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    解斜三角形正弦定理教案

    时间：2020-12-14 10:08:47 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：角形 正弦 定理

    　第一章 解斜三角形 1 1 ．1 1 ．1 1 正弦定理

    　（一）教学目标

    　1 1． ． 知识与技能: :通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题 2. 过程与方法: :让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

    　3 3 ． 情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

    　（二）教学重、难点

    　重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

    　难点：正弦定理的推导即理解 （三）学法与教学用具

    　学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：

    　sinsin sina b cA B C  ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。

    　教学用具：直尺、投影仪、计算器

    　 （四）教学过程

    　1[ 创设情景] ]

    　如图 1．1-1，固定  ABC 的边 CB 及  B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。

    　A 思考：

    　 C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边 AB 的长度随着其对角  C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？

    　C

    　 B

    　 2[ 探索研究] ]

    　(图 1．1-1)

    　在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 1．1-2，在 Rt  ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sinaAc ， sinbBc ，又 sin 1cCc  ,

    　A 则sin sin sina b ccA B C  

    　b

    　c 从而在直角三角形 ABC 中，sin sin sina b cA B C 

    　C

    　a

    　B (图 1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）

    　可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

    　 如图 1．1-3，当  ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= sin sin a B b A  ,则sin sina bA B ，

    　 C 同理可得sin sinc bC B ，

    　b

    　a 从而sin sina bA BsincC

    　A

    　 c

    　B

    　 (图 1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

    　（证法二）：过点 A 作 j AC  ，

    　 C 由向量的加法可得

    　AB AC CB  

    　则

    　( ) j AB j AC CB    

    　 A

    　B ∴ j AB j AC j CB     

    　 j

    　   0 0cos 90 0 cos 90     j AB A j CB C

    　∴ sin sin  c A a C ，即sin sina cA C 同理，过点 C 作  j BC ，可得

    　 sin sinb cB C 从而

    　sin sina bA BsincC

    　类似可推出，当  ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

    　从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sina bA BsincC

    　 [ [ 理解定理] ]

    　（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 sin a k A  ， sin b k B  ， sin c k C  ； （2）sin sina bA BsincC 等价于sin sina bA B ，sin sinc bC B ，sinaAsincC 从而知正弦定理的基本作用为：

    　①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinb AaB ； β ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sin sinaA Bb 。

    　一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作 解三角形。

    　3[ 例题分析] ]

    　例 1．在 ABC 中，已知032.0  A ，081.8  B ， 42.9  a cm，解三角形。

    　解：根据三角形内角和定理， 0180 ( )    C A B

    　 0 0 0180 (32.0 81.8 )   

    　 066.2  ； 根据正弦定理， 00sin 42.9sin81.880.1( )sinsin32.0  a Bb cmA； 根据正弦定理， 00sin 42.9sin66.274.1( ).sinsin32.0  a Cc cmA 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

    　例 2 如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线 AD 与边 BC 相交于点 D，求证：BD ABDC AC

    　 证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理， 得sin sinBD AB  ，0sin sin(180 ) sinDC AC AC   ， 两式相除得BD ABDC AC

    　 五巩固深化反馈研究

    　1 1 已知ΔABC

    　 已知 A=60 0 ，B=30 0 ，a=3；求边 b=（）

    　: Ａ

    　３

    　 Ｂ

    　２

    　 Ｃ

    　3

    　 D

    　2

    　（2）已知ΔABC

    　 已知 A=45 0 ，B=75 0 ，b=8；求边ａ＝（）

    　A

    　8

    　 B

    　4

    　 C

    　4 3 -3

    　 D

    　8 3 -8 （3）正弦定理的内容是———————————— （4）已知 a+b=12

    　 B=45 0

    　A=60 0则则 则 a=------------------------，b=------------------------ （5）已知在ΔABC 中,三内角的正弦比为 4:5:6，有三角形的周长为 7.5，则其三边长分别为-------------------------- （6）．在ΔABC 中，利用正弦定理证明 cb aCB Asinsin sin  六，课堂小结（有学生自己总结）

    　七 课外作业：P10. A1, B1

    　 A B C D A B C D β

    　α 180 0

    　α

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