含参函数单调区讨论典例(二).doc
导数应用:
含参函数的单调性讨论(二)
对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论, 若有多个讨论点时, 要注意讨论层次与顺序, 一般先根据参数对导函数类型进行分类, 从简单到复杂。
一、 典型例题
例 1、 已知函数32( )f x331,axxxaR=+++∈, 讨论函数)(xf的单调性.
分析:
讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增, 在何区间单调递减。
而确定函数的增区间就是确定0)( "f>x的解区间; 确定函数的减区间就是确定0)( "f<x的解区间; 讨论单调性与讨论不等式的解区间相应。
解:
因为32( )f x331,axxxaR=+++∈,
所以/2( )3(21)f xaxx=++
(1)
当0a =时,/( )f x3(21)x=+,
当1,2x ≤ −时,/( )f x ≤0; 当1,2x ≥ −时,/( )f x ≥0;
所以函数( )f x 在1(,]2−∞ −上单调递增, 在1[,)2−+∞ 上单调递减;
(2)
当0a >时,/2( )3(21)f xaxx=++的图像开口向上,36(1) a∆ =− I)
当136(1)0,aa≥∆ =−≤时,时,/( )f x ≥0, 所以函数( )f x 在 R 上递增;
II)
当 0136(1)0,aa<<∆ =−>时,时, 方程/( )f x =0的两个根分别为
121111,,aaxxaa− −−− +−==且12,xx<
所以函数( )f x 在11(,)aa− −−−∞,11(,)aa− +−+∞ 上单调递增,
在1111(,)aaaa− −−− +−上单调递减;
(3)
当0a <时,/2( )3(21)f xaxx=++的图像开口向下, 且36(1)0a∆ =−>
方程/( )f x =0的两个根分别为121111,,aaxxaa− −−− +−==且12,xx>
所以函数( )f x 在11(,)aa− +−−∞,11(,)aa− −−+∞ 上单调递减,
在1111(,)aaaa− +−− −−上单调递增。
综上所述,
当0a <时, 所以函数( )f x 在1111(,)aaaa− +−− −−上单调递增,
在11(,)aa− +−−∞,11(,)aa− −−+∞ 上单调递减;
当0a =时,( )f x 在1(,]2−∞ −上单调递增, 在1[,)2−+∞ 上单调递减;
当 01a<< 时 , 所以函数( )f x 在11(,)aa− −−−∞,11(,)aa− +−+∞ 上单调递增,
在1111(,)aaaa− −−− +−上单调递减;
当1a ≥ 时 , 函数( )f x 在 R 上递增;
小结:
导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论(先讨论其为 0 情形), 然后讨论判别式(先讨论判别式为负或为 0 的情形, 对应导函数只有一种符号, 原函数在定义域上为单调的), 判别式为正的情况下还要确定两根的大小(若不能确定的要进行一步讨论), 最后根据导函数正负确定原函数相应单调性, 记得写出综述结论。
例 2. (2010 山东理数改编)
已知函数1( )f xln1axaxx−=−+− ()aR∈. 讨论 ( )f x 的单调性;
解:
因为1( )f xln1axaxx−=−+− 的定义域为), 0 ( +∞
所以 2"22111( )(0,)aaxxaf xaxxxx−− + −=− +=∈+∞ ,
令
2( )h x1,(0,)axxa x=− + −∈+∞ , 则)()( "fxgx与同号 法一:
根据熟知二次函数性质可知 g(x) 的正负符号与开口有关, 因此可先分类型讨论:
①
当0a< 时, 由于11 0a− < <1,)(xh开口向下, 结合其图象易知
(0,1)x∈,( ) 0h x > , 此时"( )f x < , 函数 0( )f x 单调递减;
(1,)x∈+∞ 时,( )h x < , 此时0"( ) 0f x > , 函数( )f x 单调递增.
②当0>a时,
)(xh开口向上, 但2x 是否在定义域需要讨论:
因10011≥<⇔≤−aaa或所以 i)
当1≥a时, 由于11 0a− < <1,)(xh开口向上, 结合其图象易知
(0,1)x∈,( )h x < , 此时0"( ) 0f x > , 函数( )f x 单调递增.
(1,)x∈+∞ 时,( ) 0h x > , 此时"( )f x < , 函数 0( )f x 单调递减;
ii) 当10<< a时, g(x) 开口向上且), 0 (,21+∞∈xx, 但两根大小需要讨论:
a)
当12a =时,12, ( )x h x0x=≥恒成立,
此时"( )f x ≤ , 函数 0( )f x 在∞(0, +)上单调递减;
b)
当11a−01 1 02a<<时, >>, g(x) 开口向上且在(0,∞+)
有两根
(0,1)x∈时,( ) 0h x > , 此时"( )f x < , 函数0( )f x 单调递减;
1(1,1)xa∈−时 ( )h x < , 此时0"( ) 0f x > , 函数 ( )f x 单调递增;
1(1,)xa∈− +∞ 时,( ) 0h x > , 此时"( )f x < , 函数0( )f x 单调递减;
c)
当121<< a时,1110<−<a, g(x) 开口向上且在(0,∞+)
有两根
) 1−1, 0 (∈ax时,( ) 0h x > , 此时"( )f x < , 函数0( )f x 单调递减;
) 1 , 1−1(∈ax时 ( )h x < , 此时0"( ) 0f x > , 函数 ( )f x 单调递增;
), 1 ( +∞∈x时,( ) 0h x > , 此时"( )f x < , 函数0( )f x 单调递减;
小结:
此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论, 而确定导函数符号的分子是常见二次型的, 一般要先讨论二次项系数, 确定类型及开口; 然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域内, 再讨论两根大小注, 结合 g(x) 的图象确定其在相应区间的符号, 得出导函数符号。
讨论要点与解含参不等式的讨论相应。
法二:
①
10011≥<⇔≤−aaa或 i) 当0a< 时, 由于11 0a− < <1,)(xh开口向下, 结合其图象易知
(0,1)x∈,( ) 0h x > , 此时"( )f x < , 函数 0( )f x 单调递减;
(1,)x∈+∞ 时,( )h x < , 此时0"( ) 0f x > , 函数( )f x 单调递增.
ii) 当1≥a时, 由于11 0a− < <1,)(xh开口向上, 结合其图象易知
(0,1)x∈,( )h x < , 此时0"( ) 0f x > , 函数( )f x 单调递增.
(1,)x∈+∞ 时,( ) 0h x > , 此时"( )f x < , 函数 0( )f x 单调递减;
②10011<<⇔>−aa时 g(x) 开口向上且), 0 (,21+∞∈xx i) 当12a =时,12, ( )x h x0x=≥恒成立,
此时"( )f x ≤ , 函数 0( )f x 在∞(0, +)上单调递减;
ii) 当11a−01 1 02a<<时, >>, g(x) 开口向上且在(0,∞+)
有两根
(0,1)x∈时,( ) 0h x > , 此时"( )f x < , 函数0( )f x 单调递减;
1(1,1)xa∈−时 ( )h x < , 此时0"( ) 0f x > , 函数 ( )f x 单调递增;
1(1,)xa∈− +∞ 时,( ) 0h x > , 此时"( )f x < , 函数0( )f x 单调递减;
iii) 当121<< a时,1110<−<a, g(x) 开口向上且在(0,∞+)
有两根
) 1−1, 0 (∈ax时,( ) 0h x > , 此时"( )f x < , 函数0( )f x 单调递减;
) 1 , 1−1(∈ax时 ( )h x < , 此时0"( ) 0f x > , 函数 ( )f x 单调递增;
), 1 ( +∞∈x时,( ) 0h x > , 此时"( )f x < , 函数0( )f x 单调递减;
小结:
单调性讨论化归为讨论导函数符号的问题, 多数导数是连续函数, 其正负所以区间可由其根划分,所以可根据相应导函数的零点个数(从少到多)
分类, 先讨论零点可能没意义的(如分母或偶次根等含参数, 要先讨论分母是否为零, 被开方式是否非负), 然后讨论解出的根是否为增根(解方程时由于去分母, 去根号, 去对数符号时导致范围扩大而得出根, 要讨论其是否在定义域内), 再对有多个零点的讨论其大小, 最后由导数的根将定义域划分为若干区间并结合导函数图象确定相应区间上确定导函数的正负(不能确定的再讨论何时正何时负)
而得到相应单调性质。
最后确记要综合讨论情况, 写出综上所述结论。
函数问题一定要注意先确定定义域, 单调区间是定义域的子集。
为讨论导函数的根及导函数的符号情况, 一般能因式分解的要先分解(包括分式先通分)。
例 2. (2011 年广东卷文 19 题)
设0a >, 讨论函数2( )f xln(1)2(1)xaa xa x=+−−−的单调性.
解:
函数( )f x 的定义域为 (0,)+∞
212 (1a)2(1)1( )2 (1a)2(1)a xa xf x′a xaxx−−−+=+−−−=(x>0) 令2( )g x2 (1a)2(1)1a xa x=−−−+ ,则)( " xf与)(xg同号
(1)
当1=a时,xxfxxfxgln)(, 01)( ", 1)(=>==在定义域), 0 ( +∞ 上为增函数
(2) 当1≠a时, 224(1)8 (1a)121644(31)(1)aaaaaa∆ =−−−=−+=−−
当⇔≤∆0113a≤≤ 时, g(x)开口向上, 图象在 x 轴上方, 所以0)(≥xg 所以( )0f x′≥, 则( )f x 在 (0,)+∞ 上单调递增 当⇔>∆0131><aa或,此时令( )0f x′=, 解得)1 (a21,)1 (a2121aaxaax−∆+−=−∆−−= 由于210)(100)1 (a2xxxgaa<<⇔<<⇔>−开口向上且,
因此可进一步分类讨论如下:
i)
当1a > 时,120)(0)1 (a2x, xxga<<⇒<−开口向下 ∵0x >,( )0f x′>⇔10xx << ; ( )0f x′<1xx >⇔ 则( )f x 在1(31)(1)(0,)2 (1a)aaaa− −−−−上单调递增,
在1(31)(1)(,)2 (1a)aaaa− −−−+∞−上单调递减
ii)当103a<<时,( )0f x′>⇔10xx <<或2 xx >; ( )0f x′<21xxx<<⇔ 则( )f x 在1(31)(1)(0,)2 (1a)aaaa− −−−−,1(31)(1)(,)2 (1a)aaaa− +−−+∞−上单调递增,
在1(31)(1) 1(31)(1)(,)2 (1a)2 (1a)aaaaaaaa− −−−− +−−−−上单调递减 综上所述, f(x)的单调区间根据参数 a 讨论情况如下表:
103a<< 113a≤≤
1a >
1(0,)x 12( ,x x) 2(,)x +∞
(0,)+∞
1(0,)x 1( ,x +∞
)增
减
增
增
增
增
(其中12(1)(31)(1)(31)11,22 (1a)22 (1a)aaaaxxaaaa−−−−=−=+−−)
小结:
求单调区间要确定定义域, 确定导函数符号的关键是看分子相应函数, 因此讨论点有:
第一是类型(一次与二次的根个数显然不同); 第二有没有根(二次的看判别式), 第三是有根是否为增根(在不在定义根内; 第四有根的确定谁大; 第五看区间内导函数的正负号(二次函数要看开口)。
确记要数形结合, 多数考题不会全部讨论点都要讨论的, 题中往往有特别条件, 不少讨论点会同时确定(即知一个就同时确定另一个)。
判别式与开口的讨论点先谁都可以, 但从简单优先原则下可先根据判别式讨论, 因为当导函数无根时它只有一种符号, 相应原函数在定义域内(每个连续的区间)
为单调函数
较简单。
二、 巩固作业:
1.
已知函数 ( )ln.af xxx=−, 求( )f x 的单调区间.
解:( )221+,axaf x′xxx+∞=+=函数的定义域为(0, )
,
( )"0f xxa== −令得:
( )f( )f x( )+∞( )( )f x()000,(0,)000,0(,)aafaafa′−≤≥>∴+∞′′−><><∴−若即, 则x在上单调递增;若即, 则由x得x>-a由x得x<-a在上单调递增, 在0, -a上单调递减.
( )( )f x() 0总之, 当时, 在上单调递增;(0,)0(,)af xaa≥+∞<−+∞
当时, 在上单调递增, 在0, -a上单调递减.
2. 已知函数 f(x)=21x2-ax+(a-1) ln x, 讨论函数( )f x 的单调性,求出其单调区间。
解:
( )f x 的定义域为 (0,)+∞ . 2"11(1)(1)( )axaxaxxaf xxaxxx−−+ −−+ −=− +==()()11=xxax−−− ( )"1201,1f xxxa===−令得: (1)100)( "f; 10)( "f101<<⇔<>⇔>≤≤−xxxxaa时,即若
单调递减在单调递增在此时) 1 , 0 (,), 1 ()(+∞∴xf (2)时,1即0若1>>−aa
①若11a − = 即2a =时,2"(1)( )xf xx−=>0, 故( )f x 在(0,)+∞ 单调递增. ②若 0<11a − < ,即12a<<时,
由"( )f x <0得,11ax− << ; 由"( )f x >0得, 011xax<<−>或
故( )f x 在(1,1)a −单调递减, 在 (0,1),(1,)a −+∞ 单调递增. ③若11a − > ,即2a >时,
由"( )f x <0得, 11xa<<− ; 由"( )f x >0得, 011xxa<<>−或 故( )f x 在(1,1)a −单调递减, 在 (0,1),(1,)a − +∞ 单调递增.
综上所述, 当1a ≤ ,( )f x 单调增区为 ), 1 ( +∞ ,减区间是) 1 , 0 (;
当12a<<时,( )f x 的减区间是 (1,1)a −, 增区间是 (0,1),(1,)a −+∞ ;
当2a =时,( )f x 在定义域上递增, 单调增区为 (0,)+∞ (不存在减区间)
;
当2a >时,( )f x 的减区间是 (1,1)a −, 在增区间是 (0,1),(1,)a − +∞ .
3.
已知函数 f ( x ) =ln(1+ x ) - x +2x (k ≥0) , 求 f ( x ) 的单调区间.
解:( 1,)x∈ − +∞ ,(1)"( )f x1x kxkx+ −+=.
( )()"12100,,0kf xxxkk−===≠令得: (1)
当0k =时,"( )f x1xx= −+.
所以, 在区间 ( 1,0)−上,"( )f x >0; 在区间 (0,)+∞ 上,"( )f x <0.
故( )f x 的单调递增区间是 ( 1,0)−, 单调递减区间是 (0,)+∞ .
(2)
当2111kxk−≤ −≤ −即时, 考虑到k>0得, 无解.
(3)
当21xx=即1k = 时,2"( )f x01xx=>+
故 ( )f x 的单调递增区间是 ( 1,)− +∞ .
(4)
当21xx>即 01k<< (0k ≥)
时,
由"( )f x <0得,10kxk−<<; 由"( )f x >0得,110kxxk−− <<>或 故( )f x 的单调递增区间是 ( 1,0)−和1(,)kk−+∞ , 单调递减区间是1(0,)kk−.
(5)
当21xx<即1k > (0k ≥)
时,
由"( )f x <0得,10kxk−<<; 由"( )f x >0得,110kxxk−− <<>或 故( )f x 的单调递增区间是1( 1,−)kk−和 (0,)+∞ , 单调递减区间是1(,0)kk−.
综上知: 当0k =时,( )f x 得单调递增区间是 ( 1,0)−, 单调递减区间是 (0,)+∞ ;
当1k = 时,( )f x 的单调递增区间是 ( 1,)− +∞ ;
当 01k<< 时,( )f x 的单调递增区间是 ( 1,0)−和1(,)kk−+∞ , 单调递减区间是1(0,)kk−
当1k > 时,( )f x 的单调递增区间是1( 1,−)kk−和 (0,)+∞ , 单调递减区间是1(,0)kk−.
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【中国文学】 日期:2020-09-23
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【中国文学】 日期:2020-02-27
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清明节踏青简笔画【清明节踏青图片】
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【中国文学】 日期:2019-05-08
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电磁场与电磁波实验报告
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【中国文学】 日期:2020-08-26
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【中国文学】 日期:2020-07-02
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史玉柱,一个有着传奇和神话般经历的人,而且,这个传奇和神话正在续写。下面小编就为大家解开史玉柱创业故事,希望能帮到你。 史玉柱创业故事篇一 史玉柱的创业史可以分为...
【中国文学】 日期:2020-02-28
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国家开放大学电大公文文体写作试题及答案
公文文体的写作(二)单元测试题 1 决定属于A.上行文B.下行文C.平行文D.既可上行也可下行 2
【外国名著】 日期:2020-07-02
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山东省生产经营单位安全生产主体责任规定(2013年2月2日山东省人民政府令第260号公布根据2016
【外国名著】 日期:2020-10-22
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传感器测试实验报告
实验一 直流激励时霍尔传感器位移特性实验一、实验目得:了解霍尔式传感器原理与应用。 二、基本原理:金
【外国名著】 日期:2020-11-09
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六年级下册《比例尺》单元测试题
一、填空题: 1、比例尺=( ):( ),比例尺实际上是一个( )。 2、一幅图的比例尺是。A、B两
【外国名著】 日期:2020-09-29
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人教版高一语文必背 人教版高一语文《老王》赏析
杨绛的《老王》,可谓是平凡的人平常的事,平淡的语言平常的心,但读来总让人印象深刻,感触颇多,下面是小编给大家带来的人教版高一语文《老王》赏析,希望对你有帮助。 高一...
【外国名著】 日期:2020-03-10
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【外国名著】 日期:2021-08-14
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中国的抗日名将是数不胜数,其中张灵甫大家了解多少呢?下面就随小编看看缅怀革命先烈的黑板报内容,希望喜欢哦。 缅怀革命先烈黑板报图片欣赏 缅怀革命先烈黑板报图片1...
【外国名著】 日期:2019-05-09
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3.8妇女节_3.8妇女节手工制作图片精选
3 8妇女节送卡片表示感恩与祝福是在好不过了,小编整理了3 8妇女节手工制作感恩卡图片,希望大家喜欢! 3 8妇女节手工制作感恩卡图片展示 3 8妇女节手工制作感恩卡图...
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《中小学教师违反职业道德行为处理办法》实施细则
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【外国名著】 日期:2021-03-24
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金融术语中英文对照
ABS资产担保证券(AssetBackedSecurities的英文缩写) Acceleratedd
【外国名著】 日期:2020-07-03
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梧桐花的花语|梧桐花的功效与作用
梧桐花为梧桐科植物梧桐的花,植物形态详梧桐子条。今天小编为你整理了梧桐花的花语,欢迎阅读。 梧桐花的花语是:情窦初开 在春季里晚开的花朵,有着恬淡的气息。 ...
【寓言童话】 日期:2020-03-03
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惊悚鬼故事50字 令人惊悚的故事
这些惊悚故事在短短的篇幅和时间之内让您感受到故事里传达出来的恐怖感,令你感到害怕。下面就是小编给大家整理的令人惊悚的故事,希望对你有用! 令人惊悚的故事篇1:学校...
【寓言童话】 日期:2019-05-13
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大学生音乐欣赏论文 大学音乐鉴赏论文3000
今天小编就为你介绍关于大学生音乐欣赏论文,下面是!小编给你搜集了相关资料!希望可以能帮助到大家。 大学生音乐欣赏论文—第一篇 音乐是生活不可缺少的一部分,学会欣...
【寓言童话】 日期:2020-03-12
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西部计划笔试题库(99题含答案) 1 第十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》,自
【寓言童话】 日期:2021-06-16
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廉洁自律自我剖析材料((精选多篇)) 信念。科学文化,提高自身素质的终身学习的意识,紧密联系群众,调
【寓言童话】 日期:2020-07-20
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我们最大的弱点在于放弃。成功的必然之路就是不断的重来一次。涓滴之水终可以磨损大石,不是由于它力量强大,而是由于昼夜不舍的滴坠。下面是小编为您整理的名人失败的故事,...
【寓言童话】 日期:2019-05-19
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康熙字典五行属金的字 [字典中八画五行属金的字信息大全]
在五行中不同属性的字寓意是不相同的,其实同样的属性不同的笔画的字寓意也是一样的,下面小编为你整理了八画五行属金字,希望对你有所帮助! 8画五行属金的字 忮、8画、...
【寓言童话】 日期:2020-03-12
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对于听故事,几乎所有的儿童都有一个共同点就是百听不厌。一个故事重复数十遍,儿童听时同样要注意力集中,眼睛凝视着讲述者的动作,眼神聚精会神,表现出极大的兴趣。、下面是小编...
【寓言童话】 日期:2019-05-31
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人工智能就是人造智能,其英文表示是“ArtificialIntelligence”,简称AI。以下是小编整理的人工智能对人类影响英文作文的相关资料,欢迎阅读! 人工智能对人类影响英文作文...
【寓言童话】 日期:2019-05-05
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“文言文”的意思就是指“美好的语言文章”也叫做语体文。文言文虚词于的用法有哪些呢?下面是小编整理的关于文言文虚词于的用法,欢迎阅读 文言文虚词于作为名词的用法 ...
【寓言童话】 日期:2020-03-20
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学生高考动员演讲稿3篇高考动员演讲稿11 老师们、同学们: 大家下午好!漫漫高考长征路已经进入尾声了
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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企业安全演讲稿2021
最新企业安全的演讲稿5篇 演讲稿是作为在特定的情境中供口语表达使用的文稿。在充满活力,日益开放的今天
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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XX镇扶贫项目实施专项整治工作总结_1
XX镇扶贫项目实施专项整治工作总结 为深入贯彻精准扶贫精准脱贫基本方略,认真落实党中央、国务院,省委
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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对乡镇领导班子干部成员的批评看法范文 一、对党委书记XXX同志的批评看法〔3条〕 1、与干部交流偏少
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群英乡扶贫资金项目((芬坡村祖埇村生产道路硬化工程))绩效自评报告 一、基本情况(一)群英乡扶贫资金
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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党委书记在警示教育大会上的讲话55篇汇编 党委书记在警示教育大会上的讲话(一) 同志们: 根据省州委
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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关于12021年召开巡视整改专题民主生活会对照检查材料 按照中央巡视组要求和省、市、区委统一部署,区
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
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消防安全知识培训试题姓名: 部门班组: 成绩: 一:填空题,每空4分,共44分。 1、灭火剂是通过隔
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涉疫重点人员“五包一”居家隔离医学观察工作流程 目前,全球疫情仍处于大流行状
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
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疫情防控致全体师生员工及家长的一封信 各位师生员工及全体家长朋友: 暑假已至,近期我省部分地方发现确
【百家讲坛】 日期:2021-08-14