高数定理大解析必背

时间：2020-12-16 10:18:50 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　高等数学定理大解析- 考研必捋版

　 ( 考研大纲要求范围+ 高数重点知识)

　第一章

　函数与极限

　1、 函数得有界性 在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界,K1为下界;如果有 f(x)≤K2,则有上界,K2 称为上界。函数 f(x)在定义域内有界得充分必要条件就是在定义域内既有上界又有下界。

　2、 函数得单调性、奇偶性、周期性(指最小正周期) 3、

　数列得极限 定理(极限得唯一性) 数列{xn}不能同时收敛于两个不同得极限。

　定理(收敛数列得有界性)如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界。

　 如果数列{xn}无界,那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界,却不能断定数列{xn}一定收敛,例如数列 1,-1,1,-1,(-1)n+1…该数列有界但就是发散,所以数列有界就是数列收敛得必要条件而不就是充分条件。

　定理(收敛数列与其子数列得关系)如果数列{xn}收敛于 a,那么它得任一子数列也收敛于 a。

　● 如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同得极限,那么数列{xn}就是发散得,如数列 1,-1,1,-1,(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于 1,{xnk}收敛于-1,{xn}却就是发散得;同时一个发散得数列得子数列也有可能就是收敛得。

　4、函数得极限

　 函数极限得定义中 0<|x-x0|表示 x≠x0,所以 x→x0 时 f(x)有没有极限与 f(x)在点 x0 有没有定义无关。

　定理(极限得局部保号性)如果 lim (x→x0)时 f(x)=A,而且 A>0(或 A<0),就存在着点那么x0得某一去心邻域,当x在该邻域内时就有f(x) >0(或 f(x) >0),反之也成立。

　●

　函数 f(x)当 x→x0 时极限存在得充分必要条件就是左极限右极限各自存在并且相等,即 f(x0-0)= f(x0+0),若不相等则 lim f(x)不存在。

　●

　一般得说,如果 lim(x→∞) f(x)=c,则直线 y=c 就是函数 y= f(x)得图形水平渐近线。如果 lim(x→x0) f(x)=∞,则直线 x=x0 就是函数 y= f(x)图形得铅直渐近线。

　5、

　极限运算法则 定理 有限个无穷小之与也就是无穷小;有界函数与无穷小得乘积就是无穷小;常数与无穷小得乘积就是无穷小;有限个无穷小得乘积也就是无穷小;

　定理 如果 F1(x)≥F2(x),而 lim F1 (x)= a,lim F2 (x)= b,那么 a≥b。

　6、

　极限存在准则 ●

　两个重要极限 lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1。

　●

　夹逼准则 如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件:yn ≤xn ≤zn且lim yn = a,lim zn = a,那么lim xn = a,对于函数该准则也成立。

　●

　单调有界数列必有极限。

　7、

　函数得连续性 ●

　设函数 y= f(x)在点 x0 得某一邻域内有定义,如果函数 f(x)当x→x0 时得极限存在,且等于它在点 x0 处得函数值 f(x0),即 lim(x→x0) f(x)= f(x0),那么就称函数 f(x)在点 x0 处连续。

　●

　不连续情形:1、在点 x=x0 没有定义;2、虽在 x=x0 有定义但lim(x→x0) f(x)不存在;3、虽在 x=x0 有定义且 lim(x→x0) f(x)存在,但 lim(x→x0) f(x) ≠f(x0)时则称函数在 x0 处不连续或间断。

　●

　如果 x0 就是函数 f(x)得间断点,但左极限及右极限都存在,则称x0为函数f(x)得第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点,不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点得任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点与震荡间断点)。

　●

　定理 有限个在某点连续得函数得与、积、商(分母不为 0)就是个在该点连续得函数。

　●

　定理 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续,那么它得反函数x= f(y)在对应得区间 Iy={ y| y = f(x),x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在她们得定义域内都就是连续得。

　●

　定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续得函数在该区间上一定有最大值与最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上就不一定有最大值与最小值。

　●

　定理(有界性定理)在闭区间上连续得函数一定在该区间上有界,即 m ≤f(x)≤M。

　●

　定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与 f(b)异号(即 f(a)× f(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有函数 f(x)得一个零点,即至少有一点ξ(a<ξ<b)使 f(ξ)=0。

　●

　定理(介值定理)设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间得端点处取不同得值f(a)=A, f(b)=B,那么对于A与 B之间得任一数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使 f(ξ)= C,(a<ξ<b)。

　●

　推论 在闭区间上连续得函数必取得介于最大值M与最小值m 之间得任何

　值。

　第二章

　导数与微分

　1、

　导数存在得充分必要条件 ●

　函数 f(x)在点 x0 处可导得充分必要条件就是在点 x0 处得左极限 lim(h→-0) [f(x0+h)- f(x0)]/h 及右极限 lim(h→+0) [f(x0+h)- f(x0)]/h都存在且相等,即左导数 f-′(x0)右导数 f+′(x0)存在相等。

　2、

　函数 f(x)在点 x0 处可导=>函数在该点处连续;函数 f(x)在点x0 处连续 ≠>在该点可导。即函数在某点连续就是函数在该点可导得必要条件而不就是充分条件。

　3、

　原函数可导则反函数也可导,且反函数得导数就是原函数导数得倒数。

　4、

　函数 f(x)在点 x0 处可微=>函数在该点处可导;函数 f(x)在点x0 处可微得充分必要条件就是函数在该点处可导。

　 第三章

　中值定理与导数得应用

　1、

　定理(罗尔定理)如果函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点得函数值相等,即 f(a)= f(b),那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得函数 f(x)在该点得导数等于零:f’(ξ)= 0。

　2、

　定理(拉格朗日中值定理)如果函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得等式 f(b)-f(a)= f’(ξ)(b-a)成立即 f’(ξ)= [f(b)-f(a)]/(b-a)。

　3、

　定理(柯西中值定理)如果函数 f(x)及 F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且 F’(x)在(a,b)内得每一点处均不为零,那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得等式[f(b)-f(a)]/[ F(b)-F(a)]= f’(ξ)/ F’(ξ)成立。

　4、

　洛必达法则应用条件 ●

　只能用与未定型诸如 0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0 等形式。

　5、

　函数单调性得判定法 ●

　设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么: (1)

　如果在(a,b)内 f’(x)>0,那么函数 f(x)在[a,b]上单调增加; (2)

　如果在(a,b)内 f’(x)<0,那么函数 f(x)在[a,b]上单调减少。

　●

　如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在得点外

　导数存在且连续,那么只要用方程 f’(x)=0 得根及 f’(x)不存在得点来划分函数 f(x)得定义区间,就能保证 f’(x)在各个部分区间内保持固定符号,因而函数 f(x)在每个部分区间上单调。

　6、

　函数得极值 ●

　如果函数 f(x)在区间(a,b)内有定义,x0 就是(a,b)内得一个点,如果存在着点 x0 得一个去心邻域,对于这去心邻域内得任何点 x, f(x)< f(x0)均成立,就称f(x0)就是函数f(x)得一个极大值;如果存在着点 x0得一个去心邻域,对于这去心邻域内得任何点 x, f(x)> f(x0)均成立,就称 f(x0)就是函数 f(x)得一个极小值。

　●

　在函数取得极值处,曲线上得切线就是水平得,但曲线上有水平曲线得地方,函数不一定取得极值,即可导函数得极值点必定就是它得驻点(导数为 0 得点),但函数得驻点却不一定就是极值点。

　●

　定理(函数取得极值得必要条件)设函数 f(x)在 x0 处可导,且在 x0 处取

　 得极值,那么函数在 x0 得导数为零,即 f’(x0)=0。

　●

　定理(函数取得极值得第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导,且 f’(x0)=0,那么: (1)

　如果当 x 取 x0 左侧临近得值时,f’(x)恒为正;当 x 去 x0 右侧临近得值时,f’(x)恒为负,那么函数 f(x)在 x0 处取得极大值; (2)

　如果当 x 取 x0 左侧临近得值时,f’(x)恒为负;当 x 去 x0 右侧临近得值时,f’(x)恒为正,那么函数 f(x)在 x0 处取得极小值; (3)

　如果当 x 取 x0 左右两侧临近得值时,f’(x)恒为正或恒为负,那么函数 f(x)在 x0 处没有极值。

　●

　定理(函数取得极值得第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导

　 数且 f’(x0)=0,f’’(x0)≠0 那么: (1) 当 f’’(x0)<0 时,函数 f(x)在 x0 处取得极大值; (2) 当 f’’(x0)>0 时,函数 f(x)在 x0 处取得极小值;

　●

　驻点有可能就是极值点,不就是驻点也有可能就是极值点。

　7、函数得凹凸性及其判定

　 设 f(x)在区间 Ix 上连续,如果对任意两点 x1,x2 恒有 f[(x1+x2)/2]<

　 [f(x1)+f(x1)]/2,那么称 f(x)在区间 Ix 上图形就是凹得;如果恒有 f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2,那么称 f(x)在区间 Ix 上图形就是凸得。

　●

　定理 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内具有一阶与二阶导数,那么 (1)若在(a,b)内 f’’(x)>0,则 f(x)在闭区间[a,b]上得图形就是凹得; (2)若在(a,b)内 f’’(x)<0,则 f(x)在闭区间[a,b]上得图形就是凸得。

　●

　判断曲线拐点(凹凸分界点)得步骤

　(1)求出 f’’(x);

　(2)令 f’’(x)=0,解出这方程在区间(a,b)内得实根;

　(3)对于(2)中解出得每一个实根 x0,检查 f’’(x)在 x0 左右两侧邻近得符号,如果 f’’(x)在 x0 左右两侧邻近分别保持一定得符号,那么当两侧得符号相反时,点(x0,f(x0))就是拐点,当两侧得符号相同时,点(x0,f(x0))不就是拐点。

　●

　在做函数图形得时候,如果函数有间断点或导数不存在得点,这些

　点也要作为分点。

　第四章

　不定积分

　1、

　原函数存在定理 ●

　定理 如果函数 f(x)在区间 I 上连续,那么在区间 I 上存在可导函数 F(x),使对任一 x∈I 都有 F’(x)= f(x);简单得说 连续函数一定有原函数。

　●

　分部积分发 如果被积函数就是幂函数与正余弦或幂函数与指数函数得乘积,就可以考虑用分部积分法,并设幂函数与指数函数为 u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数得幂降低一次。如果被积函数就是幂函数与对数函数或幂函数与反三角函数得乘积,就可设对数与反三角函数为 u。

　2、

　对于初等函数来说,在其定义区间上,它得原函数一定存在,但原函数不一定都就是初等函数。

　第五章

　定积分

　1、

　定积分解决得典型问题 (1)曲边梯形得面积

　 (2)变速直线运动得路程 2、函数可积得充分条件 ●

　定理 设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上可积,即连续=>可积。

　●

　定理 设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在区间[a,b]上可积。

　3、定积分得若干重要性质 ●

　性质 如果在区间[a,b]上 f(x)≥0 则∫abf(x)dx≥0。

　●

　推论 如果在区间[a,b]上 f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

　●

　推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

　●

　性质 设 M 及 m 分别就是函数 f(x)在区间[a,b]上得最大值与最小值,则 m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上得最大值及最小值可以估计积分值得大致范围。

　●

　性质(定积分中值定理)如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ,使下式成立:∫abf(x)dx= f(ξ)(b-a)。

　4、关于广义积分

　设函数 f(x)在区间[a,b]上除点 c(a<c<b)外连续,而在点 c 得邻域内无界,如果两个广义积分∫acf(x)dx 与∫cbf(x)dx都收敛,则定义∫abf(x)dx= ∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx,否则(只要其中一个发散)就称广义积分∫abf(x)dx 发散。

　第六章

　定积分得应用 1、

　求平面图形得面积(曲线围成得面积) ●

　直角坐标系下(含参数与不含参数) ●

　极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式 S=R2θ/2) ●

　旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成得面积绕坐

　标轴旋转而成)(且体积 V=∫abπ[f(x)]2dx,其中 f(x)指曲线得方程) ●

　平行截面面积为已知得立体体积(V=∫abA(x)dx,其中 A(x)为截面面积) ●

　功、水压力、引力 ●

　函数得平均值(平均值 y=1/(b-a)* ∫abf(x)dx) 第七章

　多元函数微分法及其应用 1、

　多元函数极限存在得条件 极限存在就是指 P(x,y)以任何方式趋于 P0(x0,y0)时,函数都无限接近于A,如果P(x,y)以某一特殊方式,例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0,y0)时,即使函数无限接近某一确定值,我们还不能由此断定函数极限存在。反过来,如果当 P(x,y)以不同方式趋于 P0(x0,y0)时,函数趋于不同得值,那么就可以断定这函数得极限不存在。例如函数: f(x,y)={0

　(xy)/(x^2+y^2)

　x^2+y^2≠0 2、

　多元函数得连续性 ●

　定义 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义,P0(x0,y0)就是 D 得内点或边界点且 P0∈D,如果 lim(x→x0,y→y0) f(x,y)= f(x0,y0)则称 f(x,y)在点 P0(x0,y0)连续。

　●

　性质(最大值与最小值定理)在有界闭区域D上得多元连续函数,在 D 上一定有最大值与最小值。

　●

　性质(介值定理)在有界闭区域 D 上得多元连续函数,如果在D 上取得两个不同得函数值,则它在 D 上取得介于这两个值之间得任何值至少一次。

　3、

　多元函数得连续与可导 如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续。这就是因为各偏导数存在只能保证点 P 沿着平行于坐标轴得方向趋于 P0时,函数值 f(P)趋于 f(P0),但不能保证点 P 按任何方式趋于 P0 时,函数值 f(P)都趋于 f(P0)。

　4、

　多元函数可微得必要条件 一元函数在某点得导数存在就是微分存在得充分必要条件,但多元函数各偏导数存在只就是全微分存在得必要条件而不就是充分条件,即可微=>可偏导。

　5、多元函数可微得充分条件 定理(充分条件)如果函数 z= f(x,y)得偏导数存在且在点(x,y)连续,则函数在该点可微分。

　6 多元函数极值存在得必要、充分条件

　 定理(必要条件)设函数 z= f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则它在该点得偏导数必为零。

　 定理(充分条件)设函数 z= f(x,y)在点(x0,y0)得某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又 fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令 fxx(x0,y0)=0=A, fxy(x0,y0)=B, fyy(x0,y0)=C,则 f(x,y)在点(x0,y0)处就是否取得极值得条件如下: (1)

　AC-B2>0 时具有极值,且当 A<0 时有极大值,当 A>0 时有极小值;

　(2)

　AC-B2<0 时没有极值; (3)

　AC-B2=0 时可能有也可能没有。

　7、

　多元函数极值存在得解法 (1)

　解方程组fx(x,y)=0,fy(x,y)=0求得一切实数解,即可求得一切驻点。

　(2)

　对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数得值 A、B、C。

　(3)

　定出 AC-B2 得符号,按充分条件进行判定 f(x0,y0)就是否就是极大值、极小值。

　注意:在考虑函数得极值问题时,除了考虑函数得驻点外,如果有偏导数不存在得点,那么对这些点也应当考虑在内。

　第八章

　二重积分 1、

　二重积分得一些应用 ●

　曲顶柱体得体积 ●

　曲面得面积(A=∫∫√[1+ f2x(x,y)+ f2y(x,y)]dς) ●

　平面薄片得质量 ●

　平面薄片得重心坐标(x=1/A∫∫x dς,y=1/A∫∫y dς;其中 A=∫∫dς为闭区域 D 得面积。

　●

　平面薄片得转动惯量(Ix=∫∫y2ρ(x,y) dς, Iy=∫∫x2ρ(x,y) dς;其中ρ(x,y)为在点(x,y)处得密度。

　●

　平面薄片对质点得引力(Fx Fy Fz) 2、

　二重积分存在得条件 当 f(x,y)在闭区域 D 上连续时,极限存在,故函数 f(x,y)在 D 上得二重积

　分必定存在。

　3、

　二重积分得一些重要性质 ●

　性质 如果在 D 上,f(x,y)≤ψ(x,y),则有不等式∫∫f(x,y)dxdy≤ ∫∫ψ(x,y)dxdy,特殊地由于-| f(x,y)| ≤f(x,y) ≤| f(x,y)|又有不等式|∫∫f(x,y)dxdy|≤∫∫|f(x,y)|dxdy。

　●

　性质 设 M,m 分别就是 f(x,y)在闭区域 D 上得最大值与最小值,ς就是 D 得面积,则有 mς≤∫∫f(x,y) dς≤Mς。

　●

　性质(二重积分得中值定理)设函数 f(x,y)在闭区域 D 上连续,ς就是 D 得面积,则在 D 上至少存在一点(ξ,η)使得下式成立:

　∫∫f(x,y) dς= f(ξ,η)* ς 4、

　二重积分中标量在直角与极坐标系中得转换 ●

　把二重积分从直角坐标系换为极坐标系,只要把被积函数中得 x,y 分别换成 ycosθ、rsinθ,并把直角坐标系中得面积元素 dxdy换成极坐标系中得面积元素 rdrdθ。