直角三角形与勾股定理练习题含参考答案

时间：2021-03-24 20:18:23 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　 （第 3 题）

　直角三角形与勾股定理 练习题含参考答案

　 选择题 1、(浙江杭州模拟 14)如图折叠直角三角形纸片的直角，使点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处.已知 AB= ,∠B=30°,则 DE的长是(). A.6B.4C. D.2

　答案：B 2.（湖北崇阳县城关中学模拟）直角三角形两直角边和为 7，面积为 6，则斜边长为（

　）

　A.5B. C.7D.

　答案：A

　3 ． （ 年 杭 州 市 上 城 区 一 模 ）

　梯 形 ABCD 中 AB ∥ CD ，∠ ADC +∠ BCD =90°，以 AD 、 AB 、 BC 为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是 S 1 、 S 2 、 S 3 ， 且 S 1 + S 3 =4 S 2 ，则 CD =（）

　A.2.5 AB

　B.3 AB

　C.3.5 AB D.4 AB 答案：B

　4．（年浙江省杭州市模 2）直角三角形两直角边和为 7，面3 83 4 3

　 积为 6，则斜边长为（

　）

　A.5B. C.7D.

　答案：A

　填空题

　1、（年北京四中三模）如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为 5cm，则正方形 A、B、C、D 的面积和是． 答案：25cm2

　 2．（2010－学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为 3：4：5，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为 S A ，S B ，已知 S A +S B =13，则纸片的面积是. B A C D

　答案：36 3、(浙江杭州模拟 15)如图，将含 30°角的直角三角尺 ABC绕点 B 顺时针旋转 150°后得到△EBD，连结 CD.若 AB=4cm.则△BCD 的面积为

　． 答案：

　 4．(年宁夏银川)将一副三角尺如图所示叠放在一 起 ， 若 =14cm ， 则 阴 影 部 分 的 面 积_________cm2 ． 答案：

　5.(浙江省杭州市 8 模)如图 1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若 AC =6， BC =5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图 2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________；

　 23cmAB249第 2 题图 S A

　S B

　第 4 题图 A C E D B F 30°45°图 2 A B C 图 1 A B C

　 (第 5 题图)

　答案:76 6、（年浙江杭州二模）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得 AB=1.2 米，BP=1.8 米，PD=12 米，那么该古城墙的高度是米. 答案：8

　 7、（年浙江杭州八模）如图，小明在 A 时测得某树的影长为 3 米，B 时又测得该树的影长为 12 米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____米. . 答案：6

　AB PDC第 6 题图 （第 7 题）

　A 时 B 时 图 2 A B C 图 1 A B C

　第 8 题图 8、（年浙江杭州八模）如图 1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若 AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图 2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________； 答案：76 9 9 .(浙江省杭州市党山镇中年中考数学模拟试卷)如图，将边长为 的等边△ ABC 折叠，折痕为 DE ，点 B 与点 F 重合， EF 和DF 分别交 于点 M 、 N ， DF AB ，垂足为 D ， AD＝ 1，则重叠部分的面积为. 答案：

　B B 组

　1．（年杭州三月月考）将一副三角板按如图 1 位置摆放,使得两块三角板的直角边AC 和 MD 重合.已知 AB = AC =8cm,将△ MED 绕点 A ( M )逆时针旋转 60°后(图 2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积是▲cm2

　答案：

　 3 3AC 3 934 4+3 16 48DNEFMCBA图2图1A(M)EDCBEDCBA(M)(第 1 题)

　 2．（年重庆江津区七校联考一模）一元二次方程的两根恰好是一直角三角形的两边长，则该直角三角形的面积为。

　答案：6 或

　 3、（年浠水模拟 2）如图 1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若 AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图 2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_______________；

　答案：76

　4.（年杭州市模拟）侧棱长为 cm 的直三棱柱的三个侧面面积分别为 、 和 ，则该棱柱上底面的面积为

　． 答案：

　 5. （年海宁市盐官片一模）已知 是直角三角形的三条边，27 12 0 x x   7231525 22cm 25 52cm 25 32cm2cm25 618c b a , ,图 2 A B C 图 1 A B C

　 且 ，斜边上的高为 ，则下列说法中正确的是。（只填序号）

　① ；② ； ③由 可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是 . 答案：②③

　6．（北京四中一模）在数学活动课上名师带领学生去测量河两岸 A，B 两处之间的距离，先从 A 处出发与 AB成 90°方向，向前走了 10 米到 C 处，在 C 处测得∠ACB＝60°(如图所示)，那么 A，B 之间的距离约为米（计算结果精确到 0.1 米) 答案：17

　 7.（深圳市中考模拟五）等腰三角形的腰长为 2，腰上的高为 1，则它的底角等于． 答案:15°或 75°

　解答题 1、(浙江杭州模拟 14) 如图，直角梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ，∠ DAB =90°， AD =2 DC =4，c b a   h2 2 2 4 2 2) 1 ( h b a h b a    2 2 2 2 4c b h c b  c b a , ,22b

　 AB =6．动点 M 以每秒 1 个单位长的速度，从点 A 沿线段 AB向点 B 运动；同时点 P 以相同的速度，从点 C 沿折线 C - D - A向点 A 运动．当点 M 到达点 B 时，两点同时停止运动．过点 M 作直线 l ∥ AD ，与折线 A - C - B 的交点为 Q ．点 M 运动的时间为 t （秒）． （1）当 时，求线段 的长； （2）点 M 在线段 AB 上运动时，是否可以使得以 C、P、Q 为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请直接写出 t 的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由． （3）若△ PCQ 的面积为 y ，请求 y 关于出 t 的函数关系式及自变量的取值范围；

　 答案：

　解 ：

　（ 1 ）

　由Rt△ AQM ∽Rt△ CAD ．……………………………………………2分 ∴ ． 即 ， ∴0.5 t  QMCDADAMQM40.5 2QM

　 ．…………………………………1 分 （2）

　或 或 4．……………………………………………3分 （3）当 0＜ t ＜2 时，点 P 在线段 CD 上，设直线 l 交 CD 于点 E

　由 （ 1 ）

　可 得 ． 即QM =2 t ．∴ QE =4-2 t ．………………………2 分 ∴S△ PQC = PC · QE =………………………………………………1 分 即

　当 ＞2 时，过点 C 作 CF ⊥ AB 交 AB 于点 F ，交 PQ 于点 H . ． 由题意得， ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴四边形 AMQP 为矩形． ∴ PQ ∥ ． CH ⊥ PQ ， HF=AP =6- t ∴ CH=AD=HF = t- 2…………………………………………………………1 分 ∴S △ PQC = PQ · CH = ………………………………………1分 1 QM 1 t 53CDADAMQM21t t 22 t t y 22  t4 ( 2) 6 PA DA DP t t       4 BF AB AF   CF BF  45 CBF   6 QM MB t    QM PA AB21t t 221

　 即 y =

　综上所述 或 y = (2< <6)…………………1 分

　2、(浙江杭州模拟 16) 数形结合作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即“以形助数”。

　如浙教版九上课本第 109 页作业题第 2 题：如图1，已知在△ABC 中，∠ACB=900 ，CD⊥AB，D 为垂 足 。

　易 证 得 两 个 结 论 ：(1)AC·BC=AB·CD(2)AC2 =AD·AB （1）请你用数形结合的“以数解形”思想来解：如图 2，已t t 221) 2 0 ( 22     t t t y t t 221t

　 知在△ABC 中（AC>BC），∠ACB=900 ，CD⊥AB，D 为垂足，CM平分∠ACB,且 BC、AC 是方程 x2 -14x+48=0 的两个根，求 AD、MD 的长。

　（2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解：设 a、b、c、d 都是正数，满足 a：b=c：d,且 a 最大。求证：a+d>b+c（提示：不访设 AB=a,CD=d,AC=b,BC=c，构造图 1）

　答案：

　解：（1）显然，方程 x2 -14x+48=0 的两根为 6 和 8， 1 分 又 AC>BC ∴AC=8，BC=6 由勾股定理 AB=10 △ACD∽△ABC，得 AC2 =AD·AB ∴AD=6.4 -------------------------------2 分 ∵CM 平分∠ACB ∴AM：MB=AC：CB 解得，AM= --------------------------------- 1 分 ∴MD=AD-AM= -----------------------------1 分 （2）解：不访设 AB=a,CD=d,AC=b,BC=c 由三角形面积公式，得 AB·CD=AC·BC 2AB·CD=2AC·BC-------------------------1 分 7403524

　 又勾股定理，得 AB2 =AC 2 +BC 2

　∴AB2 +2AB·CD=AC 2 +BC 2 +2AC·BC(等式性质) ∴AB2 +2AB·CD=（AC+BC）

　2 ----------------------1 分 ∴AB2 +2AB·CD+CD 2 >（AC+BC）

　2 --------------------2 分 ∴(AB+CD)2 >（AC+BC）

　2

　又 AB、CD、AC、BC 均大于零 ∴AB+CD>AC+BC 即 a+d>b+c--------------------1 分 3.（年北京四中中考全真模拟 17）如图，有两棵树，一棵高10 米，另一棵高 4 米，两树相距 8 米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？

　1、探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和 （或差）的有关问题，这种方法称为面积法。请你运用面积法求解下列问题：在等腰三 角形 ABC 中，AB=AC,BD 为腰 AC 上的高。

　(1)若 BD=h，M 时直线 BC 上的任意一点，M 到 AB、AC 的距离分别为 。

　若 M 在线段 BC 上，请你结合图形①证明：

　=h；图① 当点 M 在 BC 的延长线上时， ，h 之间的关系为. 1 2h h ，1 2h +h1 2h h ，yE

　 （请直接写出结论，不必证明）

　（2）如图②，在平面直角坐标系中有两条直线 ：y= x+6；：y=-3x+6 若 上的一点 M 到 的距离是 3，请你利用以上结论求解点 M的坐标。

　（1）证明：连结 AM ①∵ ,EM⊥AB,MF⊥AC,BD⊥AC ∴ AC.h= AB. + AC.

　又∵AB=AC ∴h= + „„„„„„„„„„„„„„„„„„2 分 ② - =h„„„„„„„„„„„„„„„„„„3 分 （2）由题意可知，DE=DF=10, ∴△EDF 是等腰三角形。„„„„„„„„„„„„„„„4分 当点 M 在线段 EF 上时，依据（1）中结论， ∵h=EO=6，∴M 到 DF（即 x 轴）的距离也为 3. ∴点 M 的纵坐标为 3，此时可求得 M(1,3)„„„„„„„„6分 当点 M 在射线 FE 上时，依据（1）中结论 ∵h=EO=6，∴M 到 DF（即 x 轴）的距离也为 9. ∴ 点 M 的 纵 坐 标 为 9 ， 此 时 可 求 得1l342l2l1lA B C A B M A C MS S S  12121h122h1h2h1h2hy x E D O F

　 M(-1,9)„„„„„„„„„„„„8 分 故点 M 的坐标为(1,3)或(-1,9)

　4、（年江苏盐都中考模拟）

　 解：原式= （4 分）

　5．（年黄冈中考调研六）(满分 14 分)如图,以等边△OAB 的边 OB 所在直线为 x 轴,点 O 为坐标原点,使点 A 在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB 边长为 6 个单位，点 P 从O 点出发沿折线 OAB 向 B 点以 3 单位/秒的速度向 B 点运动,点Q从O点出发以 2 单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发，运动时间为 t （单位：秒），当两点相遇时运动停止。

　点 A 坐标为_____________，P、Q 两点相遇时交点的坐标为________________; 当 t =2 时 ， ____________; 当 t =3 时 ，  ) 2010 ( 30 tan 2 12   1 334S △OPQ O P QS △x y O A B x y O A B x y O A B

　 ____________; 设△OPQ 的面积为 S ，试求 S 关于 t 的函数关系式; 当△OPQ 的面积最大时，试求在 y 轴上能否找一点 M，使得以 M、P、Q 为顶点的三角形是 Rt△，若能找到请求出 M 点的坐标，若不能找到请简单说明理由。

　答案． A 点坐标为 、交点坐标为（

　当 t=2 时， ；当 t=3 时，

　 对（3）中的分段函数进行计算后得知当 t=2，S 有最大值，此时 P 与 A 重合，OP=6，OQ=4，过 P 作 PC⊥OB 于 C 点，计算得 OC=3，AC= ，CQ=1，PQ=

　如图①，过 P 作 PM⊥PQ 交 y 轴于 M 点，过 M作 MN⊥AC 于 N，则 MN=OC=3，易得 Rt△PMN∽△QPC，有 即 ，得 PN= ，MO=NC=故 M 点坐标为

　  3,3 327 3( , 3)5 5S △OPQ6 3 S △OPQ9322233 (0 2)233 6 3 (2 )2153 27 3(3 )2t tS t t tt t   ≤ ≤＜ ≤318＜ ≤53 3 2 7MN PNPC CQ31 3 3PN338338(0, 3)3

　过 Q 作 MQ⊥PQ 交 y 轴于 M 点，通过△MOQ∽△QCP，求得 M坐标为

　以 PQ 为直径作⊙D，则⊙D 半径 r 为 ，再过 P 作 PE⊥y 轴于 E 点，过 D 作 DF⊥y 轴于 F 点，由梯形中位线求得 DF= ，显然 r＜DF，故⊙D 与 y 同无交点，那么此时在 y 轴上无 M 点使得△MPQ为直角三角形. 综上所述，满足要求的 M 点 或

　6.(浙江省杭州市 8 模)（本题满分 8 分）某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”。小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心（即图中的 C 处）固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上作些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全4(0, 3)97728(0, 3)34(0, 3)9O D A D

　 倒下去。小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点O ，过点 O 的木杆 CD 长为 260 ㎝, OA 、 OB 为圆弧的半径长为90 ㎝（作为木杆的支架），且 OA 、 OB 关于 CD 对称，弧 AB的长为 30 ㎝。当木杆 CD 向右摆动使点 B 落在地面上（即圆弧与直线 l 相切于点 B ）时，木杆的顶端点 D 到直线 l 的距离 DF 是多少㎝？

　 （第 6 题）

　解：由弧 AB 的长可得，∠ AOB ＝60°， 从而∠ BOE ＝∠ COB ＝30°，（2 分）

　∵ OB ＝90cm， ∴ OE ＝ cm，（2 分）

　∴ DE ＝170+ cm，（2 分）

　∴ DF ＝180+ cm（2 分）

　7.（广东南塘二模）如图，在小山的东侧 A 处有一热气球，以每分钟 30m 3 603 603 85B C A 东 西 45° 60°

　 的速度沿着仰角为 60°的方向上升，20 分钟后升到 B 处，这时 气球上的人发现在A的正西方向俯角为45°的C处有一着火点， 求气球的升空点 A 与着火点 C 的距离（结果保留根号）.

　答案：过 B 作 BD⊥CA 于 D，则 AB＝600m，AD＝300m，BD＝CD＝300 m，CA＝300( －1)m。

　8.（深圳市全真中考模拟一）△ABC 中，BC＝ ，AC＝ ，AB＝c．若 ，如图 l，根据勾股定理，则 。若△ABC 不是直角三角形，如图 2 和图 3，请你类比勾股定理，试猜想 与 的关系，并证明你的结论．

　答案：解：若△ABC 是锐角三角形，则有 ……(1 分) 若△ABC 是钝角三角形， 为钝角，则有 。(2 分) 当△ABC 是锐角三角形时， 3 3a b90 C   2 2 2a b c  2 2a b 2c图1CBA图2CBA图3CBA2 2 2a b c  C 2 2 2a b c  

　证明：过点A作AD BC，垂足为D，设CD为 ，则有BD＝ ……（3 分）

　根据勾股定理，得

　即 。

　∴ …………………………（5 分）

　∵ ， ∴ 。

　∴ 。…………………………（6 分）

　当△ABC 是钝角三角形时，

　证明：过 B 作 BD AC，交 AC 的延长线于 D。

　设 CD 为 ，则有 …………………………（7 分）

　根据勾股定理，得 ． 即 。…………………………（9 分）

　bacDACB x a x 2 2 2 2 2( ) b x AD c a x     2 2 2 2 22 b x c a ax x     2 2 22 a b c ax   0, 0 a x  2 0 ax 2 2 2a b c  cabDABCx2 2 2BD a x  2 2 2 2( ) b x a x c    2 2 22 a b bx c   

　 ∵ ， ∴ ， ∴ 。…………………………（10 分）

　0, 0 b x  2 0 bx 2 2 2a b c  