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    椭圆-双曲线-抛物线

    时间：2020-10-17 00:49:51 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：双曲线 抛物线 椭圆

    　椭圆、双曲线、抛物线 的标准方程及性质( 学案) 【一 】

    　知识回顾

    　定义 标准方程 焦点、 准线 性质 对称性 顶点 范围 渐近线 椭圆 圆

    　双曲线 线

    　抛物线 线

    　几个重要的公式 中点公式 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ) 线段 AB 的中点 M（

    　）

    　韦达定理 方程 2 12, 0, 0x x AC Bx Ax两根    求根公式 2 , 1x

    　 2 1x x

    　2 1 xx

    　 弦长公式

    　抛物线的焦点弦

    　【二 】例题选讲 1. 已知     0 , 2 , 0 , 2  B A

    　（1）动点 P 满足 10   PB PA ，则 P 的轨迹方程是

    　； （2）动点 P 满足 4   PB PA ，则 P 的轨迹方程是

    　； （3）动点 P 满足 2   PB PA ，则 P 的轨迹方程是

    　； 2. 已知2 1 ,FF 椭圆 18 162 2 y x的左、右焦点，过左焦点的直线交椭圆于 A，B两点，如图 1 所示，则2ABF  周长为

    　. 3. 已知2 1 ,FF 双曲线   0 , 0 , 1222    b abyax的左、右焦点，过左焦点的直线交左支于 A，B 两点，且 m AB  ，如图 2 所示，则2ABF  周长为

    　. 4. 抛物线 x y 22 上的点 M 到其焦点 F 的距离为23，则 M 的坐标是

    　. xyF 1OABF 2图 1 xyF 1OF 2BA图 2

    　5. 已知椭圆 15 32222 nymx和双曲线 13 22222 nymx有公共的焦点，则双曲线的渐近线方程是

    　 . 6. 以双曲线 116 92 2 y x的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是

    　 . 7. 已知双曲线 C 经过点 (1,1) ，它的一条渐近线方程为 3 y x  ，则双曲线 C 的标准方程是

    　. 8. 椭圆 C：

    　x29 ＋y22 ＝1 的焦点为F 1 、 F 2 ，点 P 在椭圆上 （1）若| PF 1 |＝4，求| PF 2 |及∠ F 1 PF 2 的大小； （2）若2 1PF PF  ，求2 1 FPF  的面积.

    　9. 正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y = x +4 上， C 、D 两点在抛物线 y2 = x上，求正方形 ABCD 的面积.

    　 10. 已知动点 P 到两个定点1 2( 1,0), (1,0) F F  的距离1 2, PF PF 的等差中项为 2 . （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）直线 l 过圆2 24 0 x y y    的圆心 Q 与曲线 C 交于 , M N 两点，且 0 ON OM   ( O 为坐标原点)，求直线 l 的方程.

    　【三】课后练习

    　1. 若椭圆 1 22 2 ky kx 的一个焦点是   4 , 0  ，则  k

    　. 2. 双曲线 19 42 2 y x的顶点坐标是

    　 ，渐近线方程是

    　 . 3. 抛物线24x y  的焦点坐标是

    　，准线方程是

    　. 4. 经过椭圆 15 92 2 y x和 19 52 2 y x的所有交点的圆的方程是

    　. 5. 设 双 曲 线 19 252 2 y x的 两 个 焦 点 为2 1 ,FF ， 点 P 在 双 曲 线 上 ， 且 121 PF ， 则2PF

    　 . 6. 与双曲线 4 42 2  y x 有共同的渐近线，且过点   5 , 2 的双曲线方程是

    　. 7. F 是抛物线 x y 22 焦点，P 是抛物线上一点，且29 PF ，则 P 的坐标是

    　. 8. 已知两圆2 215:( 1)4O x y    和2 2245:( 1)4O x y    ，动圆 P 与⊙O 1 外切，且与⊙O 2 内切，则动圆圆心 P 的轨迹方程是

    　 . 9. 求抛物线22x y  上的点到直线 0 2    y x 的距离最小值.

    　 10. 若直线 b x y   与抛物线 y x 22 交于 A，B 两点，且 OB OA  ，求实数 b 的值.

    　 11. 过抛物线   0 , 22  p px y 的焦点 F 作直线交抛物线于    2 2 1 1, , , y x B y x A 两点，求证：2 1 xx 及2 1 yy 均为定值.

    　12. 已知椭圆1C 的方程为2214xy  ，双曲线2C 的左、右焦点分别是1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点。

    　（1）求双曲线2C 的方程； （2）若直线 : 2 l y kx   与双曲线 C 2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且 2 OAOB   （其中 O 为原点），求 k 的范围.

    　直线 与圆锥曲线的位置关系 （学案）

    　【一】

    　知识回顾 ：

    　直线与曲线的位置关系：相交、相切、相离，如何判断？

    　【二】

    　例题选讲

    　1. 过点 (0,1) 与抛物线22 ( 0) y px p   只有一个公共点的直线的条数是……………………（

    　 ）

    　( ) A 0 条

    　 ( ) B

    　1 条

    　 ( ) C 2 条

    　 ( ) D 3 条 2. 已知双曲线22: 14yC x  

    　，过点 (1,1) P 作直线 l ，使 l 与 C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线 l 共有 …………………………………………………………………………………（

    　 ）

    　( ) A 1

    　条

    　 ( ) B 2 条

    　 ( ) C 3 条

    　 ( ) D 4 条 3. 直线 y=x+3 与曲线 14| |92 x x y……………………………………………………………（

    　 ）

    　（A）没有交点

    　(B)只有一个交点

    　 (C)有两个交点

    　(D)有三个交点 4. 过抛物线 x y 42 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线…………………………………………………………………………………………（

    　 ）

    　（A）有且仅有一条

    　（B）有且仅有两条

    　（C）有无穷多条

    　（D）不存在 5. 求过点   1 , 0  M 且与抛物线22 y x  有且仅有一个公共点的直线方程.

    　 6. 若直线 1   kx y 与双曲线 1322 yx 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围.

    　7. 已知抛物线 y2 =－ x与直线 y = k （ x +1）相交于 A 、 B 两点. （1）求证：以 AB 为直径的圆经过坐标原点； （2）当△ OAB 的面积等于 10 时，求 k 的值.

    　 8. （1）已知直线 l 与抛物线 x y 42 交于 A，B 两点，若直线 l 过定点   0 , 4 M ，求证：

    　OB OA 

    　（2）试写出（1）的逆命题，并判断其真假，说明理由. 解（1）

    　 解（2）逆命题：

    　【三】

    　课后练习

    　1 已知 M （－2，0）、 N （2，0），点 P 为坐标平面内的动点，满足 | | | | MN MP MN NP    ＝0，则动点 P （ x ， y ）的轨迹方程为…………………………………………………………………（

    　）（ A ）x y 82

    　（ B ）

    　x y 82 

    　 （ C ）

    　x y 42

    　（ D ）

    　x y 42 

    　2 直线 l 过点(5, 0)，与双曲线2214yx   只有一个公共点，则满足条件的 l 有…………（

    　）

    　（ A ）1 条

    　（ B ）2 条

    　（ C ）4 条

    　 （ D ）无数条 3 过点（2，4）作直线与抛物线 y2 ＝8x 只有一个公共点，这样的直线有………………… （

    　 ）

    　（A）1 条

    　 （B）2 条

    　（C）3 条

    　（D）4 条 4 椭圆 20 5 42 2  y x 的长轴长为

    　，短轴长为

    　，焦距为

    　 . 5 动点 P 到定点   0 , 1 F 的距离比它到定直线 0 4   x 距离小 3，则 P 的轨迹方程为

    　 . 6 若双曲线   0 , 0 , 12222    b abyax的顶点三等分焦距，则其渐近线方程是

    　 . 7 以双曲线 15 42 2 y x的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是

    　． 8 直线 l 过点 M （1，1）且与椭圆42x+32y=1 相交于 A 、 B 两点，若 AB 的中点为 M ，求直线 l 的方程。

    　 9 已知直线 y = kx +1 与双曲线 2 x2 ― y 2 =1 只有一个公共点，求 k 的值.

    　10 已知直线 l ：

    　0    m y x 及曲线 C：

    　2 22 2  y x

    　（1）当 m 为何值时，直线 l 与曲线 C 相交，相切，相离？

    　 （2）当 m 为何值时，直线 l 截曲线 C 所得弦长为34？

    　 （3）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当 m 为何值时，32ABOS ？

    　 （4）当 m 为何值时，直线 l 截曲线 C 所得弦长最大，最大为多少？

    　 （5）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当 m 为何值时，ABOS  最大，最大为多少？

    　 （6）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且以 AB 为直径的圆过原点 O，求 m 的值.

    　圆锥曲线的综合应用 （学案）

    　【一】

    　例题选讲

    　1. 一抛物线形拱桥，当水面离桥顶 2 m 时，水面宽 4 m，若水面下降 1 m 时，则水面宽为________.

    　2. 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是 60 cm，灯深 40 cm,则光源到反射镜顶点的距离是________________ cm.

    　3. 在相距 1 400 m 的 A、B 两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差 3 s，已知声速 340 m/s，建立恰当的坐标系，炮弹爆炸点所在曲线的方程为__________________.

    　4. 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验． 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 125 1002 2 y x，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、 764, 0 M

    　为顶点的抛物线的实线部分，降落点为) 0 , 8 ( D ．观测点 ) 0 , 4 ( A ) 0 , 6 ( B 同时跟踪航天器． （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点 B A、 测得离航天器的

    　距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

    　 . .

    　 5. 左图是一种加热水和食物的太阳灶，是一种可利用太阳能资源的设备，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。已知镜口圆的直径为 12 m，镜深 2 m， （1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置； （2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度.

    　 6. A 、 B 、 C 是我方三个炮兵阵地， A 在 B 正东 6 km ， C 在 B 正北偏西 30°，相距 4 km ， P 为敌炮阵地，某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于 B 、 C 两地比 A 距 P 地远，因此 4 s 后， B 、 C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为 1 km / s ， A 若炮击 P 地，求炮击的方位角．

    　 P A B . C

    　【二】课后练习 1. 双曲线2 2110 2x y  的焦距为

    　 ，渐近线方程为

    　 . 2. 若方程 11 2 22 2 mymx的曲线 C 是双曲线，则 m 的取值范围是

    　 . 3. P 是双曲线 116 92 2 y x上一点，若|PF 1 |=7，则|PF 2 |=

    　 . 4. 直线ｙ＝ｘ－3 与抛物线 x y 42 交于 A、B 两点，过 A、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P、Q ，则梯形 APQB 的面积为

    　 . 5. 直线 2 y kx   交抛物线28 y x  于 A，B 两点，若 AB 中点的横坐标是 2,则 AB  ________. 6. 设 F 1 是椭圆2 25 9 45 x y   的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A（1，1）是一定点，则1PA PF 的最大值是____________. 7. 某抛物线形拱桥的跨度是 20 m，拱高是 4 m，在建桥时每隔 4 m 需用一柱支撑，求其中最长的支柱长多少米.

    　 8. 某隧道横断面由抛物线及矩形三边组成，尺寸如图(单位:m)，某卡车空车能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽 3 m，车与箱共高 4.5 m，此车能否通过此隧道？请说明理由.

    　 9. 已知点   0,2 A 及椭圆2214xy   ，在椭圆上求一点 P ，使 PA 的值最大.

    　10. 在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点 (0 3)  ， ， (0 3) ， 的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为 C ．

    　 （Ⅰ）写出曲线 C 的标准方程； （Ⅱ）设直线 1 y kx   与 C 交于 A ， B 两点． k 为何值时 OA  OB ？

    　 11. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22 米，要求通行车辆限高 4.5 米，隧道全长 2.5 千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

    　（1）若最大拱高 h 为 6 米，则隧道设计的拱宽 l 是多少？ （2）若最大拱高 h 不小于 6 米，则应如何设计拱高 h 和拱宽 l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？ （半个椭圆的面积公式为 lh S4 ，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到 0.1 米）

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