7.2,第七章,《复数》,,综合测试(解析版)
第七章 《复数》
综合测试 一、单选题 1.(2020·山东高考真题)2 i1 2i(
)
A.1 B.−1 C.i D.−i 【答案】D 【解析】
2 (2 )(1 2 ) 51 2 (1 2 )(1 2 ) 5i i i iii i i 故选:D 2.(2020·江西期末(理))已知 i 是虚数单位,复数12ii 的虚部为(
)
A.-1 B. i
C. 1
D. i
【答案】C 【解析】
2 2 (1 ) 2 (1 )11 (1 )(1 ) 2i i i i iii i i ,虚部为 1 . 故选:C. 3.(2020·新疆期末)若 a 为实数,且 2 i3 i1 ia ,则 a (
)
A. 4
B. 3
C. 3
D. 4
【答案】D 【解析】
由题意可得 2 i 1 i 3 i 2 4i 4 a a
,故选 D. 4.(2020·山东临沂·期末)已知复数1z ,2z 在复平面内对应的点分别为 2,1 , 1,b ,若1 2z z 是纯虚数,则 b (
)
A.2 B.12 C.12
D.-2 【答案】A
【解析】
由题意得:1 22 , 1 z i z bi , 所以21 2(2 )(1 ) 2 2 2 (2 1) z z i bi bi i bi b b i , 又1 2z z 是纯虚数,所以2 02 1 0bb , 解得 2 b , 故选:A. 5.(2014·福建高考真题(理))复数 3 2 z i i 的共轭复数 z 等于(
)
A.
2 3i B.
2 3i
C.
2 3i
D.
2 3i
【答案】C 【解析】
依题意可得 3 2, 2 3 z i z i .故选 C. 6.(2020·全国高考真题(文))若31 2i i z ,则 | |=z(
)
A.0 B.1 C.2
D.2 【答案】C 【解析】
因为31+2 1+2 1 z i i i i i ,所以2 21 1 2 z . 故选:C. 7.(2019·全国高考真题(理))设复数 z满足 =1 i z ,z在复平面内对应的点为(x,y),则(
)
A.2 2+1 1 ( ) x y
B.2 2( 1) 1 x y
C.2 2( 1) 1 y x
D.2 2( +1) 1 y x
【答案】C 【解析】
, ( 1) , z x yi z i x y i 2 2( 1) 1, z i x y 则2 2( 1) 1 y x .故选 C. 8. (2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考(文))已知复数z 满足 1 2 i z i (其中 i 为虚数单位),则 z (
)
A.2
B.2 C.1 D.4
【答案】A 【解析】
由 1 2 i z i 得2i 2i(1 i) 2 2i1 i1 i (1 i)(1 i) 2z , 所以 | | | 1 | 1 1 2 z i . 故选:A. 9.(2010·山东高考真题(文))已知2 a ib ii
, , a bR ,其中 i
为虚数单位,则 + a b =(
)
A.-1 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】
因为222 22a i ai iai b ii i , , a bR , 所以2 21 1b ba a ,则 + 1 a b ,故选 B. 10.(2020·河南商丘·期末(理))设复数 2 cos sin z a a i ( i 为虚数单位).若对任意实数 ,2 z ≤ ,则实数 a 的取值范围为(
)
A.10,5 B. 1,1
C.5 5,5 5 D.1 1,5 5 【答案】C 【解析】
因为对任意 , 2 z ≤ ,则max2 z , cos sin 2 cos sin 2 1 5 z i a ai i a ai a , 1 5 2 a ,解得5 55 5a . 故选:C. 二、多选题 11.(2020·胶州市教育局期末)已知复数 z 满足 (2 i) i z ( i 为虚数单位 ) ,复数 z 的共轭复数为 z ,则
(
)
A.3| |5z
B.1 2i5z
C.复数 z 的实部为 1
D.复数 z 对应复平面上的点在第二象限 【答案】BD 【解析】
因为复数 z 满足 (2 i) i z , 所以 (2 ) 1 22 2 (2 ) 5 5i i iz ii i i 所以2 21 2 55 5 5z ,故 A错误;
1 25 5z i ,故 B正确; 复数 z 的实部为15
,故 C错误; 复数 z 对应复平面上的点1 2,5 5 在第二象限,故 D正确. 故选:BD 12.(2020·临高县临高中学高一期末)已知复数1 22 , 2 z i z i 则(
)
A.2z 是纯虚数 B.1 2z z 对应的点位于第二象限 C.1 23 z z
D.1 22 5 z z
【答案】AD 【解析】
利用复数的相关概念可判断 A 正确; 对于 B选项,1 22 3 z z i 对应的点位于第四象限,故 B 错; 对于 C选项,1 22 z z i ,则2 21 22 1 5 z z ,故 C错; 对于 D选项, 1 22 2 2 4 z z i i i ,则2 21 22 4 2 5 z z ,故 D正确. 故选:AD 13.(2020·海南枫叶国际学校期中)已知 i 为虚数单位,则下面命题正确的是(
)
A.若复数 3 i z ,则1 310 10iz . B.复数 z 满足 2 1 z i , z 在复平面内对应的点为 , x y ,则 222 1 x y . C.若复数1z ,2z 满足21z z ,则1 20 z z . D.复数 1 3 z i 的虚部是 3. 【答案】ABC 【解析】
由 1 1 3 33 i 3 i 3 i 10 10i iz ,故 A 正确; 由 z 在复平面内对应的点为 , x y ,则 2 2 1 z i x y i ,即 222 1 x y , 则 222 1 x y ,故 B 正确; 设复数1z a bi ,则2z a bi ,所以 21220 a bi a b z bi z a ,故 C正确; 复数 1 3 z i 的虚部是-3,故 D 不正确. 故选:A、B、C 14.(2020·山东济南·高一期末)任何一个复数 z a bi (其中 a 、 b R , i 为虚数单位)都可以表示成: cos sin z r i 的形式,通常称之为复数 z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现: n cos sin co i s snn nz i n r i r n n N ,我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息,下列说法正确的是(
)
A.22z z
B.当 1 r ,3 时,31 z C.当 1 r ,3 时,1 32 2z i
D.当 1 r ,4 时,若 n 为偶数,则复数nz为纯虚数 【答案】AC 【解析】
对于 A选项, cos sin z r i ,则 2 2cos2 sin2 z r i ,可得 2 2 2cos2 sin2 z r i r ,
222cos sin z r i r ,A 选项正确; 对于 B选项,当 1 r ,3 时, 33cos sin cos3 sin3 cos sin 1 z i i i ,B选项错误; 对于 C选项,当 1 r ,3 时,1 3cos sin3 3 2 2z i i ,则1 32 2z i ,C选项正确; 对于 D选项, cos sin cos sin cos sin4 4nnn nz i n i n i , 取 4 n ,则 n 为偶数,则4cos sin 1 z i 不是纯虚数,D选项错误. 故选:AC. 三、填空题 15.(2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考(文))已知 i是虚数单位,如图,在复平面内,点 A 对应的复数为1z ,若21ziz,则2z ________.
【答案】
2 i
【解析】
由题图可知,11 2 z i ,由21ziz,得 2 11 2 2 z zi i i i . 故答案为:
2 i . 16.(2020·湖北张湾·十堰东风高级中学月考)设复数 z 满足 3 4 1 z i ,则 z 的最大值是_______. 【答案】6 【解析】
设复数 ( , ) z x yi x y R ,则2 23 4 1, ( 3) ( 4) 1 x yi i x y , 所以复数对应的点的轨迹为(3,4)为圆心半径为 1 的圆,
所以 z 的最大值是2 23 4 1 5 1 6 .故答案为 6 17.(2020·上海松江·期末)已知复数 z满足 1 z ,则 2 z i (其中 i是虚数单位)的最小值为____________. 【答案】1 【解析】
复数 z 满足 | | 1(z i 为虚数单位), 设 cos sin z i ,[0 , 2 ). 则2 2| 2 | |cos (sin 2)| (sin 2) 5 4sin 1 z i i cos … ,当且仅当 sin 1 时取等号. 故答案为:1. 四、双空题 18.(2020·江苏镇江·期末)已知 a, b R , 1 2 3 ai b a i ,则 a ______,3 a bi ______. 【答案】
3
3 2
【解析】
∵ 1 2 3 ai b a i
∴12 3ba a , 解得31ab , 则 223 3 3 3 3 18 3 2 a bi i , 故答案为:(1)
3 ;(2)
3 2
19.(2020·浙江高三月考)复数12zi ( i 为虚数单位),则 z 的虚部为______, z
______. 【答案】15
55
【解析】
2 21 2 2 2 12 (2 )(2 ) 2 5 5i iz ii i i i , 所以2 15 5z i
,2 22 1 1 55 5 5 5z ,
所以 2 15 5z i 的虚部为15 , 故答案为:15 ;55 20. (2020·浙江高三其他)复数 z 满足:1za ii (其中 0 a , i 为虚数单位), 10 z ,则 a ________;复数 z 的共轭复数 z 在复平面上对应的点在第________象限. 【答案】2
四
【解析】
由1za ii 可得, ( )(1 ) 1 ( 1) z a i i a a i ,所以2 2( 1) ( 1) 10 z a a ,左右同时平方得,2 22 1 2 1 10 a a a a ,所以24 a 。又因为 0 a ,所以 2 a 。
所以 3 i z ,3 z i ,所以 z 在复平面上对应的点为 (3, 1)位于第四象限。
故答案为 2;四 21.(2020·浙江高三其他)欧拉公式 cos sinixe x i x (i为虚数单位)把复指数函数与三角函数联系起来它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它不仅出现在数学分析里,而且在复变函数论里也占有非常重要的地位,更被誉为“数学中的天桥”.请计算:ie ____;猜想:ii ___(填“是”或“不是”)虚数. 【答案】
1
不是
【解析】
由欧拉公式可知, cos sin 1ie i , 因为2cos sin2 2ie i i , 所以22 2 2iiiie e e i 为实数,不是虚数, 故答案为:
1 ;不是 五、解答题 22.(2020·辽源市田家炳高级中学校高二期末(文))已知复数 1 1 z m m i m R . (1)
m 取什么值时, z 为实数; (2)
m 取什么值时, z 为纯虚数. 【答案】(1)
1 m (2)
1 m
【解析】
(1)复数 1 1 z m m i m R , 若 z 为实数,则 1 0 m ,即 1 m
(2)若 z 为纯虚数,则1 01 0mm , 解得 1 m
23.(2020·广东潮州·期末)已知复数13 , z a i a R ,21 z i ,且满足1 2z z 是实数,求实数 a 及1z 的值. 【答案】
3 a ,13 2 z
【解析】
因为13 z a i ,21 z i , 所以 21 23 1 3 3 3 3 z z a i i a ai i i a a i , 因为1 2z z 是实数, 所以 3 0 a ,即:
3 a
所以13 3 z i ,2 213 3 3 2 z , 所以 3 a ,13 2 z
24.(2020·湖北张湾·车城高中期中(理))已知复数 22 ) 1 ( 4 3 3 z i m i m i m R
(1)当 m 为何值时, z 为纯虚数? (2)当 m 为何值时, z 对应的点在 2 1 y x 上? 【答案】(1)
1 m ;(2)2 2 m . 【解析】
(1)由已知2 2( 2 3) ( 4 3) z m m m m i , z 为纯虚数,则222 3 04 3 0m mm m ,解得 1 m . (2)由(1)
z 对应点的坐标为2 2( 2 3, 4 3) m m m m ,则2 24 3 2( 2 3) 1 m m m m ,解得
2 2 m . 25.(2020·江苏无锡·高二期末)已知复数 z 使得 2 z i R ,2zRi,其中 i 是虚数单位. (1)求复数 z 的共轭复数 z ; (2)若复数 2z mi 在复平面上对应的点在第四象限,求实数 m 的取值范围. 【答案】(1)
4 2i ;(2)
2,2 . 【解析】
(1)设 , z x yi x y R ,则 2 2 z i x y i
∵ 2 z i R
∴ 2 y
又2 2 2 42 2 5 5z x i x xi Ri i , ∴ 4 x
综上,有 4 2 z i
∴4 2 z i (2)∵ m 为实数,且 2224 2 12 4 8 2 z mi m i m m m i ∴由题意得 212 4 08 2 0m mm ,解得 2 2 m
故,实数 m 的取值范围是 2,2
26.(2020·山东潍坊·高二期末)在① z 为实数,② z 为虚数,③ z 为纯虚数,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中. 已知复数:
2 22 1 z m m m i
(1)若________,求实数 m 的值; (2)当 z 在复平面内对应的点位于第三象限时,求 m 的取值范围. 【答案】(1)选择①:
1 m 或 1 m ;选择②:
1 m 或 1 m ;选择③:
2 m ;(2)
1,1 . 【解析】
选择①,当 z 为实数时,有21 0 m ,
解得 1 m 或 1 m , 选择②,当 z 为虚数时,有21 0 m , 解得 1 m 或 1 m , 选择③,当 z 为纯虚数时,有222 01 0m mm , 解得2 11m mm 或,∴ 2 m ; (2)因为 z 在复平面内对应的点位于第三象限, 所以222 01 0m mm , 解得 1 1 m , 所以 m 的取值范围为 1,1 . 27.(2020·西安市长安区第五中学月考(文))已知复数 3 z bi b R ,且 1 3i z 为纯虚数. (1)求复数 z ; (2)若2 iz ,求复数 以及模 . 【答案】(1)
3 i z ;(2)7 15 5i , 2
【解析】
(1)将 3 z bi 代入 1 3i z 得 1 3 1 3 3 3 3 9 i z i bi b b i ,因为 1 3i z 为纯虚数,所以3 3 0,9 0,bb 解得 1 b ,所以复数 3 i z . (2)由(1)知 3 i z ,所以3 (3 )(2 ) 7 72 i 2 (2 )(2 ) 5 5 5z i i i i ii i i ,2 27 125 5 .
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【中国文学】 日期:2020-03-03
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改革开放大事记简表(改革开放新时期1978-2012年)
改革开放大事记简表 (1978-2012年) 时间1978年12月18日至22日地点北京事件党的十一
【外国名著】 日期:2021-06-17
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十月一到,秋意已在一个我们不经意的黎明走来,习习凉风,却是最适合出门游行。小编为您整理了10 1旅游去哪里好玩,秋天,我们一起出发吧。 1、云南建水古城 建水古城...
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非政府组织管理
第一章:绪论第一节非政府组织的界定与特征联合国的NGO是指,在地方,国家或国际级别上组织起来的非营利
【外国名著】 日期:2020-09-13
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梦见打官司 [解梦梦见在打官司]
梦见打官司:解梦查询梦见打官司的吉凶,梦见打官司的解梦建议,运势,运气指数等内容,梦见打官司的人都可以来看看。 梦见打官司的周公解梦: 梦见打官司,预示会有意外之财...
【外国名著】 日期:2020-02-26
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时尚餐厅店面装修图片_餐厅店面装修效果图
餐饮业是通过即时加工制作、商业销售和服务性劳动于一体,向消费者专门提供各种酒水、食品,消费场所和设施的食品生产经营行业。下面小编就为大家解开时尚餐厅店面装修图片,...
【外国名著】 日期:2019-05-16
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手机大尺度直播平台 [尺度最大的手机直播有哪些]
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【外国名著】 日期:2020-03-07
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《怦然心动(2010)》电影完整中英文对照剧本
我最大的愿望就是朱莉·贝克能离我远点AllIeverwantedwasforJuliB
【外国名著】 日期:2020-07-27
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材料力学金属扭转实验报告
材料力学金属扭转实验报告 【实验目的】 1、验证扭转变形公式,测定低碳钢的切变模量G。;测定低碳钢和
【外国名著】 日期:2020-11-27
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beyond用法总结本文关键词:用法beyond用法总结本文简介:一、beyond作介词用时,使用最
【外国名著】 日期:2021-02-22
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小型服装店装修效果图【小服装店店面装修效果图】
当前在服装店室内设计中,存在着几种不良的倾向,有碍于服装店装修体现的顾客满意气氛。下面小编就为大家解开小服装店店面装修效果图,希望能帮到你。 小服装店店面装修效果...
【外国名著】 日期:2019-05-28
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梧桐花的花语|梧桐花的功效与作用
梧桐花为梧桐科植物梧桐的花,植物形态详梧桐子条。今天小编为你整理了梧桐花的花语,欢迎阅读。 梧桐花的花语是:情窦初开 在春季里晚开的花朵,有着恬淡的气息。 ...
【寓言童话】 日期:2020-03-03
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西部计划笔试题库(99题含答案) 1 第十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》,自
【寓言童话】 日期:2021-06-16
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API油管规格及尺寸 公称尺寸(in) 不加厚外径(mm) 不加厚内径(mm) 加厚外径(mm) 加
【寓言童话】 日期:2020-08-31
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北京最好吃的自助餐厅 北京高档自助餐排名
自助餐简直就是拯救大胃王的最佳饮食!没有之一!世界上没有什么事情是吃一顿自助餐解决不了的,如果有,那就吃两顿!下面小编给大家推荐北京几家好吃的自助餐。 北京最好吃的...
【寓言童话】 日期:2020-02-25
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淀粉糊化度测定方法
颗粒饲料中淀粉糊化度的测定 一、淀粉糊化度说明: 饲料配方中玉米的用量一般在45%以上,而玉米中淀粉
【寓言童话】 日期:2020-12-14
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今天小编就为你介绍关于大学生音乐欣赏论文,下面是!小编给你搜集了相关资料!希望可以能帮助到大家。 大学生音乐欣赏论文—第一篇 音乐是生活不可缺少的一部分,学会欣...
【寓言童话】 日期:2020-03-12
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水文灾害
水文灾害 中国的水文灾害 11、 洪涝灾害 ⑴分布特点:东多西少;沿海多,内陆少;平原低地多,高原山
【寓言童话】 日期:2020-09-23
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漫画和动画组成了动漫产业的两大支柱。然而,与动画相比,漫画在业界和学界皆相对冷清。小编整理了古代男生漫画,欢迎阅读! 古代男生漫画图片展示 古代男生漫画图片1 ...
【寓言童话】 日期:2019-05-27
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读谢觉哉家书心得体会 谢觉哉,“延安五老”之一,严于律己、清正廉洁,一生奋斗
【寓言童话】 日期:2021-05-17
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折纸也是一门艺术,大家知道怎么用100元人民币折纸吗?今天,小编为大家带来了100元人民币折纸,希望大家喜欢! 100元人民币折纸方法 步骤1 步骤2 步骤3 步骤4 ...
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学生高考动员演讲稿3篇高考动员演讲稿11 老师们、同学们: 大家下午好!漫漫高考长征路已经进入尾声了
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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最新企业安全的演讲稿5篇 演讲稿是作为在特定的情境中供口语表达使用的文稿。在充满活力,日益开放的今天
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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XX镇扶贫项目实施专项整治工作总结 为深入贯彻精准扶贫精准脱贫基本方略,认真落实党中央、国务院,省委
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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对乡镇领导班子干部成员的批评看法范文 一、对党委书记XXX同志的批评看法〔3条〕 1、与干部交流偏少
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【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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党委书记在警示教育大会上的讲话55篇汇编 党委书记在警示教育大会上的讲话(一) 同志们: 根据省州委
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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关于12021年召开巡视整改专题民主生活会对照检查材料 按照中央巡视组要求和省、市、区委统一部署,区
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
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消防安全知识培训试题姓名: 部门班组: 成绩: 一:填空题,每空4分,共44分。 1、灭火剂是通过隔
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涉疫重点人员“五包一”居家隔离医学观察工作流程
涉疫重点人员“五包一”居家隔离医学观察工作流程 目前,全球疫情仍处于大流行状
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
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疫情防控致全体师生员工及家长一封信
疫情防控致全体师生员工及家长的一封信 各位师生员工及全体家长朋友: 暑假已至,近期我省部分地方发现确
【百家讲坛】 日期:2021-08-14