梯形典型例题

时间：2020-09-23 10:23:46 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　 典型例题

　例 例 1 1 ：已知梯形 ABCD 的面积是 32，两底与高的和为 16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为___________________．

　 思路分析

　 本题是几何中的计算问题．通过作对角线的平行线，可以将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以利用勾股定理求出对角线的长．

　 解：如图 4-50，梯形 ABCD 中，AD∥BC，BD⊥BC．设 AD=x，BC=y，DB=z，由题得：x+y+z=16，

　，（熟记梯形面积公式）

　 解得 x+y=8，z=8，

　 过 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于 E．

　 ∴四边形 ADEC 是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用）

　 ∴DE=AC，AD=CE．（将“上底+下底”转化到一条线段上）

　 在 Rt△DBE 中，∠DBE=90°，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8，

　 根据勾股定理得 ，

　 ∵AC=DE，

　 ．

　 点评：本题主要考查用“方程思想”解决几何中的计算问题．解题过程中作“对角线的平行线”，将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以通过解直角三角形计算出对角线长，体现了添加辅助线的目的是把“分散的条件得以集中，隐含条件加以显现”的作用．解梯形有关问题时，我们也常通过“作平行线将之转化为平行四边形的问题来解决”．

　 例 例 2 2 ：如图 4-51，已知 AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC．求证：CD=CE．

　 思路分析

　 这是一个直角梯形，通过作 CF⊥AB，可以将梯形分成矩形和三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明 CD=CE 的目的．

　 证明：如图 4-52，连结 AC，过 C 作 CF⊥AB 于 F．

　在△CFB 和△AEB 中，

　（这是直角梯形中常见的辅助线）

　 （构造三角形证明三角形全等）

　 ∴△CFB≌△AEB（AAS）

　 ∴CF=AE．

　 ∵∠D=90°，CF⊥AB 且 AB∥CD，

　 ∴AD=CF，

　 ∴AD=AE．

　 在 Rt△ADC 和 Rt△AEC 中，

　 ∴Rt△ADC≌Rt△AEC（HL）

　 ∴CD=CE．

　 点评：本题主要考查直角梯形、三角形全等的综合运用．在直角梯形中，通过作梯形一底的垂线，将梯形分成特殊的四边形（矩形）和三角形．将题中已知条件 AB=BC 中的两条线段 AB 和 BC 分别放到两个三角形中，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明 CD=CE的目的．解决梯形问题时，除可作以上辅助线外，作一腰的平行线、连对角线、作对角线的平行线也是经常用到的．

　例 例 3 3 ：如图 4-53，梯形 ABCD 中，AB∥DC，AD=BC，延长 AB 至 E，使 BE=DC．求证：AC=CE．

　 思路分析

　 本题主要考查等腰梯形的性质及证明两条线段相等的基本方法．

　 证法一：∵四边形 ABCD 是等腰梯形，

　 ∴∠ADC=∠BCD （等腰梯形同一底上的两个角相等）

　 又∵AB∥DC，

　 ∴∠BCD=∠CBE，（两直线平行，内错角相等）

　 ∴∠ADC=∠CBE，

　 在△ADC 和△CBE 中，

　∴△ADC≌△CBE （SAS）

　 ∴AC=CE．

　 证法二：如图 4-54，连结 BD，

　 ∵DC∥BE，DC=BE，

　 ∴四边形 DCEB 是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

　 ∴DB=CE．

　 又∵四边形 ABCD 是等腰梯形，

　 ∴AC=BD，（等腰梯形对角线相等）

　 ∴AC=CE．

　证法三：如图 4-55，作 CF⊥AE 于 F，DM⊥AE 于 M．

　 在△AMD 和△BFC 中，

　∴△AMD≌△BFC

　（AAS）

　 ∴AM=BF．

　 又∵AB∥DC，MD∥FC，

　 ∴DC=MF．

　 又∵DC=BE，

　 ∴AM+MF=BF+BE，

　∴F 为 AE 的中点，

　 ∴CF 是 AE 的垂直平分线，

　 ∴AC=CE．

　 证法四：如图 4-54，连结 BD．

　 ∵DC∥BE，DC=BE，

　 ∴四边形 DCEB 是平行四边形，

　 ∴∠DBA=∠E，（两直线平行，同位角相等）

　 又∵四边形 ABCD 是等腰梯形，

　 ∴AC=BD，

　 在△ABC 和△BAD 中，

　∴△ABC≌△BAD （SSS）

　 ∴∠CAB=∠DBA，

　 ∴∠CAB=∠E，

　 ∴AC=CE．（等角对等边）（此种方法虽然较繁，但其思路很有价值，即通过证明“三线合一”说明是等腰三角形）

　 点评：证法一证两三角形全等得两线段相等；证法二、四利用角相等证线段相等；证法三中通过梯形常加的辅助线，作梯形底边上的高，连结梯形的对角线，将梯形分割成两个直角三角形与一个矩形，连结对角线再作对角线的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和一个三角形．

　 例 例 4 4 ：要剪切如图 4-56（尺寸单位：mm）所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的铝板，第一块长 500mm，宽 300mm（如图 4-57（1）），第二块长 600mm，宽 250mm（如图 4-57（2）），可供选用．

　 （1）为了充分利用材料，应选用第_________种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共________个，剪完这些零件后，剩余的边角料面积是______________ ．

　 （2）从图 4-57（1）、4-57（2）中选出你要的铝板示意图，在上面画出剪切线；并把边角余料用阴影表示出来．

　思路分析

　 通过计算，两直角梯形零件面积分别为 ，而铝板的面积均为，最多能剪出两个甲、两个乙零件，即在两铝板中设计打样．设计时，为了充分利用材料，考虑到（1）中宽为 300mm，则一种方案作两个乙高，另一种方案为一个甲的下底，思路便打开，类似地，（2）也可以这样分割设计，做出尝试．

　 解：（1）应选用第一块铝板，最多能剪出甲、乙两种零件共 4 个，由计算得

　 第一块铝板面积为：

　，

　 而零件甲、乙的面积分别为 ，

　 ，

　 ∴剩余的边角料的面积是 ；

　 （2）如图 4-58 所示正确画出图形．

　 （设计零件个数，从个数、数量上，结合图中数与数之间的关系考虑，往往是应用题的切入点，此外对图形的拼凑、计算、想象，可有利于思维向纵深发展．）

　 习题精选

　一、选择题

　 1．下列命题中，真命题有(

　)

　 ①有两个角相等的梯形是等腰梯形；

　②有两条边相等的梯形是等腰梯形；

　③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；

　④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分．

　 (A)1 个

　(B)2 个

　(C)3 个

　(D)4 个

　 2．以线段 a=16，b=13，c=10，d=6 为边作梯形，其中 a、c 作为梯形的两底，这样的梯形(

　)

　 (A)只能作1个

　 (B)能作2个

　 (C)能作无数个

　(D)不能作

　 3．在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，E 是 CD 中点，则(

　)

　 (A)AE=BE

　 (B)AE＞BE

　 (C)AE＜BE

　(D)AE、BE大小不确定

　 4．等腰梯形的两底长分别为 a、b，且对角线互相垂直，它的一条对角线长是(

　)

　 (A)

　 (B)

　(a＋b)

　(c)

　(D)a＋b

　 5．有两个角相等的梯形是(

　)

　 A．等腰梯形

　B．直角梯形

　 C．一般梯形

　D．等腰梯形或直角梯形

　 6．已知直角梯形的一腰长为 10cm，这条腰与底所成的角为 30°，那么另一腰的长为(

　)

　 A．2.5cm

　 B．5cm

　C．10cm

　D．15cm

　 7．如图 4-59，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，则图中全等三角形共有(

　)

　 A．1 对

　 B．2对

　C．3 对

　D．4 对

　 （平移对角线 BD 即可）

　8．如图 4-60，AB∥CD，AE⊥DC，AE=12，BD=15，AC=20，则梯形 ABCD 的面积是(

　)

　 A．130

　B．140

　 C．150

　D．160

　二、填空题

　9．在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，则∠D=________，CD=________．

　 10．直角梯形一底与一腰的夹角为 30°，并且这腰长为 6 厘米，则另一腰长为_________．

　 11．已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC＜BC，AC⊥BD 于 O，AC=8，BD=6，则梯形 ABCD 的面积为_________．

　 12．已知梯形上、下底长分别为 6、8，一腰长为 7，则另一腰 a 的范围是 _______，若a 为奇数，则此梯形为_________梯形．

　 13．梯形不在同一底上的两组角的比值分别为 3∶6 和 4∶2，则四个角的度数分别为_________．

　 14．等腰梯形中，上底：腰：下底=1：2：3，则下底上的内角的度数是____________．

　 15．已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，若∠B=30°，AD= 2cm，BC= 6cm，那么梯形的周长为_____________．

　 16．已知梯形的上底长为 2，下底长为 5，一腰长为 4，则另一腰长的取值范围是_________________．

　 17．已知：等腰梯形的两底分别为 10cm 和 20cm，一腰长为 ，则它的对角线长为_____________cm．

　 三、解答题

　 18．梯形 ABCD 中，AD∥BC，BD⊥DC，若 AB=AD=DC，梯形 ABCD 的周长为 10，求梯形 ABCD的面积．

　 19．已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＜BC，且∠B＋∠C=90°，E 为 AD 中点，F 是 BC 中点．求证：

　20．如图 4-61，已知等腰梯形 ABCD，AD∥BC，E 为梯形内一点且 EA=ED．求证：EB=EC．

　21．如图 4-62，四边形 ABCD 是矩形，四边形 ABDE 是等腰梯形，AE∥BD．求证：△BED≌△BCD．

　 22．如图 4-63，梯形 ABCD 中，∠B+∠C=90°，E、F 分别为上、下底的中点．求证：．

　参考答案：

　 一、1．B；

　2．D；

　3．A；

　4．A． 5．D； 6．B； 7．C； 8．C；

　二、9．100°，b-a；

　10．3；

　 11．24；

　12．5<a<9，等腰梯形；

　 13．60°，60°，120°，120°．

　 14．60°；

　15． ；

　16．1<x<7；

　17．17；

　 三、18．∵AD=AB=DC． ∴ ∠1=∠2，

　 ∵

　AD∥BC，∴

　∠C=∠2+∠3，∠1=∠3．

　 ∴

　∠2=∠3，∴ ∠C=2∠3．

　 ∵ BD⊥DC，∴

　∠3=30°，

　 ∴ ．

　 设 CD=x，则 x+x+x+2x=10，

　 ∴

　x=2．

　 在 Rt△BCD 中，BD= ．

　 作 DE⊥BC，垂足为 E．

　 则

　，

　 ∴

　，

　 ∴

　．

　 19．过 E 作 EM//AB，EN//CD 交 BC 分别于 M、N，则得 、 ，有 AE=BM，EN=CD，∠B=∠EMC，∠C=∠ENB，又∠B+∠C=90°，则∠EMC+∠ENB=90°，有∠MEN=90°。

　 又∵BF=CF，AE=DE，有 MF=NF。

　 ∴ 。

　 ∴MN=BC-BM-CN=BC-AE-DE=BC-AD， 。

　 20．∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∴AB=CD，∠BAD=∠CDA，

　 ∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，

　 ∴∠BAD-∠EAD=∠CDA-∠EDA，即∠BAE=∠CDE．

　 在△BAE 和△CDE 中，

　∴△BAE≌△CDE（SAS）

　 ∴EB=EC．

　 21．∵四边形 ABDE 是等腰梯形，∴∠BDE=∠ABD，AB=DE，又∵AB=DC，∴DE=DC，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABD=∠BDC，∴∠BDE=∠BDC．

　 在△BED 和△BCD 中．

　∴△BED≌△BCD．

　 22．如图，过点 E 作 EG//AB 交 BC 于 G，作 EH//CD 交 BC 于 H，则∠B=∠EGC，∠C=∠EHB．

　又∵∠B+∠C=90°，∴∠EGC+∠EHB=90°，

　 ∴∠GEH=90°．

　 ∵AD//BC，∴四边形 ABGE 和四边形 EHCD 都是平行四边形．

　 ∴AE=BG，ED=HC，又∵AE=ED，BF=FC，

　 ∴BG+HC=AD，GF=FH，BC-AD=GH，

　 ∵E、F 分是上、下底的中点，∴GH=FH．又∵∠GEH 为直角，

　 ∴EF 是直角三角形斜边的中线，∴ ，（直角三角形的性质）

　 ∴ ．

　 习题精选

　1．一等腰梯形上底等于一腰，下底等于一腰的 2 倍，梯形的周长为 25，那么它的对角线的长为(

　)

　 A．5

　B．5

　C．5

　D．3

　答案：C

　 说明：设该等腰梯形的上底为 x，则由题意可知腰也为 x，且下底为 2x，所以由该梯形的周长为 25，可得 x+2x+2x = 25，x = 5，如图，则 CE = DF，且 CE+DF = DC−AB = 5，知 CE = ，因此，∠C = 60º；不难得出∠1 =∠2 =∠3 = ∠ADC = ∠C = 30º，所以 DB⊥BC，DB = = 5 ，答案为 C．

　 2．如图，线段 AC、BD 相交于点 O，欲使四边形 ABCD 为等腰梯形，应满足的条件是(

　)

　 A．AO = CO，BO = DO

　 B．AO = CO，BO = DO，∠AOB = 90º

　 C．AO = DO，BO = CO，AD≠BC

　 D．AO = DO，∠AOD = 90º

　 答案：C

　 说明：由选项 A 可得四边形为平行四边形；由选项 B 可得四边形为矩形；则选项C，AO = DO，BO = CO 可得 AC = BD，由于∠AOD = 180º−2∠DAO，∠COB = 180º−2∠BCO，得出∠DAO =∠BCO，因此，AD//BC，又 AD≠BC，所以四边形 ABCD 为梯形，且对角线 AC = BD，即四边形 ABCD 为等腰梯形，选项 C 正确；由选项 D 中的条件无法得出两条对角线相等，所以答案为 C．

　 3．如图，梯形 ABCD 中，AB//CD，若 AD = a，CD = b，AB = a+b，则下列等式一定成立的是(

　)

　 A．∠A =∠B

　 B．BC = a

　 C．BC = b

　D．∠D = 2∠B

　 答案：D

　 说明：过点 C 作 CE//AD，则 CE = AD = a，AE = CD = b，所以 BE = AB−AE = a，得出 CE = BE，则∠B =∠ECB；因此，有∠D =∠AEC =∠B+∠ECB = 2∠B 成立，答案为 D．

　 填空题：

　 1．如图，直角梯形 ABCD 中，AD//BC，CD = 8，∠ADC = 120º，则 AB 的长为____________．

　 答案：4

　说明：过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，则 AB = DE，由已知∠ADC = 120º，知∠C = 60º，所以 RtΔDEC 中，DC = 2EC，得 EC = 4，则 AB = DE == 4 ．

　 2．等腰梯形的上、下底分别是 3cm 和 5cm，一个角是135º，则等腰梯形的面积为____________．

　 答案：4cm2

　说明：如图，等腰梯形 ABCD，AB = 3，CD = 5，∠ABC = 135º，则∠BCD = 45º，过 B 作 BE⊥DC，则ΔBEC 为等腰直角三角形，BE = EC，同样过 A 作 AF⊥DC，则有 AF = FD，而 FD+EC = CD−AB = 5−3 = 2，AF = BE，所以 AF = 1，因此，该梯形的面积为(3+5)×1÷2 = 4cm2 ．

　 解答题：

　 1．如图，AB//CD，AE⊥CD，AE = 12，BD = 15，AC = 20，求梯形 ABCD 的面积．

　 分析：过点 A 作 BD 的平行线交 CD 的延长线于点 F，得到 □ AFDB，则 AB = FD，AF = BD，利用勾股定理分别求出 EF、EC 的长

　 解：过点 A 作 AF//BD 交 CD 的延长线于点 F

　 ∵AB//CD，∴四边形 AFDB 是平行四边形

　 ∴AB = FD，AF = BD = 15

　 ∵AE⊥CD，AC = 20，AE = 12

　∴EF = = 9，EC = = 16

　 ∴FC = EF+EC = 25

　 ∵S 梯形 ABCD = (AB+CD)•AE = (FD+CD)•AE = FC•AE

　 ∴S 梯形 ABCD = ×25×12 = 150．

　 2．如图，在ΔABC 中，∠ACB = 90º，延长 BC 到点 D，使 CD =BC，点 E、F 分别为边 AB、AC 的中点；求证：四边形 EFDB 是等腰梯形．

　 分析：利用“两腰相等的梯形是等腰梯形”进行证明

　 证明：连结 EC

　 ∵E、F 分别为 AB、AC 的中点，∴EF//BC，EF = BC

　 ∴四边形 EFDB 是梯形

　 ∵∠ACB = 90º，∴EC = EB = AB

　 ∵CD = BC，EF = BC，∴EF//CD 且 EF = CD

　 ∴四边形 EFDC 是平行四边形

　 ∴EC = FD，∴EB = FD

　 ∴四边形 EFDB 是等腰梯形． 12 ．1 梯形选择题

　1．下列说法正确的是（

　 ）

　A．梯形的两条对角线相等 B．有两个内角相等的梯形是等腰梯形 C．有两条边相等的梯形是等腰梯形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形 2．四边形四个内角度数之比为 2：2：1：3，则此四边形是（

　 ）

　A．任意四边形

　B．任意梯形

　C．等腰梯形

　D．直角梯形 3．直角梯形的一腰是另一腰的 2 倍，则此梯形的最大角与最小角的度数之比是（

　 ）

　A．2：1

　B．3：1

　C．4：1

　D．5：1 4．等腰梯形的两腰分别与两对角线互相垂直，一底边与一腰相等，那么它的四个内角的度数分别是（

　 ）

　A．50°，50°，130°，130°

　B．60°，60°，120°，120° C．45°，45°，135°，135°

　D．70°，70°，110°，110° 5．在周长为 40cm 的梯形 ABCD 中， DC AE BC AD // , // 交 BC 于 E， 5  AD cm，则 ABE  的周长为（

　 ）

　A．40cm

　B．30cm

　C．20cm

　D．15cm 6．顺次连结等腰梯形各边中点得到的图形是（

　 ）

　A．平行四边形

　B．矩形

　C．菱形

　D．正方形 7．梯形的上底长为 6cm，过上底一个顶点引一腰的平行线，交下底所得的三角形的周长是 19cm，那么这个梯形的周长为（

　 ）

　A．31cm

　B．25cm

　C．19cm

　D．28cm 8．等腰梯形 ABCD 中， AC BC AD , // 与 BD 相交于点 O，图中全等三角形有（

　 ）

　A．2 对

　B．4 对

　C．1 对

　D．3 对 9．直角梯形 ABCD 中， 10 , 20 , 90 , //        BC AD C B DC AB ，则 A  和 D  分别是（

　 ）

　A．30°，150°

　B．45°，135°

　C．120°，60°

　D．150°，30° 10．等腰梯形两底之差等于一腰长，则腰与上底的夹角为（

　 ）

　A． 60°

　B．120°

　C．135°

　D．150° 参考答案：

　1．D． 2．D．提示：设四个角分别为 x x x x 3 , , 2 , 2 ．由四边形的内角和为 360°知四个角分别是 90°，90°，45°，135°，可得一组对边平行，另一组对边不平行，且有两个角是 90°． 3．D．提示：应用直角三角形中，如果一条直线边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是 30°． 4．B．提示：运用等腰梯形及直角三角形的性质． 5．B．提示：

　ABE  的周长等于梯形周长减去 10． 6．C．提示：运用等腰梯形的对角线相等，可知所得的平行四边形有一组邻边相等． 7．A．提示：梯形的周长等于所得三角形周长加上上底的 2 倍． 8．D．提示：

　ABD  与 ABC ACD   , 与 AOB DBC   , 与 DOC  全等． 9．D．提示：运用直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半． 10．B．提示：平移一腰后可得等边三角形． 12 ．1 梯形 填空题

　1．梯形上底长为 5cm，过上底的一端点引一腰的平行线与下底相交，若所得三角形的周长为 20cm，则梯形的周长为_____cm． 2．等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的 3 倍，则下底的一个底角为_______． 3．等腰梯形的一个锐角等于 60°，它的上底是 3cm，腰长是 4cm，则下底是________． 4．一个梯形的面积是 24，它的上、下底的长分别是 5 和 7，则梯形的高是____． 5．如图，在梯形 ABCD 中， CD BD DC AB AD BC AD    , , // ，则 ____  C ．

　 6 ． 如 图 ， 等 腰 梯 形 ABCD 中 ， BC AB AD BC AD21, //   ， 若 梯 形 的 周 长 是 30cm ， 则_ _ _ _ , cm ____    B AD ．

　7．若等腰梯形的周长是 30cm， BD AD BC BC AD , 2 , //  平分 DC BD ABC   , ，则 ____  AD ． 8．梯形 ABCD 中， cm 10 , cm 3 , 30 , 30 , //         AD CD B A CD AB ，则 AB 的长是_____． 参考答案：

　1．30 2．45° 3．7 4．4 5．60° 6．6

　60° 7．6 8． 3 3 10 

　 12 ．1 梯形 解答题

　1．如图，梯形 ABCD 中， BC AD DC AB  , // ，延长 AB 到 E，使 DC BE ．试说明 CE AC ．

　2．如图，等腰梯形 ABCD 中， BD AC BC AD , , // 为对角线，延长 BC 到 E，使 AD CE  ，连结 DE，试判断 DEC  与 DBC  相等吗？

　3．如图，等腰梯形 ABCD 中， ABC BC AD  , // 的平分线恰为 BD，已知梯形的周长为 50cm，

　BC AD21 ．求梯形各边的长．

　4．如图，在梯形 ABCD 中， N M CD AB , , // 是 CD 和 AB 的中点， AB MN  ，那么 BC AD 吗？说明你的理由．

　5．如图，等腰梯形 ABCD 中，    72 , // ABC BC AD ，平移腰 AB 到 DE，再将 DCE  翻折，得到 E CD  ，则 ____    C ED ．

　6．根据下图，填写下表：

　梯形个数 1 2 3 4 5 6 … n

　周

　长 5 8 11 14

　 …

　7．在如图所示的梯形 ABCD 中， AC BC AD , // 和 BD 相交于点 O，试说明DOC AOBS S  ．

　8．如图所示，要剪切如图（1）（长度单位：mm）所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的矩形铝板可供选用：第一种长 500mm，宽 300mm，如图（2）所示；第二种长 600mm，宽 250mm，如图（3）所示．

　 （1）填空：为了充分利用材料，应选用第______种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共_______个，剪下这些零件后，剩余的边角料的面积是________mm2． （2）画图：从图（2）或图（3）中选出所要用的铝板，在图上面画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来． 9．现有一块梯形土地，想从中修一条笔直小路将这块梯形土地分成面积相等的两部分，你能做到吗？请设计方案． 参考答案：

　1．由 CBE D CD BE AD BC      , , ，可得 ADC  ≌ CBE  ，所以 CE AC ． 2．相等．因为 ABCD 是等腰梯形，所以 AC BD ．又因为四边形 ACED 是平行四边形，所以BD AC DE   ，所以 DBC DEC    ． 3． 20 , 10     BC CD AB AD ． 4．相等． DC MN CM DM   , ，因此 D 与 C 关于 MN 对称，同理 A 与 B 关于 MN 对称，则 AD 与 BC是轴对称线段，故 BC AD ． 5．36°

　提示：

　       72 C B DEC ，所以       36 EDC C ED ． 6． 2 3 , 20 6 , 17 5     n n ． 7 ． 作 高 AH ， 因 为 AH AD S AH AD SACD ABD    21,21， 所 以A C D ABDS S  ， 所 以A O D A C D A O D ABDS S S S      ，所以COD AOBS S  ． 8．（1）应选用第一种铝板，并且这块铝板最多能剪甲、乙两种零件各 2 个，即共计 4 个，剩余的边角料面积为：

　) mm ( 80000 150 ) 300 100 (21200 ) 300 100 (21300 5002        ． （2）如图所示．

　9．此题的解法是借用了我们熟悉的三角形和平行四边形的等面积法，因此解决此问题的关键是如何将梯形与三角形或平行四边形进行类比，或者如何将梯形变成为等面积的三角形和平行四边形． 有两种解题方案可供选择．

　（1）将梯形与三角形（或平行四边形）进行类比，可得如下分法：取梯形 ABCD 的上、下底的中点 EF F E , ,即为所求．［如图（1）］

　（2）将梯形问题转化为三角形（或平行四边形）的问题，也就是如何将一个梯形转化为一个面积相等的三角形或平行四边形． 图（2）是将梯形 ABCD 变形为与它面积相等的三角形：取 AD 的中点 E，连结 CE 并延长交 BA 的延长线于 F，取 FB 的中点 G，连结 CG，则 CG 即为所求． 图（3）是将梯形 ABCD 变形为与它面积相等的平行四边形：取 AD 的中点 E，过 E 作 BC FG// ，分别交CD AB, （或它们的延长线）于 G F, ，在 GFBC 中，过中点 O 作直线 MN 使它与线段 DC FB, 同时相交即可，直线 MN 即为所求．