8.3,空间点、直线、平面之间位置关系【解析版】

时间：2021-04-28 00:18:19 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系

　 1. 文字、图形、符号三种语言的转化；2. 点共线问题；3. 点线共面问题；4. 线共点问题；5. 空间两条直线位置关系的判定；6. 平行线的传递性；7. 等角定理的应用；8. 异面直线所成的角概念及其确定；9. 直线与平面的位置关系；10.两个平面的位置关系.

　一、单选题 1．（2019·广东佛山·高二月考）和两条异面直线都垂直的直线（

　）

　A．有无数条 B．有两条 C．只有一条 D．不存在 【答案】A 【解析】

　由于异面直线的公垂线只有一条，因此凡与公垂线平行的直线都与两条异面直线垂直，有无数条. 故选：A. 2．（2020·山西太原五中月考（文））两个平面若有三个公共点，则这两个平面（

　）

　A．相交 B．重合 C．相交或重合 D．以上都不对 【答案】C 【解析】

　两个平面若有三个公共点，当这三个点不共线时，两平面重合，当这三个点共线时，这两个平面相交或重合． 故选：C． 3．（2020·安徽合肥一中月考（理））若 P 为两条异面直线 l m ， 外的任意一点，则（ ）

　A．过点 P 有且仅有一条直线与 l m ， 都平行 B．过点 P 有且仅有一条直线与 l m ， 都垂直 C．过点 P 有且仅有一条直线与 l m ， 都相交

　D．过点 P 有且仅有一条直线与 l m ， 都异面 【答案】B 【解析】

　解：因为若点 P 是两条异面直线 l m ， 外的任意一点，则过点 P 有且仅有一条直线与 l m ， 都垂直，选 B 4．（2020·北京期末）在空间中，下列结论正确的是（

　）

　A．三角形确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．一个点和一条直线确定一个平面 D．两条直线确定一个平面 【答案】A 【解析】

　三角形有且仅有 3 个不在同一条直线上的顶点，故其可以确定一个平面，即 A 正确； 当四边形为空间四边形时不能确定一个平面，故 B 错误； 当点在直线上时，一个点和一条直线不能确定一个平面，故 C 错误； 当两条直线异面时，不能确定一个平面，即 D错误； 故选：A. 5．（2020·北京学业考试）如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D  的棱 AB ， BC ， CD ，1CC 所在的直线中，与直线1BC 成异面直线的是（

　）

　A．直线 AB

　B．直线 BC

　C．直线 CD

　D．直线1CC

　【答案】C 【解析】

　由题意，直线 AB 、 BC 、1CC 均与直线1BC 相交， 由异面直线的概念可得直线 CD 与直线1BC 成异面直线. 故选：C.

　6．（2020·云南省保山第九中学月考）下列叙述错误的是（

　）

　A．若 p∈α∩β，且 α∩β=l，则 p∈l. B．若直线 a∩b=A，则直线 a 与 b 能确定一个平面. C．三点 A，B，C 确定一个平面. D．若 A∈l，B∈l 且 A∈α，B∈α 则 l  α. 【答案】C 【解析】

　选项 A ，点 P 在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确； 选项 B ，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确； 选项 C ，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误； 选项 D ，由公理 1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内． 故选：C 7．（2020·湖南岳阳一中高一月考）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中

　① // BM ED

　② // EF CD

　③ CN 与 BM 为异面直线 ④ DM BN 

　以上四个命题中，正确的序号是（

　）

　A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【解析】

　作出正方体得到直观图如图所示:

　 由直观图可知, BM 与 DE 为互相垂直的异面直线,故①不正确; // // EF AB CD ,故②正确; CN 与 BM 为异面直线,故③正确; 由正方体性质可知 BN  平面 DEM ,故 BN DM  ,故④正确. 故选:D 8．（2020·安徽池州一中月考（文））若直线 a b ､ 异面，直线 b c ､ 异面，则 a c､的位置关系是（

　）

　A．异面直线 B．相交直线 C．平行直线 D．以上都有可能 【答案】D 【解析】

　如图：

　a b ､ 异面，直线 b c ､ 异面， a c､异面

　如图：

　a b ､ 异面，直线 b c ､ 异面， a c､相交

　如图：

　a b ､ 异面，直线 b c ､ 异面， a c､平行

　故选：D 9．（2020·北京人大附中期末）下面四个说法中，正确说法的个数为（

　）

　（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； （2）两条直线可以确定一个平面； （3）若 M   ， M   ， l    ，则 M l  ； （4）空间中，两两相交的三条直线在同一平面内. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】

　如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确； 两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确； 利用平面的基本性质中的公理 3 判断（3）正确； 空间中，若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的 3条侧棱），故（4）不正确， 综上所述只有一个说法是正确的， 故选：A． 10．（2020·安徽月考（文））如图，在直三棱柱1 1 1ABC ABC  中，D 为1 1AB 的中点，12 2 AB BC BB    ，2 2 AC ，则异面直线 BD与 AC 所成的角为（

　）

　A． 30°

　B． 45

　C． 60

　D． 90

　【答案】C 【解析】

　如图，取1 1BC 的中点 E ，连接 BE ， DE ， 则1 1/ / / / AC AC DE , 所以 BDE  即为异面直线 BD 与 AC 所成的角或其补角， 由已知可得2 BD DE BE   ，三角形 BDE 为正三角形， 所以 60 BDE    ， 所以异面直线 BD 与 AC 所成的角为 60 .

　 故选：C 【点睛】

　平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

　（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 0,2   ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 二、多选题 11．（2020·江苏大港中学月考）如果两条直线 a与 b 没有公共点，那么 a 与 b 的位置关系可能是（

　）

　A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【答案】BC 【解析】

　空间中两条直线的位置关系有三种：

　相交，有且只有一个公共点； 平行，没有公共点； 异面，没有公共点． 由此可知，如果两条直线 a 和 b 没有公共点， 那么 a 与 b 的位置关系是平行或异面, 故选：BC． 12．（2020·江苏大港中学月考）下列命题正确的是（

　）

　A．三点确定一个平面 B．空间四边形一定是平面图形 C．平行四边形一定是平面图形 D．梯形一定是平面图形 【答案】CD 【解析】

　若三点共线，则这三个点就不能确定一个平面，A不正确； 空间四边形四个顶点不一定共面，所以空间四边形不一定是平面图形，B 不正确； 平行四边形、梯形中都有一组对边平行， 因为两条平行线确定一平面，  平行四边形、梯形是平面图形， 故 CD正确． 故选：CD． 13．（2020·山东高二月考）如图所示，已知二面角 A BD C   的大小为π3， G ， H 分别是 BC ， CD 的中点， E ， F 分别在 AD ， AB 上，13AE AFAD AB  ，且 AC  平面 BCD ，则以下说法正确的是（

　）

　A． E ， F ， G ， H 四点共面 B． // FG 平面 ADC

　C．若直线 FG ， HE 交于点 P ，则 P ， A ， C 三点共线

　D．若 ABD △ 的面积为 6，则 BCD 的面积为 3 【答案】ACD 【解析】

　A选项：在 ABD △ 中，因为13AE AFAD AB  ，所以 // EF BD ，在 BCD 中，因为 G ， H 分别是 BC ， CD的中点，所以 // GH BD ，所以 / / EF GH ，所以 E ， F ， G ， H 四点共面，故 A选项正确； B 选项：假设 // FG 平面 ADC 成立，因为平面 ABC 平面 DAC AC ，所以 // FG AC ，又 G 是 BC 的中点，所以 F 是 AB 的中点，与13AFAB 矛盾，故 B 选项错误； C 选项：因为 FG 平面 ABC ， P FG  ，所以 P 平面 ABC ，同理 P 平面 DAC ，因为平面 ABC平面 DAC AC  ，所以 P AC  ，所以 P ， A ， C 三点共线，故 C 选项正确； D选项：因为二面角 A BD C   的大小为π3， AC  平面 BCD ，所以点 A 到直线 BD 的距离是点 C 到直线 BD 的距离的 2 倍，故ABD CBDS S  ，故 D选项正确； 故选：ACD 14．（2020·凌海市第二高级中学月考）如图1 1 1 1ABCD ABC D  为正方体，下列说法中正确的是（

　）

　A．三棱锥1 1B ACD  为正四面体 B．1BC 与1AD 互为异面直线且所成的角为 45

　C．1AD 与1A B 互为异面直线且所成的角为 60

　D．1AA 与1 1B D 互为异面直线且所成的角为 90

　【答案】ACD 【解析】

　对于 A，因为三棱锥1 1B ACD  的各条棱都是正方体表面正方形的对角线，即各条棱相等，故三棱锥

　1 1B ACD  为正四面体，故 A正确； 对于 B，连接1BC ，可知在正方体中，1 1AB CD C D ，所以四边形1 1ABC D 是平行四边形，所以1 1BC AD P ，因为1 1BC BC  ，故异面直线1BC 与1AD 所成角为 90 ，故 B 错误；

　对于 C，由图可得1AD 与1A B 互为异面直线，连接1A B ，易得四边形1 1ABCD 是平行四边形，则1 1AB CD P ，则1ADC  即为所成角，由1ADC 是等边三角形可得160 ADC  ，故 C 正确；

　对于 D，由图可知1AA 与1 1B D 互为异面直线，因为在正方体中，1AA  平面1 1 1 1D C B A ，且1 1B D  平面1 1 1 1D C B A ，故1 1 1AA B D  ，故 D正确. 故选：

　ACD. 三、填空题 15．（2020·山西省静乐县第一中学校高二月考）空间 5 点，其中有 4 点共面，它们没有任何 3点共线，这 5

　个点最多可以确定___个平面. 【答案】7 【解析】

　空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，  同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连 6 条线， 由三点确定一平面知任意一条线加上第五个点都会形成一个面， 因此有 6个面， 再加上 4点确定的面总共是 7个面． 故答案为：7 16．（2019·江苏省江阴市第一中学高一期中）如图，在正方体1 1 1 1ABCD ABC D  中，面对角线1A D 与 AC所在直线的位置关系为____．(填“平行”、“相交”、“异面”)

　 【答案】异面 【解析】

　在正方体1 1 1 1ABCD ABC D  中，

　A 1 D∩平面 ABCD=D，

　AC⊂平面 ABCD，

　D∉AC， ∴面对角线 A 1 D与 AC 所在直线的位置关系为异面． 故答案为异面． 17．（2020·台州市三梅中学高二月考）已知∠BAC=∠B 1 A 1 C 1 ，AB∥A 1 B 1 ，则 AC 与 A 1 C 1 的位置关系是____________. 【答案】平行、重合、相交或异面 【解析】

　 当∠BAC 与∠B 1 A 1 C 1 在平面中，由 AB∥A 1 B 1 ， 根据等角定理可得1 1/ / AC AC ，

　根据上图可得 AC 与 A 1 C 1 重合，

　根据上图可知，AC 与 A 1 C 1 相交，

　根据上图可知，AC 与 A 1 C 1 异面. 综上所述，AC 与 A 1 C 1 的位置关系是平行、重合、相交或异面. 故答案为：平行、重合、相交或异面 四、双空题 18．（2020·全国高一课时练习）(1)平面1AB 平面1 1AC  _______; (2)平面1 1ACCA 平面 AC  ________.

　 【答案】1 1AB

　 AC

　 【解析】

　由图可知，（1）平面1AB 平面1 1AC 1 1AB ， （2）平面1 1ACCA 平面 AC 

　AC 故答案为：（1）1 1AB ；（2）AC 19．（2020·全国高一课时练习）三个平面最多能把空间分为_____部分，最少能把空间分成_____部分. 【答案】8

　4

　 【解析】

　①三个平面互相平行时，可把空间分成 4 部分.如图（3）. ②三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成 6 部分.如图（4）. ③三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成 6 部分.如图（5）. ④三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成 7 部分.如图（6）. ⑤三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成 8 部分.如图（7）. 综上可知，三个平面可把空间分成 4 或 6 或 7或 8 部分.

　20．（2020·浙江高三其他）如图，某四面体的三视图是三个等腰直角三角形，则该四面体的表面中直角三角形的个数为_________，该四面体的最长棱和其对棱所成夹角的余弦值为_________．

　 【答案】4

　33

　 【解析】

　根据三视图还原几何体，并将其放在正方体中，如图中四面体 ABCD 所示，所以该四面体的表面中直角三角形的个数为 4．设正方体的棱长为 a ，则 AB CD BD a    ， 2 , 3 AD BC a AC a    ，所以最长棱为 AC ，其对棱为 BD ．在正方体中，易知 // BD CE ，则 ACE  为异面直线 AC 与 BD 所成的角．在Rt ACE △ 中，易得3cos3CEACEAC   ，所以 AC 与 BD 所成角的余弦值为33． 故答案为：4，33．

　21．如图所示，1 1 1 1ABCD ABC D  是长方体，1AA a  ，1 1 1 130 BAB B AC    ，则异面直线 AB 与1 1AC所成角为___________；1AA 与1BC 所成的角为__________；

　 【答案】

　30 

　 45 

　【解析】

　因为1 1 1 1ABCD ABC D  是长方体， 所以1 1 / /AB AB ， 所以1 1 1B AC  是异面直线 AB 与1 1AC 所成角， 因为1 1 1 130 BAB B AC    ， 所以异面直线 AB 与1 1AC 所成角是 30  . 因为1 1/ / AA BB

　， 所以1BB C  是异面直线1AA 与1BC 所成的角， 130    BAB ，1AA a  ， 所以 3 AB a 

　，因为1 1 130    B AC ，所以 BC a  ，

　所以145 BBC   . 故答案为：(1). 30 

　 (2). 45 

　五、解答题 22．如图，已知 , , , E F G H 分别是空间四边形 ABCD 的边, , , AB BC CD DA 的中点.

　 （1）求证：

　, , , E F G H 四点共面； （2）若四边形 EFGH 是矩形，求证：

　AC BD  . 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】

　（1）在 ABD  中， , E H 分别是 , AB AD 的中点， // EH BD  . 同理 // FG BD ，则 // EH FG ，故 , , , E F G H 四点共面. （2）由（1）知 / / EH BD ，同理 // AC GH .又∵四边形 EFGH 是矩形， EH GH   .故 AC BD 

　23．如图所示的一块木料中，棱 BC 平行于面 AC   .

　（1）要经过面 AC   内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ （2）所画的线与平面 AC 是什么位置关系？ 【答案】（1）见解析（2）直线 EF 与平面 AC 平行直线 , BE CF 与平面 AC 相交. 【解析】

　（1）如图所示，在平面" "AC 内，过点 P作直线 EF ，使 / / EF BC  ，并分别交棱AB   ，"DC于点 E E ， 连接 BE CF ， ，则 EF BE CF ， ， 就是应画的线.理由是:由于 // BC 平面" "AC ， BC  平面" "BCC B ,平面" "BCC B  平面" " " "AC BC ，所以" "/ / BC BC .由于 / / EF BC  ，所以// EF BC ，所以, , , B C F E 四点共面.

　（2）由（1）知， // EF BC ，而 BC 在平面 AC 内， EF 在平面 AC 外，所以 // EF 平面 AC .显然， BE CF ，都与平面 AC 相交.

　 24．（2020·山西省静乐县第一中学校高二月考）如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D  中， E ， F 分别是 AB ，1AA 的...