专题03,集合基本运算（原卷版）

时间：2021-08-02 11:08:38 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　1 / 9专题 03 集合的基本运算1．并集和交集的定义定义 并集 交集自然语言一般地，由所有属于集合 A 或集合 B的元素组成的集合，称为集合 A 与 B的并集，记作 A∪B一般地，由属于集合 A 且属于集合 B的所有元素组成的集合，称为集合 A与 B 的交集，记作 A∩B符号语言A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}图形语言[知识点拨] (1)简单地说，集合 A 和集合 B 的全部(公共)元素组成的集合就是集合 A 与 B 的并(交)集；(2)当集合 A，B 无公共元素时，不能说 A 与 B 没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合 A 且属于集合 B 的元素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同．2．并集和交集的性质并集 交集简单性质A∪A＝A；A∪∅＝AA∩A＝A；A∩∅＝∅常用结论A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)；B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆BA∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A3．全集文字语言一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集4.补集文字语言 对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A

　2 / 9相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作∁ U A符号语言 ∁ U A＝{x|x∈U，且 x∉A}图形语言[知识点拨] (1)简单地说，∁ U A 是从全集 U 中取出集合 A 的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．(2)性质：A∪(∁ U A)＝U，A∩(∁ U A)＝∅，∁ U (∁ U A)＝A，∁ U U＝∅，∁ U ∅＝U，∁ U (A∩B)＝(∁ U A)∪(∁ U B)，∁ U (A∪B)＝(∁ U A)∩(∁ U B)．(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的 Venn 图表示．典型题型与解题方法重要考点一：并集的概念及运算【典型例题】

　【典型例题】已知集合 ? ൌ ?ሼ?ͳ?ǡ?，? ൌ ?ሼ?（ൌ ? ? ? 则，?? ? ሼ?? ͳ ሺͳ ?ሼݔሺሼ ȁ ሼݔ ）A．?ሼ? B．?ሼ ， ͳ? C．?? ， ሼ ， ͳ ， ǡ?D．? ?ሼ ， ? ， ሼ ， ͳ ， ǡ?【题型强化】

　【题型强化】1.已知集合 ? ൌ ?ሼ?ሼ ͳ ǡ?，? ൌ ?ሼ?? ሼ ? ሼ ? ??，则 ? ? ? ൌ________．2.已知集合 {0,1} A  ，? ൌ ???ሼ?ͳ?ǡ?，则 ? ? ? 中的元素个数为________.【名师点睛】并集运算应注意的问题

　3 / 9(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．重要考点二：交集的概念及其运算【典型例题】

　【典型例题】已知集合 ? ൌ ሼ?ሼ ͳ ? ǡሼ? ͳ. ? ? ，? ൌ ሼ?ሼ ͳ ? ሼ ? ?  ? ，则 ? ? ? 为（ ）A．?ሼ?? ? ? ሼ ͳ? ͳ 或 ǡ ͳ ሼ ? ?? B．?ሼ?? ? ͳ ሼ ?? ͳ 或 ǡ ? ሼ ͳ ??C．?ሼ?ሼ ?? ͳ 或 ሼ  ǡ? D．?ሼ?ሼ ͳ? ͳ 或 ሼ ? ǡ?【题型强化】

　【题型强化】1.已知集合 ? ൌ ሼ?ሼ ͳ ȁ ሼ ൌ ? ?? ൌ ?ሼ?ሼ ? ??，则 ? ? ? ൌ________.2.已知集合 ? ൌ ሼ?ͳ ，  2, 3 B a a   ，若 ? ? Bൌ?ሼ?则实数 ? 的值为________【名师点睛】求集合 A∩B 的方法与步骤(1)步骤①首先要搞清集合 A、B 的代表元素是什么；②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B\”的形式；③把化简后的集合 A、B 的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)．(2)方法①若 A、B 的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则 A∩B 是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．②若 A、B 是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．重要考点三：集合交集、并集运算的性质及应用【典型例题】已知集合   1,3, A m  ，   1, B m  ，若 ? ∪ ? ൌ ?，则 ? ൌ（ ）A．? 或 ǡB．? 或 ǡ C．ሼ 或 ǡ D．ሼ 或 ǡ【题型强化】

　【题型强化】1.设集合 ? ൌ ሼ?ͳ?? ，? ൌ ሼ ሼ ͳ ? ?ሼȁ ? ൌ ? ．若 ? ? ? ൌ ሼ ，则 ? ൌ ( )A． ሼ? ? ǡ B． ሼ?? C． ሼ?ǡ D． ሼ?࠴2.已知 ? ൌ ሼ?ሼ ͳ ? ǡሼȁ ͳ ൌ ? ?? ൌ ሼ??ሼ? ͳ ൌ ? ?若 ? ? ? ൌ ?,则实数 ? 的值为()A．0 或 1 或 2 B．1 或 2 C．0 D．0 或 1

　4 / 9【名师点睛】利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到 A∪B＝B，A∩B＝A 等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如 A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B ．(2)关注点：当集合 A⊆B 时，若集合 A 不确定，运算时要考虑 A＝∅的情况，否则易漏解．重要考点四：集合运算时忽略空集致错【典型例题】

　【典型例题】集合 ? ൌ ?ሼ?? ሼ?ሼ?ͳ?， { | } B x x a   ．（1）若 ? ? ? ൌ ?，求实数 ? 的取值范围；（2）若 ? ? ? ൌ ∅ ，求实数 ? 的取值范围．【题型强化】

　【题型强化】1.设集合 ? ൌ ?ሼ?? ͳ ͳ ሼ ͳ ??ሼ ∈ ??，集合 ? ൌ ሼ?ሼ ͳ ? ǡ?ሼȁ ͳ? ͳ ൌ ? ．求：（1）实数 ? 在什么范围内取值时 ? ? ∅，且 ? ? ? ൌ ?；（2）实数 ? 在什么范围内取值时，? ? ? ൌ ∅．2.已知集合 ? ൌ ሼ?ͳ? ? ? ሼ ? ͳ ȁ ? ，? ൌ ሼ?ሼ ? ሼ 或 ሼ ? ? .（1）当 ? ൌ ǡ 时，求 ? ? ?；（2）若 ? ? ? ൌ ∅ ，求实数 ? 的取值范围.【名师点睛】A∩B＝B，B 可能为空集，千万不要忘记．重要考点五：数形结合思想的应用【典型例题】

　【典型例题】已知集合 ? ൌ ?ሼ?ሼ ? ሼ ? ͳ?，集合 ? ൌ ?ሼ?ሼ ? ??，若 ? ? ? ? ∅，则实数 ? 的取值范围是________【题型强化】

　【题型强化】1.设集合 ? ൌ ሼ?? ? ͳ ሼ ? ሼ ͳ

　?， ࠴ൌ ሼ?ሼ ͳ  ? ，则 ? ? ? ൌ（ ）

　5 / 9A． ሼ?ͳ ͳ ሼ ͳ ? B． ሼ?? ǡ ͳ ሼ ͳ ?C． ሼ?? ͳ ͳ ሼ ͳ ͳ D． ሼ ? ǡ ͳ ሼ ͳ? ͳ或ͳ ͳ ሼ ͳ ?2.某校一（1）班共有 18 名学生参加了学校书法社或手工社，其中参加书法社的学生有 15 人，参加手工社的学生有 6 人，则一（1）班这两个社团都参加了的学生共___________人.【名师点睛 】求解此类问题一定要看是否包括端点(临界)值．集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn 图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解．重要考点六：补集的基本运算【典型例题】

　【典型例题】设 ? ൌ ? ? ሼ???ሼ?ͳ?，集合2{ | 1, } A x x x U    ，则? ? ? ൌ（ ）A．???ሼ?ͳ? B．? ?ሼ?ሼ?ͳ? C．? ?ሼ???ͳ? D．? ?ሼ???ሼ?【题型强化】

　【题型强化】1.已知集合 ? ൌ ሼ ሼ ͳ ? ሼ ? ͳ  ? ，则∁ ? ? ൌ_____2.设全集 ? ൌ ?ሼ?ሼ ? ? ͳ?ሼ ∈ ??，集合 ? ൌ ?ሼ?ሼ ͳ ? ? ?࠴ሼ ? ??，则? ? ? =__________．【名师点睛】求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助 Venn 图求解．②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．重要考点七：交集、并集、补集的综合运算【典型例题】

　【典型例题】已知集合 ? ൌ ?ሼ?? 则，?ሼ  ?ሼ ? ሼ?ሼ? ൌ ?，??  ሺሼ ȁሼݔሺǡ ?ሼݔ ? ? ? ? ൌ（ ）A．? ?ሼ??ሺ ∪ ?ǡ?ͳݔ B．?ǡ?ͳݔC．??? ? ሺݔ ∪ ሺ? ȁ ?ͳݔ D． ? ሺǡ?ͳݔ ? ሺ??ሼݔ【题型强化】

　】1.已知全集 ? ൌ ? ͳ? ?ሼ???ሼ?ͳ?ǡ ，集合 ? ൌ ? ሼ???ሼ ，? ൌ ? ሼ?ሼ?ͳ ，则 ∁ ? ? ? ∁ ? ? ൌ______.2.若全集 U  R ，? ൌ ሼ?ሼ ͳ? ǡ 或ሼ ? ͳ ，? ൌ ሼ ? ሼ ͳ ሼ ͳ ， ࠴则 ? ൌ ሼ ?ሼ ͳ ሼ ͳ ͳ ൌ______（用 ?，? 或其补集表示）.【名师点睛】求集合交、并、补运算的方法

　6 / 9重要考点八：“ 正难则反” 思想的应用【典型例题】

　【典型例题】已知集合 ? ൌ ሼ?ሼ ͳ ? ࠴ሼ? ? ൌ ? ?? ൌ ሼ?ሼ ͳ ȁ ?ሼȁ ? ͳ ? ሼͳ ൌ ? ，若 ? ∪ ? ? ?.求实数 a 的取值范围.【题型强化】1.已知集合 ,则实数 的值为__________.2.设全集 ? ൌ ͳ?ǡ?? ͳ ȁ ͳ?? ǡ ，? ൌሼ?ȁ???ͳ ．若∁ ? ? ൌ ， ࠴求实数 ? 的值．【名师点睛 】“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U，求子集 A，若直接求 A 困难，可运用“正难则反”策略先求∁ U A，再由∁ U (∁ U A)＝A 求 A ．补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．课后练习1． 【2020 届辽宁省丹东市线上教学质量监测】已知全集 ? ൌ ??ሼ?ͳ?ǡ??? ，若 ? ൌ ??ͳ?ǡ ,? ൌ ͳ?ǡ?? ，则∁ ? ? ?∁ ? ? ൌ ( )A．∅ B． ሼ C． ??ͳD． ሼ??2．【新疆哈密市第十五中学 2019-2020 学年高二上学期期末】已知全集 ? ൌ ?ሼ?ͳ?ǡ???，?࠴集合 ? ൌ ?ሼ?ͳ???，? ൌ ?ሼ?ǡ?，?࠴则?ݔ ? ?ሺ ? ? ൌ（ ）A． {1} B． {3,5}C． {1,3,5} D．?ͳ?ǡ?࠴3． 【新疆喀什市第二中学 2019-2020 学年高二上学期期末】已知集合 ? ൌ ሼ ? ሼ ? ሼ ? ሼ ，? ൌ ሼ ሼ ͳ ? ͳሼ ?? ，则 ? ? ? ൌ（ ）A． ሼ ? ሼ ? ሼ ? ͳ B． ሼ ? ሼ ? ሼ ? ?

　7 / 9C． ሼ ሼ ? ሼ ? ͳ D． ሼ ? ? ሼ ? ሼ4 ．【 山西省临汾市洪洞县第一中学上学期期中 】

　已知全集 ? ൌ ??? ൌ ሼ ሼ ͳ ? ǡሼ? ? ? ?? ൌ ?ሼ?? ͳ ? ሼ ? ͳ? ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（）A．?ሼ?? ͳ ? ሼ ͳ ?? B．?ሼ?ሼ ? ͳ 或 ሼ ? ??C．?ሼ?? ͳ ? ሼ ?? ሼ? D． { | 1 2} x x   5． 【2019 届浙江省杭州市学军中学高考前适应性考试】已知全集 ? ൌ ?ሼ?ͳ?ǡ??? ?，???࠴ൌ ?ሼ?ͳ???，? ൌ ?ͳ?ǡ?????.则 ?∪ ?ݔ ? ? ）

　ൌ=（ ）A． {1} B．?ͳ ， ??C．?ሼ ， ͳ ， ǡ ， ??D．?ሼ ， ͳ ， ? ， ?࠴6 ． 【天津市静海县第一中学 2017-2018 学年高二 6 月学生学业能力调研】已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．7 ．【 上海市嘉定区封浜高级中学 2018-2019 学年高一上学期期中 】

　设 ? 为全集，? ? ∁ ? ? ൌ ?，则 ? ? ?为（ ）A．? B．? C．U Bð D．∅8．【必修第一册 突围者】已知全集 U  R ，集合 ? ൌ ሼ ሼ ͳ ǡ或ሼ ? ? ，? ൌ ሼ ሼ ͳ ? ．若 ∁ ?? ? ? ? ? ∅，则实数 ? 的取值范围为（ ）．A． ? ?  ǡ B． ? ? ? ǡC． ? ? ? ? D． ? ?  ?9． 【四川省眉山市彭山区第一中学 2019-2020 学年高一上学期 10 月月考】已知全集 ? ൌ ?ሼ ? ? ሼ ? ሼ ͳ ሼ??，? ⊆ ??? ⊆ ?，且 ? ? ? ? ? ൌ ሼ?. ?? ? ? ൌ ͳ ? ? ? ? ? ? ? ? ൌ ǡ???? ，那么集合 ? ൌ（ ）A．??????࠴ B．?ͳ??????࠴ C．?ͳ??????? D．?ͳ?ǡ???.?10．设 U＝{不大于 10 的正整数}，A＝{10 以内的素(质)数}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁ U A)∩(∁ U B)是( )A．{2,4,6,8,9} B．{2,4,6,8,9,10}C．{1,2,6,8,9,10} D．{4,6,8,10}

　8 / 911．【新疆生产建设兵团四校 2017-2018 学年高一（上）期中联考】设集合 ? ൌ ???? ൌ ǡ?ȁ ሼ?? ? ???? ൌ?ሼ? ሼ ? ሼ  ǡ??则 ? ? ?ݔ ? ?ሺ ൌ ( )。A．? ?ሼ?ͳ? B．? ?ͳ ， ሼ ， ?? C．? ?ሼ??? D．?12． 【辽宁省沈阳市郊联体 2019 届高三第一次模拟】已知集合 ? ൌ ሼ?ሼ? ? ? ? ，? ൌ ሼ?ͳ?ǡ ，若 ? ? ? ? ?，则 ? 的取值范围为A． ( ,1]  B．?ሼ? ȁ ?ሺC． ( ,3]  D．?ǡ? ȁ ?ሺ13．已知集合 A={2，3}，若 A∪B={1，2，3，4}，则集合 B 可能为（ ）A．{1，2} B．{1，4}C．{1，3} D．{2，4}14． 【2011 届安徽省合肥市高三第一次教学质置检测】? ൌ ሼ?ͳ?ǡ ?? ൌ ሼ ? ??ሼ ͳ ? ?ሼȁ ሼ ൌ ??? ? ? ，则 ? ?? ൌ ? 时 ? 的值是（ ）A．2 B．2 或 3 C．1 或 3 D．1 或 215．【上海市嘉定二中 2017-2018 年高一上学期期中】已知集合 ? ൌ ?ሼ?ͳ?ǡ??? ൌ ?ሼ?ͳ?，则满足 ? ? ? ൌ ? ? ?的集合 ? 有_______个.16．【江苏省扬州市邗江区 2019-2020 学年高一上学期期中】已知集合 ? ൌ ?ሼ??? ሼ ͳ ሼ ͳ ? ȁ ሼ??? ൌ ?ሼ?? ͳሼ ͳ ሼ?若 A B    ，实数 ? 的取值范围是______．17．【山东省济南市外国语学校三箭分校 2019-2020 学年高一上学期期中】已知 ? ൌ ሼ?ሼ ?? ሼ 或 ሼ ? ǡ， ? ൌ ?ሼ?? ͳ ሼ ͳ ??，若 ? ? ? ൌ ?，则实数 ? 的取值范围是________.18．已知全集 ? ൌ ?ͳ?ǡ?? ͳ ȁ ͳ?? ǡ??? ൌ ? ȁ ሼ ?ͳ ?? ? ? ൌ ? ȁ ǡ ,则 ? 的值为__________19． 【天津市北辰区第四十七中学 2019-2020 学年高一上学期第一次月考】已知集合{ |2 1 3 5} A x a x a     ，集合2{ | 13 14 0} B x x x     .分别根据下列条件求实数 ? 的取值范围.（1）? ? ? ൌ ∅（2）? ⊆ ? ? ?ሺݔ20．【江苏省淮安市涟水县第一中学 2019-2020 学年高一上学期 10 月阶段性测试】设全集 U=R，A={x|﹣3＜x-1＜3}，B={x|﹣2≤x+1≤3}

　9 / 9（1）求 A∩B；（2）求（C U A）∪B．21．【2020 届百校联考高考考前冲刺】已知集合 ? ൌ ሼ?ሼ ͳ ? ? ȁ ͳ ሼ ȁ ሼ ? ? ͳ?ȁ ሼ ?? ，集合 ? ൌሼ ? ͳ?ሼ?? .（1）当 ? ൌ ሼ 时，求 ? ∪ ?；（2）若 ? ⊆ ?.求实数 ? 的取值范围.22． 【黑龙江省双鸭山市第一中学2018-2019学年高二下学期期末】已知全集? ൌ ??? ൌ ሼ?ሼ ? ǡ ?? ൌ ሼ?ሼ ͳ ?.ሼ ȁ ? ? ? ?? ൌ ሼ?ሼ ? ? ȁ ሼ .（1）求 ? ? ??? ∪ ?；（2）若 ? ? ? ൌ ?，求实数 ? 的取值范围.