 ．（2020· 全国初三专题练习）点 如图，将三角形纸片的一角折叠，使点 B 落的 AC 边上的 F 处，折痕为 DE， ，知 已知 AB ＝AC ＝8 ，BC ＝10 ，若以点 E ，F ，C 为顶点的三角形与 为顶点的三角形与△ △ABC 相似，那么 相似，那么 BE 的长是___ ．

　【答案】409或 5 【解析】根据折叠与相似三角形的性质，分当∠CEF=∠B时，当∠CEF=∠A时，两种情况进行讨论即可. 【详解】设 BE=x，则 EC=10﹣x， ∵△DEF是△ DEB折叠所得， ∴EF=BE=x， ①当∠CEF=∠B 时， ∵△FEC∽△ABC， ∴FE ECAB BC ,即108 10x x  ， 解得 x=409； ②当∠CEF=∠A时， ∵△ECF∽△ABC， ∴EF ECAC AB ，即108 8x x  ， 解得 x=5， 综上，BE=409或 5. 【点睛】本题主要考查折叠的性质，相似三角形的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 练习 5 ．（2020· 山东省日照实验高级中学初二月考）如图，已知 如图，已知△ △ABC 中， 中，AC=BC ，点 D 、E 、F 分别是线段 AC、 、BC 、AD 的中点，BF 、ED 的延长线交于点 G ，连接 GC． ．

　 （ （1 ）求证：AB=GD； ； （ （2 ）当 CG=EG 时，且 AB=2 ，求 CE． ．

　】

　【答案】（1）见解析；（2）CE= 3 . 】

　【解析】（1）根据三角形中位线定理得到 DE∥AB，AB=2DE，根据平行线的性质得到∠ABF=∠DGF，证明△ABF≌△DGF，根据全等三角形的性质证明结论； （2）证明△GEC∽△CBA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵D，E 是 AC，BC 的中点， ∴DE 为△ ABC 的中位线， ∴DE∥AB，AB=2DE， ∴∠ABF=∠DGF， ∵F为 AD中点， ∴AF=DF， 在△ ABF和△ DGF中， ABF= DGFAFB= DFGAF=DF    ∴△ABF≌△ DGF（AAS）， ∴AB=GD； （2）∵AB=2， ∴CD=2，DE=1， ∴GE=3， ∵CA=CB， ∴∠CAB=∠CBA， ∵CG=EG，

　 ∴∠GEC=∠GCE， ∵DE∥AB， ∴∠GEC=∠CBA， ∴△GEC∽△CBA， 设 CE=x， 则 BC=2x， ∴CE GE=AB BC，即3=2 2xx， 解得：

　= 3 x ，（负值舍去）

　∴CE=3 . 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理相似三角形的考查，熟练掌握中位线及相似三角形的性质定理是解决本题的关键． ◉题型五 、相似证明中的比例式题型

　例 例 1 ．（2020· 山东泰安初三二模）形 如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是边 BC 上的一点（不与 B 、C 重合），点 N 在 在CD 边的延长线上，且满足∠ ∠MAN ＝90° ，联结 MN 、AC ，MN 与边 AD 交于点 E． ．

　（ （1 ）求证：AM ＝AN； ； （ （2 ）如果∠ ∠CAD ＝2 ∠NAD ，求证：AM 2 ＝ ＝AC•AE； ； （ （3 ）MN 和 和 AC 相交于 O 点，若 BM ＝1 ，AB ＝3 ，试猜想线段 OM ，ON 的数量关系并证明． 】

　【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）ON＝2OM，理由见详解 【解析】

　【解析】（1）由正方形的性质可得 AB＝AD，由“ASA”可证△ABM≌△ADN，可得 AM＝AN； （2）由题意可得∠CAM＝∠NAD＝22.5°，∠ACB＝∠MNA＝45°，即可证△AMC∽△AEN，即可证 AM 2 ＝AE•AC； （3）先求出 AM，进而求出 MF＝NF＝BF＝ 5 ，再判断出△ABM∽△AFO，进而求出 FO，即可得出结论． 【详解】证明（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B， ∴∠BAM+∠MAD＝90°，

　 ∵∠MAN＝90°， ∴∠MAD+∠DAN＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN， ∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°， ∴△ABM≌△ADN（ASA）

　∴AM＝AN； （2）∵AM＝AN，∠MAN＝90° ∴∠MNA＝45°， ∵∠CAD＝2∠NAD＝45°， ∴∠NAD＝22.5° ∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5° ∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°， ∴△AMC∽△AEN， ∴AM ACAE AN ， ∴AM•AN＝AC•AE， ∵AN＝AM， ∴AM 2 ＝AC•AE； （3）ON＝2OM，理由：如图，

　在 Rt△ABM中，AM＝1，AB＝3， 根据勾股定理得，BM＝2 2AM AB ＝ 10 ， 过点 B 作 BF⊥MN 于 F， ∴∠OFB＝∠A＝90°， 由（1）知，AM＝AN， ∵∠MBN＝90°，

　 ∴FB＝NF＝MF＝102＝ 5 ，∠MBF＝45°， ∵AC 是正方形 ABCD 的对角线， ∴∠ABC＝45°＝∠MBF， ∴∠ABM＝∠FBO， ∴△ABM∽△FBO， ∴AB AMFB FD ， ∴3 1F0 5， ∴FO＝53， ∴OM＝MF﹣FO＝2 53，ON＝NF+FO＝4 53， ∴ON＝2OM． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ABM∽△FBO 是解本题的关键． 练习 1 ．（2019· 全国初三单元测试）

　已知：如图，点 D 、 F 在 ABC 的边 AB 上，点 E 在边 AC 上，且 / / DE BC ，/ / EF DC ． 求证：2AD AF AB  ．

　【答案】证明见解析 【解析】由平行线分线段成比例可以得到AD AEAB AC ， AF AEAD AC

　则根据等量代换可以推知AF ADAD AB ，即2AD AF AB  . 【详解】∵

　 / / DE BC

　∴

　 AD AEAB AC ．

　 ∵

　 / / EF DC ， ∴

　 AF AEAD AC ， ∴

　 AF ADAD AB ，即2AD AF AB  ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例.注意找准对应关系,以防错解. 练习 2 ．（2019· 江西广丰初三月考）(1) 已知抛物线26 y ax x c    的图象经过点（-2 ，-1 ），其对称轴为 x=-1 ．求抛物线的解析式．

　(2)

　如图，在△ △ABC 中，AB=AC ，点 D ，E 分别是 BC ，AB 边上的点，且∠ ∠ADE= ∠C． ． 求证：

　BD CD BE AC 

　 】

　【答案】（1）23 6 1 y x x     ；（2）详见解析. 】

　【解析】（ （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）由 AB=AC 可得∠B=∠C，由已知条件∠ADE=∠C 可证∠BDE=∠CAD，根据相似三角形的判定定理即可证△BDE∽△CAD，由相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，4 12 1612a ca       ，解得31ac    ∴抛物线的解析式为23 6 1 y x x    

　 （2）证明：∵AB=AC

　∴∠B=∠C ∵∠ADB=∠C+∠DAC

　∠ADE=∠C．

　 ∠ADB=∠ADE+∠BDE ∴∠DAC=∠BDE ∴△BDE∽△CAD

　∴AC CDBD BE

　∴ · · BDCD BE AC  .

　 故答案为：（1）23 6 1 y x x     ；（2）详见解析. 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定及性质，解题的关键是能够掌握并熟练运用所学知识． 练习 3 ．（2019· 青岛西海岸新区外国语学校（青岛市黄岛区外国语学校）初三月考）

　如图所示，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点， AF DE  于点 F ． ．

　  1 求证：

　DF CD AF CE    ． ．   2 若 4 AF DF  ， 12 CD ，求 CE 的长． 【答案】(1)详见解析;(2)3. 【解析】（1）根据四边形 ABCD是矩形可得出∠ADC=∠C=90°，再根据相似三角形的判定定理可得出△ADF∽△DCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）由（1）可知 DF：AF=CE：DC，再结合已知条件即可求出 CE 的长． 【详解】

　  1 证明：

　∵四边形 ABCD 是矩形，

　∴ 90 ADC C    ， ∴ 90 ADF CDE    ， ∵ AF DE  ， ∴ 90 AFD DAF FDA     ， ∴ FAD CDE   ， 又∵ 90 C AFD    ， ∴ ADF DCE ∽ ； ∴DF AFCE DC ， 即 DF CD AF CE    ；

　   2 ∵ ADF DCE ∽ ； ∴DF AFCE DC ， ∴DF CEAF DC ， 又∵ 4 AF DF  ， 12 CD ， ∴4 12DF CEDF ， ∴ 3 CE  ． 【点睛】本题考查了矩形与三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握矩形与三角形的性质.

　 ◉题型六 、相似证明中的动点问题

　例 例 1 ．（2020· 全国初三期末）形 已知，在平行四边形 OABC 中，OA ＝5 ，AB ＝4， ，∠ ∠OCA ＝90° °点 ，动点 P 从 从 O 点出发线 沿射线 OA 方向以每秒 2 个单位的速度移动，同时动点 Q 从 A 点出发沿射线 AB 方向以每秒 秒 1 个单位的速度移动．设为 移动的时间为 t 秒． （ （1 ）求直线 AC 的解析式；

　 （ （2 ）试求出当 t 为何值时，△ △OAC 与 与△ △PAQ 相似．

　】

　【答案】（1）4 203 3   y x ；（2）当 t＝256或 203时，△OAC 与△APQ相似． 】

　【解析】（1）要求直线 AC 的解析式，需要求出点 A、点 C的坐标，可以利用等积法求得 C 点的纵坐标，利用勾股定理求得横坐标，利用待定系数法求得直线的解析式； （2）对于相似要分情况进行讨论，根据对应线段成比例可求得 t 的数值． 【详解】解：（1）过点 C作 CE⊥OA，垂足为 E，

　在 Rt△OCA中，AC＝2 25 4 ＝3，

　 ∴5×CE＝3×4， ∴CE＝125， 在 Rt△OCE中，OE＝221245   ＝165， ∴C（165，125），A（5，0）， 设 AC 的解析式为 y=kx+b， 则16 125 55 0k bk b  ， 解得：43203kb  ， ∴4 203 3   y x ； （2）当 0≤t≤2.5 时，P在 OA 上， 因为∠OAQ≠90°， 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似． 当 t＞2.5 时， ①若∠APQ＝90°，则△APQ∽△OCA， 故AQAP＝OAOC＝54， ∴2 5tt ＝54， ∴t＝256， ∵t＞2.5， ∴t＝256符合条件． ②若∠AQP＝90°，则△APQ∽△OAC， 故 AQAP＝OCOA＝45， ∴2 5tt ＝45，

　 ∴t＝203， ∵t＞2.5， ∴t＝203符合条件． 综上可知，当 t＝256或 203时，△OAC 与△APQ相似． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，关于动点的问题要注意对问题进行分类讨论． 练习 1 ．（2020· 四川米易初三期末）形 如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点 P 沿 沿 AB 边从点 A 开始向点B 以 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 沿 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 以 1cm/s 的速度移动，如果 P 、Q 同时出发，用 t （s ）表示移 动的时间（0≤t≤6 ），那么：

　（ （1 ）当 t 为何值时， 为何值时，△ △ QAP 是等腰直角三角形？ 是等腰直角三角形？ （ （2 ）当 t 为何值时，以点 Q 、A 、P 为顶点的三角形与 为顶点的三角形与△ △ ABC 相似？ 相似？

　】

　【答案】（1）t=2s；（2）t=1.2s 或 3s． 】

　【解析】（1）根据等腰三角形的性质可得 QA=AP，从而可以求得结果； （2）分QA APAB BC 与QA APBC AB 两种情况结合相似三角形的性质讨论即可. 【详解】（1）由 QA=AP，即 6-t=2t， 得 t=2 (秒)； （2）当QA APAB BC 时，△ QAP～△ ABC，则6 212 6t t  ，解得 t=1.2(秒) 当QA APBC AB 时，△ QAP～△ ABC，则6 26 12t t  ，解得 t=3(秒) ∴当 t=1.2 或 3 时，△ QAP～△ ABC. 练习 2 ．（2020·宁夏永宁初三月考）如图，在 宁夏永宁初三月考）如图，在 Rt△ △ ABC 中， 中，∠ C=90° ，AC=4cm ，BC=3cm ．动点 M ，N 从点 C 同时出发，均以每秒 1cm 的速度分别沿 CA 、CB 向终点 A ，B 移动，同时动点 P 从点 B 出发，以每秒 2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动，连接 PM ，PN ，设移动时间为 t （单位：秒，0 ＜t ＜2.5 ）．

　（1 ）当 t 为何值时，以 A ，P ，M 为顶点的三角形与 为顶点的三角形与△ △ ABC 相似？ 相似？ （2 ）是否存在某一时刻 t ， 使四边形 APNC 的面积 S 有最小值？若存在，求 S 的最小值；若不存在，请说明理由． 】

　【答案】（1）32；（2）当32t  时，四边形 APNC 的面积 S有最小值，其最小值是215． 【解析】根据勾股定理求得 AB=5cm． （1）分△ AMP∽△ABC和△ APM∽△ABC 两种情况讨论：利用相似三角形的对应边成比例来求 t 的值． （2）如图，过点 P作 PH⊥BC于点 H，构造平行线 PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以 t 表示的 PH的值；然后根据“S=S △ABC ﹣S △BPH ”列出 S与 t 的关系式 24 3 21S= 0 2.55 2 5t t      ，则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值． 【详解】解：∵如图，在 Rt△ ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm． ∴根据勾股定理，得2 2AB AC BC 5cm   ． （1）以 A，P，M 为顶点的三角形与△ ABC 相似，分两种情况：

　①当△ AMP∽△ABC 时，AP AMAC AB ，即5 2 44 5t t   ，解得32t  ； ②当△ APM∽△ABC 时，AM APAC AB ，即4 5 24 5t t   ，解得 t=0（不合题意，舍去）． 综上所述，当32t  时，以 A、P、M 为顶点的三角形与△ ABC 相似． （2）存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S有最小值．理由如下：

　假设存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S有最小值． 如图，过点 P作 PH⊥BC于点 H．则 PH∥AC，

　∴PH BPAC BA ， 即24 5PH t ． ∴85tPH  ． ∴ABC BPNS S S  △ △  1 1 83 4 32 2 5t t       

　 24 3 21= 0 2.55 2 5t t      ． ∵405 ， ∴S有最小值． 当32t  时，S 最小值 =215． 答：当32t  时，四边形 APNC 的面积 S有最小值，其最小值是215． 练习 3 ．（2020·）

　广东茂名初三期末）

　如图所示，在 ABC 中， 8 AB cm  ， 16 BC cm  ，动点 P 从点 A 开始沿边 AB以 1 cm/s 的速度向点 B 运动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 以 2 cm/s 的速度向点 C 运动，如果 P ， Q 两点同时出发，经过多长时间， PBQ △ 与 ABC 相似？

　【答案】

　4 s 或8 s5; 【解析】分两种情况：PBQ ABC △ ∽△或 PBQ CBA △ ∽△ ，设经过

　s t ，然后分别利用相似三角形的性质建立关于

　 t 的方程求解即可． 【详解】解：①设经过

　s t ，PBQ ABC △ ∽△， ∴BP BQAB BC

　即8 28 16t t  ， 解得 4 t  ． ∴经过 4 s ，PBQ ABC △ ∽△． ②设经过

　s t 后， PBQ CBA △ ∽△ ， ∴BP BQBC AB

　即8 216 8t t  ， 解得85t  ， ∴经过8 s5， PBQ CBA △ ∽△ ． 综上，经过 4 s 或8 s5， PBQ △ 与 ABC 相似． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质并分情况讨论是解题的关键．

　 ◉题型七 、一线三等角模型

　例 例 1 ．（2019· 山东沂水初二期中）形 如图，在四边形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点 E 在 在 AB 上，AD ＝1 ，AE ＝2 ，BC ＝3 ，BE ＝1.5 ．求证：∠ ∠DEC ＝90° ．

　【答案】见解析 【解析】由AD＝1，AE＝2，BC＝3，BE＝1.5，可得AE=BE BCAD，△ADE∽△BEC ， 可证得∠DEC＝90°. 【详解】证明：

　∵AB⊥BC， ∴∠B＝90°． ∵AD∥BC， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵AD＝1，AE＝2，BC＝3，BE＝1.5， ∴1 2=1.5 3． ∴AE=BE BCAD， ∴△ADE∽△BEC， ∴∠3＝∠2， ∵∠1+∠3＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠DEC＝90°． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合及相似三角形的判定与性质，得出△ADE∽△BEC 是解题的关键 . 练习 1 ． （2020·）

　广西蒙山初三学业考试）形 如图，在正方形 ABCD 中，点 E、 、F、 、G

　分别在 AB、 、BC、 、CD 上，且 EF FG 于 于 F． ． （ （1 ）求证：△ △BEF ∽△CFG； ； （ （2 ）若 AB= =12 ，AE= =3 ，CF= =4 ，求 CG 的长．

　】

　【答案】（1）见解析

　（2）329 】

　【解析】（1）证明∠BEF=∠CFG，结合∠B=∠C= 90 可证得△BEF∽△CFG；

　 （2）由△BEF∽△CFG，可得BF CFCGBE ，代入数据可得 CG． 【详解】解：(1)∵ABCD是正方形， EF FG  于 F ∴∠B=∠C=∠EFG= 90

　 ∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG= 90

　∴∠BEF=∠CFG ∴△BEF∽△CFG (2)解: ∵△BEF∽△CFG ∴BE BFCF CG

　∴(12 4) 4 3212 3 9BF CFCGBE     ．

　【点睛】本题考查了在正方形中进行一线三角形相似的证明，并利用相似进行线段长度的计算，熟知以上模型是解题的关键． 练习 2 ．（2019· 河北泊头初三期中）

　如图，正方形 ABCD 的边长为 4 ，E 是 BC 的中点，点 P 在射线 AD 上，过点 P 作 PF ⊥AE ，垂足为 F． ． （ （1 ）求证：

　PFA ABE ∽ △ △ ； （ （2 ）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA=x ，是否存在实数 x ，使以 P ，F ，E 为顶点的三角形也与 ABE △ 相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由．

　】

　【答案】（1）见解析；（2）存在，满足条件的 x的值为 2 或 5． 】

　【解析】（1）利用正方形的性质证明∠PAF=∠AEB， , AFP B   从而可得结论； （2）分情况讨论，若 EFP ABE ∽ △ △ ，再证明 // PE AB 即可，若 PFE ABE ∽ △ △ ，再证明 PE PA  ，再求解 EF ，后利用相似三角形的性质可得答案．

　 【详解】（1）证明：∵正方形 ABCD， 

　AD∥BC， 90 , B   

　 ∴∠PAF=∠AEB． , PF AE 

　 90 , AFP B    

　 ∵∠PFA=∠ABE=90°， ∴ PFA ABE ∽ △ △ ． （2）若 EFP ABE ∽ △ △ ，则∠PEF=∠EAB． ∴PE∥AB． ∴四边形 ABEP为矩形． ∴PA=EB=2，即 x=2． 若 PFE ABE ∽ △ △ ，则∠PEF=∠AEB． ∵∠PAF=∠AEB， ∴∠PEF=∠PAF． ∴PE=PA． ∵PF⊥AE， ∴点 F为 AE 的中点． ∵AE=2 22 5 AB BE  ， ∴EF=12AE=5 ． 由 PFE ABE ∽ △ △ 得：

　PE EFAE EB ，即52 2 5PE ， ∴PE=5，即 x=5． ∴满足条件的 x 的值为 2 或 5．

　【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．

　 练习 3 ．（2020· 辽宁台安初三二模）点 如图，点 B 在线段 AC 上，点 D ，E 在 在 AC 同侧，∠ ∠A= ∠C=90° ，BD ⊥BE， ，AD=BC． ． (1)求 求 证：AC=AD+CE； ； (2)若 若 AD=3 ，CE=5 ，点 P 为线段 AB 上的动点，连接 DP ，作 PQ ⊥DP ，交直线 BE 于点 Q； ； (i) 当点 P 与 与 A ，B 两点不重合时，求DPPQ的值； (ii) 当点 P 从 从 A 点运动到 AC 的中点时，求线段 DQ 的中点所经过的路径( 线段) 长．( 直接写出结果，不必写出解答过程)

　 【答案】(1)证明见解析；(2)(i)DP 3PQ 5；(ii)线段 DQ 的中点所经过的路径(线段)长为2343. 【解析】

　【解析】(1)根据同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角边”证明△ ABD和△ CEB全等，根据全等三角形对应边相等可得 AB=CE，然后根据 AC=AB+BC 整理即可得证； (2)(i)过点Q作QF⊥BC于F，根据△BFQ和△BCE相似可得BF QFBC CE ，然后求出QF=53BF，再根据△ADP和△FPQ相似可得AD APPF QF，然后整理得到(AP-BF)(5-AP)=0，从而求出 AP=BF，最后利用相似三角形对应边成比例可得DP APPQ QF，从而得解；

　 (ii)判断出 DQ的中点的路径为△BDQ的中位线 MN．求出 QF、BF的长度，利用勾股定理求出 BQ的长度，再根据中位线性质求出 MN的长度，即所求之路径长． 【详解】(1)如图，∵BD⊥BE，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°， ∵∠C=90°，∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°，∴∠1=∠E， ∵在△ ABD和△ CEB 中，∠1=∠E，∠A=∠C=90°，AD=BC， ∴△ABD≌△CEB(AAS)，∴AB=CE， ∴AC=AB+BC=AD+CE； (2)(i)如图，过点 Q作 QF⊥BC 于 F，则△BFQ∽△BCE， ∴BF QFBC CE ， 即3 5BF QF ， ∴QF=53BF， ∵DP⊥PQ， ∴∠ADP+∠FPQ=180°-90°=90°， ∵∠FPQ+∠PQF=180°-90°=90°， ∴∠ADP=∠FPQ， 又∵∠A=∠PFQ=90°， ∴△ADP∽△FPQ， ∴AD APPF QF， 即35APAP BF QF ， ∴5AP-AP 2 +AP•BF=3•53BF， 整理得，(AP-BF)(AP-5)=0， ∵点 P与 A，B 两点不重合， ∴AP≠5， ∴AP=BF， 由△ADP∽△FPQ得，DP APPQ QF，

　 ∴35DPPQ；

　 (ii)线段 DQ的中点所经过的路径(线段)就是△ BDQ的中位线 MN，

　由(2)(i)可知，QF=53AP， 当点 P运动至 AC 中点时，AP=4，∴QF=203， ∴BF=QF×35=4， 在 Rt△ BFQ中，根据勾股定理得：BQ=2 2BF QF =2220 44 343 3    ， ∴MN=12BQ=2343． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，(1)求出三角形全等的条件∠1=∠E 是解题的关键，(2)(i)根据两次三角形相似求出 AP=BF 是解题的关键，(ii)判断出路径为三角形的中位线是解题的关键． 练习 4 ．（2020· 辽宁营口初三二模）△ △ABC 和 和△ △DEF ， 是两个全等的等腰直角三角形，∠ ∠BAC= ∠EDF=90° ° ，△ △EDF点 的顶点 E 与 与△ △ABC 的斜边 BC 的中点重合，将△ △DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P， ，段 线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q． ．

　 （ （1 ）如图 ①点 ，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证：△ △BPE ≌△CQE； ； （ （2 ）如图 ②点 ，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：△ △BPE ∽△CEQ； ； （ （3 ）在（2 ）的条件下，BP=2 ，CQ=9 ，则 BC 的长为_______． ． 】

　【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

　6 2

　】

　【解析】（1）由 AB=AC，AP=AQ可得 BP=CQ，又因 BE=CE，∠B=∠C=45°，利用“SAS”判定△BPE≌△CQE； （2）如下图，连接 PQ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，所以∠BEP=∠EQC；再由两角对应相等的两个三角形相似可得△BPE∽△CEQ； （3）根据相似三角形的性质可得BP BECE CQ，把 BP=2，CQ= 9 代入上式可求得 BE=CE，进而求得 BC 的长． 【详解】（1）∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，AB=AC， ∵AP=AQ， ∴BP=CQ， ∵E 是 BC 的中点， ∴BE=CE， 在△BPE 和△CQE 中， ∵BE CEB CBP CQ   ， ∴△BPE≌△CQE（SAS）； （2）如下图，连接 PQ，

　∵△ABC 和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°， ∴∠BEP=∠EQC， ∴△BPE∽△CEQ； （3）∵△BPE∽△CEQ ∴BP BECE CQ ∵BP=2，CQ=9，BE=CE ∴29CECE

　∴BE=CE= 3 2

　∴BC= 6 2 ． 【点睛】本题考查证全等和相似，第（3）问解题关键是根据相似比的关系，得出 CE 的长度． ◉题型八 、旋转相似模型

　例 例 1 ．（2020· 富顺第三中学校初三三模）如图，在 如图，在 Rt△ △ABC 中， 中，AC ＝BC ＝4， ，∠ ∠ACB ＝90° ，正方形 BDEF 的边长为 为 2 ，将正方形 BDEF 绕点 B 旋转一周，连接 AE 、BE 、CD． ．

　 (1)请找出图中与 请找出图中与△ △ABE 相似的三角形，并说明理由 相似的三角形，并说明理由 ； (2) 求当点 点 E 在线段 AF 上时 CD 的长； (3)设 设 AE 的中点为 M ，连接 FM ，试求 FM 长的取值范围． 【答案】(1)证明见详解；(2)14 2 ； (3)2 3 2 FM  ． 】

　【解析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定可以判断△ABE∽△CBD． （2）根据相似三角形的性质得到 AB=2 BC= 4 2 ，根据勾股定理得 AF=2 2AB BF =2 2(4 2) 2 = 2 7 ，如图 1，E 在线段 AF上，AE=AF－EF= 2 72  ，从而求出 CD的长．

　 （3）如图 2，延长 EF到 G，使 FG=EF，连接 AG，BG，求得△ BFG是等腰直角三角形，得到 BG=2 BF= 2 2 ，设 M 为 AE的中点，连接 MF，根据三角形中位线定理得到 AG=2FM，根据三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：（1）△ABE∽△CBD， ∵在 Rt△ABC 中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝∠EBD＝45°， ∴∠ABE＝∠CBD， ∵ABBC＝2 ，BEBD＝2 ， ∴AB BEBC BD

　， ∴△ABE∽△CBD； （2）∵△ABE∽△CBD， ∴AECD＝BEBD＝2

　， ∴CD＝22AE， ∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°， ∴AB＝2 BC＝ 4 2

　， ∵当点 E 在线段 AF上时 CD的长， ∵∠AFB＝90°， ∴AF=2 2AB BF =2 2(4 2) 2 = 2 7 ， 如图 1，AE＝AF﹣EF＝ 2 7 ﹣2，

　 ∴CD＝14 ﹣ 2 ； 所以 CD的长为14 ﹣ 2 ．

　（3）如图 2，延长 EF 到 G使 FG＝EF，连接 AG，BG，则△BFG是等腰直角三角形， ∴BG＝2 BF＝ 2 2 ， 设 M 为 AE的中点， 连接 MF， ∴MF 是△AGE的中位线， ∴AG＝2FM， 在△ABG中，∵AB﹣BG≤AG≤AB+BG， ∴ 2 2 ≤AG≤ 6 2 ， ∴2 ≤FM≤ 3 2 ．

　【点睛】本题考查了相似三角形的综合内容，这涉及到相似三角形的性质与判定，正方形的性质，三角形中位线定理，能正确做出相关的辅助线是解决本体的关键． 练习 1 ．（2020·）

　辽宁铁西初三二模）（ （1 ）如图 1 ，在△ △ABC 和 和△ △ADE 中，AB ＝AC， ，AD ＝AE， ，∠ ∠BAC＝ ＝∠ ∠DAE ＝30° ° ，接 连接 CD ，BE 交于点 F． ．BECD＝

　；∠ ∠BFD＝ ＝

　； （ （2 ）如图 2 ，在矩形 ABCD 和 和△ △DEF 中，AB＝ ＝33AD， ，∠ ∠EDF ＝90° ° ，∠ ∠DEF ＝60° °接 ，连接 AF 交交 CE 的延长线点 于点 G ．求AFCE的值及∠ ∠AGC 的度数，并说明理由．

　 （ （3 ）在（2 ）的条件下，将△ △DEF 绕点 D 在平面内旋转，AF ，CE 所在直线交于点 P ，若 DE ＝1 ，AD＝ ＝21 ，求点 出当点 P 与点 E 重合时 AF 的长．

　】

　【答案】（1）1，150°；（2）

　3AFCE ，∠AGC＝90°，见解析；（3）6 】

　【解析】（1）利用 SAS判断出 △ △ , CAD BAE  得出 CD=BE，再用数据线的外角和三角形的内角和定理，即可得出结论. （2）先判断出 ,AD DFCD DE 进而判断出△ ADF∽△CDE,即可得出结论. （3）先求出 EF=2，设出 CE，进而表示出 AE，分两种情况：用勾股定理求出 CE，即可得出结论. 【详解】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝30°， ∴∠BAC+∠BAD＝∠DAE+∠BAD， ∴∠CAD＝∠BAE， ∵AC＝AB，AD＝AE， ∴△CAD≌△BAE（SAS）， ∴CD＝BE， ∴BECD＝1， ∵△CAD≌△BAE（SAS）， ∴∠ACD＝∠ABE， ∴∠BFD＝∠DCB+∠CBE＝∠DCB+∠ABE+∠ABC＝∠DCB+∠ACD+∠ABC＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠BAC＝150°， 故答案为 1，150°； （2）如图 2，∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADC＝90°，AB＝CD， ∵AB＝33AD，

　 ∴ADCD＝ 3 ， 在 Rt△DEF中，∠DEF＝60°， ∴tan∠DEF＝DFDE， ∴DFDE＝ 3 ， ∴AD DFCD DE ， ∵∠EDF＝90°＝∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDE， ∴△ADF∽△CDE， ∴ 3AF ADCE CD  ，∠DAF＝∠DCE， AD与 CD的交点记作点 O， ∵∠DCE+∠COD＝90°， ∴∠DAF+∠AOG＝90°， ∴∠AGC＝90°； （3）如备用图， 连接 AC，在 Rt△ADC 中，AD＝21 ， ∴AB＝33AD＝ 7 ， 根据勾股定理得，AC＝27 ， 由（2）知， 3AFCE ， ∴AF＝ 3 CE， 设 CE＝x．则 AF＝ 3 x， 在 Rt△DEF中，∠DEF＝60°，DE＝1， ∴EF＝2， ∴AE＝AF﹣EF＝ 3 x﹣2， 由（2）知，∠AEC＝90°， 在 Rt△ACE中，AE 2 +CE 2 ＝AC 2 ，

　 ∴（ 3 x﹣2）

　2 +x 2 ＝28， ∴x＝﹣ 3 （舍）或 x＝2 3 ， ∴AF＝ 3 x＝6．

　【点睛】本题主要考查了相似三角形图形综合应用，结合勾股定理进行求解. 练习 2 ．（2020· 河南镇平初三一模）在 如图，在 Rt △ABC 中，∠ ∠BAC ＝90° °， ，AB ＝AC ．在平面内任取一点 D ，连结AD （AD ＜AB ），将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°°段 ，得到线段 AE ，连结 DE ，CE ，BD． ． （ （1 ）直线 BD 和 和 CE 的位置关系是

　 ； ； （ （2 ）猜测 BD 和 和 CE 的数量关系并证明； （ （3 ）设直线 BD ，CE 交于点 P ，把△ △ADE 绕点 A 旋转 ，当∠ ∠EAC ＝90° °， ，AB ＝2 ，AD ＝1 时，直接写出 PB ． 的长．

　】

　【答案】（1）BD⊥CE；（2）BD＝CE，证明见解析；（3）2 55或6 55． 】

　【解析】（1）依据等腰三角形的性质得到 AB＝AC，AD＝AE，依据同角的余角相等得到∠DAB＝∠CAE，然后依据SAS 可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到结论； （2）根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）分为点 E 在 AB 上和点 E 在 BA 的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△BPE∽△BAD，最后依据相似三角形的性质进行证明即可． 【详解】解：（1）BD⊥CE，

　 理由：延长 CE 交 BD于 P，

　∵将线段 AD绕点 A 逆时针旋转 90°，得到线段 AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝90°， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∵∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝90°， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABC+∠ACB＝∠ABP+∠ABC+∠PCB＝90°， ∴∠BPC＝90°， ∴BD⊥CE， 故答案为：BD⊥CE； （2）BD和 CE 的数量是：BD＝CE； 由（1）知△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE； （3）①当点 E 在 AB 上时，BE＝AB﹣AE＝1．

　∵∠EAC＝90°， ∴CE＝2 2AE AC ＝ 5 ， 同（1）可证△ADB≌△AEC． ∵∠AEC＝∠BEP， ∴∠BPE＝∠EAC＝90°，

　 ∵∠PBE＝∠ABD， ∴△BPE∽△BAD， ∴BPAB＝BEBD， ∴BP2＝15， ∴BP＝2 55． ②当点 E 在 BA 延长线上时，BE＝3，

　∵∠EAC＝90°， ∴CE＝2 2AE AC ＝ 5 ， 由△BPE∽△BAD， ∴BPAB＝BEBD， ∴BP2＝35， ∴PB＝6 55， 综上所述，PB 的长为2 55或6 55． 【点睛】本题通过旋转图形的引入，综合考查了三角形全等、三角形相似、直角三角形性质知识点. 练习 3 ．（2020· 山东广饶初三其他）(1) 问题发现 图 如图 1 ，在 Rt △ABC 和 和 Rt △CDE 中，∠ ∠ACB= ∠DCE=90°， ，∠ ∠CAB= ∠CDE=45° ，点 D 是线段 AB 上一动点，连接 接 BE.

　填空: ① ①BEAD的值为

　 ； ； ②∠DBE 的度数为

　. (2) 类比探究 图 如图 2 ，在 Rt △ABC 和 和 Rt △CDE 中，∠ ∠ACB= ∠DCE=90°， ，∠ ∠CAB= ∠CDE=60° ，点 D 是线段 AB 上一动点，连接 接 BE. 请判断BEAD的值及∠ ∠DBE 的度数，并说明理由.

　(3) 拓展延伸 面 如面 3 ，在(2) 的条件下，将点 D 改为直线 AB 上一动点，其余条件不变，取线段 DE 的中点 M ，连接 BM 、CM， ，若 若 AC=2 ，则当△ △CBM 是直角三角形时，线段 BE 的长是多少? 请直接写出答案.

　】

　【答案】（1）1，90°；（2）

　3 ，90°，理由见解析；（3）3+ 3 或 3- 3

　【解析】

　【解析】（1）易得△ABC 和△CDE 为等腰直角三角形，所以 AC=BC，CD=CE，通过证明△ ACD≌△ BCE，可得AD=BE 和∠CAD=∠CBE=45°，进而得出答案； （2）通过证明△ ACD∽△BCE，可得BEAD的值，∠CBE=∠CAD=60°，即可求∠DBE 的度数； （3）分点 D在线段 AB 上和 BA延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证 CM=BM=6 ，即可求 DE= 2 6 ，由相似三角形的性质可得∠ABE=90°，BE=3 AD，由勾股定理可求 BE 的长． 【详解】解：（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，

　 ∴∠ABC=∠CAB=45°，∠CDE=∠CED=45° ∴AC=BC，CD=CE ∵∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD=90°， ∴∠ACD=∠BCE，

　在△ ACD和△ BCE 中， ∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠CAD=∠CBE=45° ∴BEAD=1，∠DBE=∠ABC+∠CBE=90° 故答案为：1，90°； （2）BEAD=3 ，∠DBE=90°，理由如下：

　∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°， ∴∠ACD=∠BCE，∠CED=∠ABC=30°， ∴tan∠ABC=tan30°=ACBC=33. ∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°， ∴Rt△ ACB∽Rt△ DCE， ∴ACCD=BCCE，且∠ACD=∠BCE， ∴△ACD∽△BCE， ∴BEAD=BCAC=3 ，∠CBE=∠CAD=60°, ∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°； （3）若点 D在线段 AB 上，如图，

　由（2）知：BEAD=BCAC=3 ，∠ABE=90°，

　 ∴BE=3 AD， ∵AC=2，∠ACB=90°，∠CAB=60°， ∴AB=4，BC=23 . ∵∠ECD=∠ABE=90°，且点 M 是 DE 中点， ∴CM=BM=12DE， 且△ CBM 是直角三角形， ∴CM 2 +BM 2 =BC 2 =（23 ）

　2 ， ∴BM=CM=6 ， ∴DE=26 ， ∵DB 2 +BE 2 =DE 2 ， ∴（4-AD）

　2 +（ 3 AD）

　2 =24， ∴AD=3 +1， ∴BE=3 AD=3+ 3 ； 若点 D在线段 BA延长线上，如图，

　同理可得：DE=26 ，BE= 3 AD， ∵BD 2 +BE 2 =DE 2 ， ∴（4+AD）

　2 +（ 3 AD）

　2 =24， ∴AD=3 -1， ∴BE=3 AD=3- 3 . 综上所述：BE 的长为 3+3 或 3- 3 .

　 【点睛】本题考查相似三角形的动点问题和三角函数，熟练掌握特殊角度的三角函数值，相似三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键. 练习 4 ．（2020· 山东安丘初三三模）

　将矩形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转得到矩形1 1 1ABC D ，点 AC D 、 、 的对应点分别为1 1 1A C D 、 、

　（ （1 ）当点1A 落在 AC 上时 ①图 如图 1 ，若 60 CAB    ，求证：1AC B D

　②图 如图 2， ，1AD 交 CB 于点 O ．若 60 CAB    ，求证：

　DOAO  ； （ （2 ）若 15, 9 BC CD   ， ①图 如图 3 ，当1 1AD 点 过点 C 时，则1A A 的长=_____． ． ② 当145 ABA    时，作1AE AB  ，1AEB △ 绕点 B 转动， 当直线1A E 经过 D 时，直线1A E 交边 AB 于 N ，ANEN的值=______． ．

　【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）①9105，②523 【解析】（1）①首先证明△A 1 B 是等边三角形，可得∠AA 1 B＝∠A 1 BD 1 ＝60°，即可解决问题． ②首先证明 Rt△BCD 1 ≌RtD 1 A 1 B（HL），得到四边形 ABD 1 C 是平行四边形，推出 OC＝OB，再证明△DCO≌△ABO（SAS）即可解决问题． （2）①如图 3 中，作 A 1 E⊥AB 于 E，A 1 F⊥BC 于 F．利用勾股定理求出 AE，A 1 E 即可解决问题； ②分两种情况，当△A 1 BE 旋转到图 4位置时以及当△A 1 BE 旋转到图 5 位置时，分别证明△DAN∽△BEN即利用相似比得到5 23ANEN ． 【详解】（1）证明：①∵∠CAB＝60°， 由旋转可知，BA＝BA 1 ，

　 ∴△ABA 1 是等边三角形， ∴∠AA 1 B＝60°， ∵∠A 1 BD 1 ＝∠CAB =60°， ∴∠AA 1 B＝∠A 1 BD 1 ， 1AC B D ； ②如图 2 中，连接 BD 1 ，BD，DD 1 ． 由旋转可知：BA＝BA 1 ，BD＝BD 1 ，∠ABA 1 ＝∠DBD 1 ， ∴∠BAA 1 ＝∠BDD 1 ， ∵在矩形 ABCD中，∠BAA 1 =∠ABD＝∠BDC， ∴∠BDC＝∠BDD 1 ， ∴D，C，D 1 共线， ∵∠BCD 1 ＝∠BA 1 D 1 ＝90°， ∴在中 Rt△BCD 1 与 RtD 1 A 1 B 中 BD 1 ＝D 1 B，BC＝A 1 D 1 ， ∴Rt△BCD 1 ≌RtD 1 A 1 B（HL）， ∴CD 1 ＝BA 1 ， ∵BA＝BA 1 ， ∴AB＝CD 1 ， ∵AC＝BD 1

　∴四边形 ABD 1 C 是平行四边形， ∴OC＝OB ∵CD＝BA，∠DCO＝∠ABO=90°， ∴△DCO≌△ABO（SAS）， ∴DO＝OA．

　（2）①如图 3 中，作 A 1 P⊥AB 于 P，A 1...