2020版一轮复习理数通用版:高考达标检测(四十一),,圆锥曲线综合问题——直线与圆锥曲线位置关系
高考达标检测(四十一)
圆锥曲线的综合问题 —— 直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题 1 .已知过抛物线 y 2 = =4x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A, ,B 两点,且点 A 在第一象限,若 若|AF| =3 ,则直线 l 的斜率为(
) A .1
B. 2 C. 3
D .2 2 解析:选 选 D
由题意可知焦点 F(1,0) ,设 A(x A ,y A ) , 由 由|AF| =3 =x A + +1 ,得 x A = =2 ,又点 A 在第一象限, 故 故 A(2,2 2) ,故直线 l 的斜率为 2 2. 2 .若直线 y =kx +2 与抛物线 y 2 = =x 有一个公共点,则实数 k 的值为(
) A. 18
B .0 C. 18
或或 0
D .8 或 或 0 解析:选 选 C
由 由 y =kx +2, ,y 2 =x ,得 得 ky 2 -y +2 =0 , 若 若 k =0 ,直线与抛物线有一个交点,则 y =2 , 若 若 k ≠0 ,则 Δ= =1 -8k =0, , ∴k = 18 ,, 知 综上可知 k =0 或 18 . 3 .已知双曲线 C:
:
x2a 2 - y2b 2 ==1(a>0 ,b>0) ,过点 P(3,6) 的直线 l 与 与 C 相交于 A ,B 两点,且 且 AB 的中点为 N(12,15) ,则双曲线 C 的离心率为(
) A .2
B. 32
C. 3 55
D.52
解析:选 选 B
设 设 A(x 1 , ,y 1 ) ,B(x 2 , ,y 2 ) ,
由 由 AB 的中点为 N(12,15), ,得 得 x 1 + +x 2 = =24 ,y 1 + +y 2 = =30 , 由 x 2 1a 2 - y21b 2 ==1, ,x 2 2a 2 - y22b 2 ==1, ,两式相减得 :
x1 + +x 2 x 1 - -x 2 a 2= y1 + +y 2 y 1 - -y 2 b 2, ,
则 y1 - -y 2x 1 - -x 2 = b2 x 1 ++x 2 a 2 y 1 + +y 2 = 4b25a 2 . 线 由直线 AB 的斜率 k= = 15 -612 -3 ==1 , ∴ 4b25a 2 ==1, , 则 b2a 2 = 54 ,, ∴率 双曲线的离心率 e= = ca = 1+ + b2a 2 = 32 . 4 .已知抛物线 C :y 2 = =8x 与点 M( -2,2) ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, ,B 两点.若MA― ― → ·MB ― ― → ==0 ,则 k = (
) A. 12
B.22 C. 2
D .2
解析:选 选 D
如图所示,设 F 为焦点,取 AB 的中点 P ,过 A ,B 分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 G ,H ,连接 MF ,MP , 由 由MA― ― → ·MB ― ― → ==0 ,知 MA ⊥MB ,则|MP|= = 12 |AB|== 12 (|AG| +|BH|) , 以 所以 MP 为直角梯形 BHGA 的中位线, 以 所以 MP ∥AG ∥BH ,所以∠ ∠GAM = ∠AMP = ∠MAP , 又 又|AG| =|AF| ,AM 为公共边,所以 △AMG ≌ △AMF , 所以 ∠AFM = ∠AGM =90° ,则 MF ⊥AB ,所以 k =-1k MF ==2. 5知 .已知 F 是双曲线 x2a 2 - y2b 2 ==1(a >0 ,b >0) 的右焦点,A ,B 分别为其左、右顶点.O为坐标原点,D 为其上一点,DF ⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 DF 交于点 E ,与 y 轴交于点 点 M ,直线 BE 与 与 y 轴交于点 N ,若 3|OM| =2|ON| ,则双曲线的离心率为(
) A .3
B .4 C .5
D .6 解析:选 选 C
如图,设 A( -a,0) ,B(a,0) ,M(0 ,2m) ,N(0 ,-3m). . 线 则直线AM 的方程为y = 2max +2m ,直线BN 的方程为y = 3max -3m. ∵线 直线 AM ,BN 的交点 D(c ,y 0 ) , ∴ 2mca+ +2m= = 3mca- -3m ,则 ca ==5 , ∴为 双曲线的离心率为 5. 6 .斜率为 1 的直线 l 与椭圆 x24 ++y 2 = =1 相交于 A ,B 两点,则|AB| 的最大值为(
)
A .2
B. 4 55 C. 4 105
D. 8 105 解析:选 选 C
设 设 A ,B 两点的坐标分别为(x 1 ,y 1 ) ,(x 2 , ,y 2 ) ,直线 l 的方程为 y =x +t , 由 x 2 + +4y 2 = =4, ,y =x +t去 消去 y ,得 5x 2 + +8tx +4(t 2 - -1) =0. 则 则 x 1 + +x 2 =- 85 t ,x 1 x 2 = 4 t2 --1 5. ∴ ∴|AB|= = 1 +k 2 |x 1 -x 2 |= = 1 +k 2 · x 1 +x 2 2 - -4x 1 x 2
= = 2· - 85 t2 --4× × 4 t2 --1 5= 4 25· 5 -t 2 , , 当 故当 t =0 时,|AB| max = 4 105. 二、填空题 7 .焦点是 F(0,5 2) ,并截直线 y =2x -1 所得弦的中点的横坐标是 27 的椭圆的标准方程为 为__________ . 解析:
设所 求的椭圆方程为 y2a 2 + x2b 2 ==1(a>b>0) ,直线被椭圆所截弦的端点为 A(x 1 ,y 1 ), ,B(x 2 ,y 2 ) . 弦 由题意,可得弦 AB 的中点坐标为 x 1 +x 22, y1 +y 22, , 且 x1 +x 22= 27 , y1 +y 22=- 37 . 将 将 A ,B 两点坐标代入椭圆方程中,得 y 2 1a 2 + x21b 2 ==1, ,y 2 2a 2 + x22b 2 ==1.
两式相减并化简,得 a2b 2 =- y1 -y 2x 1 -x 2 ·y 1 +y 2x 1 +x 2 =-2× ×- 6747= =3 , 以 所以 a 2 = =3b 2 .又 又 c 2 =a 2 -b 2 = =50 ,所以 a 2 = =75 ,b 2 = =25. 故所求椭圆的标准方程为 y275 + x225 ==1. 答案:
y275 + x225 ==1 8 .经过双曲线 x2a 2 - y2b 2 ==1(a >0 ,b >0)为 的右焦点,倾斜角为 60° 的直线与双曲线有且只
有一个交点,则该双曲线的离心率为________ . 解析:
∵ 经过双曲线 x2a 2 - y2b 2 ==1(a >0 ,b >0) 的右焦点, 为 倾斜角为 60° 的直线与双曲线有且只有一个交点, ∴ 根据双曲线的几何性质知线 所给直线应与双曲线的一条渐近线 y = ba x 平行, ∴ ba ==tan 60°= = 3 ,即 b= = 3a , ∴c = a 2 +b 2 = =2a ,故 e = ca ==2. 答案:2 9 .抛物线 x 2 = =4y 与直线 x -2y +2 =0 交于 A ,B 两点,且 A ,B 关于直线 y =-2x +m则 对称,则 m 的值为________ . 解析:设 设 A(x 1 , ,y 1 ) ,B(x 2 ,y 2 ),
联立 x 2 = =4y, ,x -2y +2 =0去 消去 y ,得 x 2 - -2x -4 =0. 则 则 x 1 + +x 2 = =2, , x1 +x 22= =1. ∴y 1 +y 2 = 12 (x 1 +x 2 ) +2 =3, , y1 +y 22= 32 .
∵A ,B 关于直线 y =-2x +m 对称, ∴AB 的中点在直线 y =-2x +m 上, 即 32 =-2 ×1 +m ,解得 m = 72 . 答案:
72
三、解答题 10 .椭圆 C:
:
x2a 2 + y2b 2 ==1(a >b >0) 的离心率为33点 ,过右焦点 F 2 (c,0) 垂直于 x 轴的直线与于 椭圆交于 P ,Q 两点且|PQ|= = 4 33点 ,又过左焦点 F 1 ( -c,0) 作直线 l 交椭圆于两点. (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 若椭圆 C 上两点 A ,B 关于直线 l 对称,求△ △AOB 面积的最大值. 解:(1) 由题意可知|PQ|= = 2b2a= 4 33.
① 率 又椭圆的离心率 e = ca == 1- - b2a 2 =33,则 b2a 2 = 23 ,,
② 由 ①②得 解得 a 2 = =3 ,b 2 = =2 ,
∴ 椭圆的方程为 x23 + y22 ==1. (2) 由(1) 可知左焦点 F 1 ( -1,0),
线 依题意,直线 l 不垂直 x 轴,当直线 l 的斜率 k ≠0 时,可设直线 l 的方程为 y =k(x+ +1)(k ≠0) ,则直线 AB 的方程可设为 y =- 1k x +m ,A(x 1 ,y 1 ) ,B(x 2 ,y 2 ) , 联立 y =- 1k x +m ,x 23 + y22 ==1, ,整理得(2k 2 + +3)x 2 - -6kmx +3k 2 m 2 - -6k 2 = =0 , Δ= =( -6km) 2 - -4 ×(2k 2 + +3)(3k 2 m 2 - -6k 2 ) >0 , 则 则 m 2 k 2 - -2k 2 - -3 <0 ,
③ x 1 +x 2 =6km2k 2 + +3 ,x 1 x 2 = 3k2 m 2 --6k 22k 2 + +3. 设 设 AB 的中点为 C(x C ,y C ) , 则 则 x C = x1 +x 22=3km2k 2 + +3 ,,y C =2k 2 m2k 2 + +3 . ∵点 点 C 在直线 l 上, ∴2k 2 m2k 2 + +3 =k 3km2k 2 + +3 ++1 ,, 则 则 m =-2k- - 3k ,,
④ 时 此时 m 2 - -2- -3k 2 ==4k 2 +6k 2 ++10 >0 与 与 ③故 矛盾,故 k ≠0 时不成立.
线 当直线 l 的斜率 k =0 时,A(x 0 ,y 0 ) ,B(x 0 ,-y 0 )(x 0 > >0 ,y 0 > >0) , ∴△AOB 的面积 S = 12 ·2y 0 ·x 0 =x 0 y 0 . ∵ x203 + y202 ==1 ≥2 x 2 03 ·y 2 02 =63x 0 y 0 , ∴x 0 y 0 ≤62. 当且仅当 x203 = y202 = 12 时取等号. ∴△AOB 的面积的最大值为62. 11 .已知抛物线 E :y 2 = =2px(p >0) 的焦点 F ,E 上一点(3 ,m) 到焦点的距离为 4. (1) 求抛物线 E 的方程; (2)过 过 F 作直线 l ,交抛物线 E 于 于 A ,B 两点,若直线 AB 中点的纵坐标为-1 ,求直线l 的方程. 解:(1) 抛物线 E :y 2 = =2px(p >0) 的准线方程为 x =- p2 ,, 知 由抛物线的定义可知 3- - - p2
=4 ,
得 解得 p =2, , ∴线 抛物线 E 的方程为 y 2 = =4x. (2) 法一:由 由(1) 得抛物线 E 的方程为 y 2 = =4x ,焦点 F(1,0) , 设 设 A ,B 两点的坐标分别为 A(x 1 ,y 1 ) ,B(x 2 ,y 2 ) , 则 y 2 1 = =4x 1 ,y 2 2 = =4x 2 , 两式相减,整理得 y2 -y 1x 2 -x 1
==4y 2 +y 1 (x 1 ≠≠x 2 ) . ∵段 线段 AB 中点 的纵坐标为-1 , ∴线 直线 l 的斜率 k AB =4y 2 +y 1 =4 -1 ×2 =-2 , ∴线 直线 l 的方程为 y -0 =-2(x -1) ,即 2x +y -2 =0. 法二:由 由(1) 得抛物线 E 的方程为 y 2 = =4x ,焦点 F(1,0) , 线 设直线 l 的方程为 x =my +1 , 由 y 2 = =4x, ,x =my +1去 消去 x ,得 y 2 - -4my -4 =0.
设 设 A ,B 两点的坐标分别为 A(x 1 ,y 1 ) ,B(x 2 ,y 2 ) ,
∵ ∵段 线段 AB 中点的纵坐标为-1 , ∴ y1 +y 22 = 4m2=-1 ,解得 m =- 12 ,, ∴线 直线 l 的方程为 x =- 12 y +1 ,即 2x +y -2 =0. 12 .(2018· 海口调研) 已知椭圆 C:
:
x2a 2 + y2b 2 ==1(a>b>0) 的左,右顶点分别为 A ,B ,其离心率 率 e= = 12 点,点 M 为椭圆上的一个动点,△ △MAB 面积的最大值是 2 3. (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 若过椭圆 C 右顶点 B 的直线 l 与椭为 圆的另一个交点为 D ,线段 BD 的垂直平分线与 y点 轴交于点 P ,当 PB― ― → ·PD ― ― → ==0 时,求点 P 的坐标. 解:(1) 由题意可知 e = ca = 12 ,12 ××2ab =2 3, ,a 2 =b 2 + +c 2 , 得 解得 a =2 ,b= = 3 ,所以椭圆方程为 x24 + y23 ==1. (2) 由(1)知 知 B(2,0) ,设直线 BD 的方程为 y =k(x -2) ,D(x 1 ,y 1 ) , 把 把 y =k(x -2) 代入椭圆方程 x24+ y23 ==1 ,
整理得(3 +4k 2 )x 2 - -16k 2 x +16k 2 - -12 =0 , 以 所以 2 +x 1 =16k 23 +4k 2 ⇒⇒x 1 = 8k2 --63 +4k 2 则,则 D 8k 2 - -63 +4k 2 ,- -12k3 +4k 2, , 以 所以 BD 中点的坐标为 8k 23 +4k 2 ,- -6k3 +4k 2, , 线 则直线 BD 的垂直平分线方程为 y -- -6k3 +4k 2 =- 1k x -8k 23 +4k 2得 ,得 P 0, ,2k3 +4k 2. 又 又 PB― ― → ·PD ― ― → ==0 ,即 2 ,-2k3 +4k 2· 8k 2 - -63 +4k 2 ,- -14k3 +4k 2= =0 , 化简得 64k4 ++28k 2 - -36 3 +4k 2 2= =0 ⇒64k 4 + +28k 2 - -36 =0 , 得 解得 k =±34 . 故故 P 0, , 27或 0 ,- 27.
1 .已知椭圆 C:
:
x2a 2 + y2b 2 ==1(a>b>0) 的短轴长为 2 ,离心率为22线 ,设过右焦点的直线 l 与 与圆 椭圆 C 交于不同的两点 A ,B ,过 A ,B 作直线 x =2 的垂线 AP ,BQ ,垂足分别为 P ,Q.记 记 λ = |AP| +|BQ||PQ|线 ,若直线 l 的斜率 k≥ ≥ 3 ,则 λ 的取值范围为__________ . 解析:
∵圆 椭圆 C :
x2a 2 + y2b 2 ==1(a>b>0) 的短轴长为 2 ,离心率为22, , ∴ 2b =2, ,ca =22,a 2 =b 2 + +c 2 ,得 解得 a= = 2 ,b =c =1 , ∴圆 椭圆 C 的方程为 x22 +y 2 = =1. ∵线 过右焦点的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A ,B , ∴线 设直线 l 的方程为 y =k(x -1) , 联立 x 22 +y 2 = =1, ,y =k x -1 得 得(2k 2 + +1)x 2 - -4k 2 x +2k 2 - -2 =0,
设 设 A(x 1 , ,y 1 ) ,B(x 2 , ,y 2 ) ,y 1 >y 2 , , 则 则 x 1 + +x 2 =4k 22k 2 + +1 ,x 1 x 2 = 2k2 --22k 2 + +1 ,, ∴λ = |AP| +|BQ||PQ|= 2 -x 1 + +2 -x 2y 1 -y 2
=4 - x 1 + +x 2 k x 1 - -1 -k x 2 - -1 =4 - x 1 + +x 2 k x 1 +x 2 2 - -4x 1 x 2
=4- -4k 22k 2 + +1k 4k 22k 2 + +12 --4× × 2k2 --22k 2 + +1=2k 2 + +2k= = 2+ +2k 2 . ∵k≥ ≥ 3 , ∴当 当 k= = 3 时,λ max = = 2+ + 23 = 2 63当 ,当 k → + ∞ 时,λ min → → 2 , ∴λ 的取值范围是 2, , 2 63. 答案 :
2, , 2 63 2 .已知动点 M 到定点 F(1,0) 的距离比 M 到定直线 x =-2 的距离小 1. (1) 求点 M 的轨迹 C 的方程; (2) 过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l 1 , ,l 2 线 ,分别交曲线 C 于点 A ,B 和 和 M ,N. 设线段AB ,MN 的中点分别为 P ,Q ,求证:直线 PQ 恒过一个定点; (3) 在(2) 的条件下,求△ △FPQ 面积的最小值. 解:(1) 由题意可知,动点 M 到定点 F(1,0) 的距离等于 M 到定直线 x =-1 的距离, 点 根据抛物线的定义可知,点 M 的轨迹 C 是抛物线, 点 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 y 2 = =4x. (2) 证明:设 A ,B 两点坐标分别为(x 1 ,y 1 ) ,(x 2 ,y 2 ) , 点 则点 P 的坐标为 x 1 +x 22, y1 +y 22. 线 由题意可设直线 l 1 为 的方程为 y =k(x -1) ,k ≠0 , 由 y 2 = =4x, ,y =k x -1 得 得 k 2 x 2 - -(2k 2 + +4)x +k 2 = =0. Δ= =(2k 2 + +4) 2 - -4k 4 = =16k 2 + +16>0. 线 因为直线 l 1 线 与曲线 C 交于 A ,B 两点, 以 所以 x 1 +x 2 = =2+ +4k 2 ,y 1 +y 2 = =k(x 1 +x 2 - -2)= = 4k . 点 所以点 P 的坐标为 1+ +2k 2 , 2k. 线 由题知,直线 l 2 的斜率为 - 1k 点,同理可得点 Q 的坐标为(1 +2k 2 ,-2k) . 当 当 k ≠±1 时,有 1+ +2k 2 ≠≠1 +2k 2 线 ,此时直线 PQ 的斜率
k PQ =2k ++2k1+ +2k 2 --1 -2k 2=k1 -k 2 . 线 所以直线 PQ 的方程为 y +2k= =k1 -k 2 (x -1 -2k 2 ) , 得 整理得 yk 2 + +(x -3)k -y =0. 线 于是直线 PQ 恒过定点 E(3,0) ; 当 当 k =±1 时,直线 PQ 的方程为 x =3 ,也过点 E(3,0) . 线 综上所述,直线 PQ 恒过定点 E(3,0) . (3) 由(2) 得|EF| =2 , 所以 △FPQ 面积 S = 12 |EF| 2|k| ++2|k| =2 1|k| ++|k| ≥4 , 当 当且仅当 k =±1 时, “ = ” 成立, 所以 △FPQ 面积的最小值为 4.
...
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【中国文学】 日期:2020-10-22
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关于12021年召开巡视整改专题民主生活会对照检查材料 按照中央巡视组要求和省、市、区委统一部署,区
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