数列总结经典

时间：2020-10-14 00:23:08 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　数 列 知 识 点 梳 理

　（ 一 ）

　数 列 的 相 关 概 念 念

　一．数列的概念 1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作 , , , ,3 2 1 na a a a 简记  na . 2．数列  na 的第 n 项na 与项数 n 的关系若用一个公式 ) (n f a n  给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。

　3．数列可以看做定义域为N （或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。

　二、数列的表示方法 数列的表示方法有：列举法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。

　三、数列的分类 1． 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。

　2． 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。

　3． 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。

　递增数列的判断：比较 f(n+1)与 f(n)的大小（作差或作商）

　四、数列通项na 与前 n 项和nS 的关系 1．     nii n na a a a a S13 2 1

　 2． 2111n S Sn San nn （二）等差数列的相关知识点

　1．定义：

　) 2 ( ) ( ) ( ) (1 1      n N n d a a N n d a an n n n且 常数 或 常数 。

　当 d>0 时，递增数列，d<0 时，递减数列，d=0 时，常数数列。

　2．通项公式：

　d n a a n ) 1 (1   d m n a m ) (    q pn d a dn      ) (1

　 d =11na a n， d =m na am n

　是点列（ n ， a n ）所在直线的斜率. 3．前 n 项的和：

　dn nnaa a nSnn2) 1 (2) (11 21( )2 2d dn a n    Bn An  2

　{nS n}是等差数列。

　4．等差中项：若 a、b、c 等差数列，则 b 为 a 与 c 的等差中项:2 b=a+c 5、等差数列的判定方法(n∈N*) (1)定义法: a n+1 -a n =d 是常数

　(2)等差中项法:2 12  n n na a a

　(3)通项法: q pn a n  

　 (4)前 n 项和法: Bn An S n  2

　 6．性质:设{a n }是等差数列，公差为 d,则 (1) m+n=p+q ,则 a m + a n = a p + a q

　 特别地，当 2 m n p   时，则有 2m n pa a a   (2) a n , a n+m , a n+2m…… 组成公差为 md 的等差数列.

　 (3) S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n…… 组成公差为 n2 d 的等差数列.

　 （4）若 { }na 、 { }nb 是等差数列，则 { }nka 、 { }n nka pb 

　( k 、 p 是非零常数)、

　*{ }( , )p nqa p q N 均是等差数列，公差分别为：

　（ 5 ）

　若 等 差 数 列 { }na 、 { }nb 的 前 n 和 分 别 为nA 、nB ， 且 ( )nnAf nB ， 则

　2 12 1(2 1)(2 1)(2 1)n n nn n na n a Af nb n b B   . 如设{na }与{nb }是两个等差数列，它们的前 n 项和分 别为nS 和nT ，若3 41 3nnTSnn，那么 nnba___________， 77ba__________ （6）nS 的最值：

　法 1、可求二次函数2nS an bn   的最值；法 2、求出  na 中的正、负分界项，

　即：当10 0 a d   ， ，解不等式组100nnaa 可得nS 达到最大值时的 n 值.

　当10 0 a d   ， ，由100nnaa 可得nS 达到最小值时的 n 值.

　例：若 { }na 是等差数列，首项10, a 2003 20040 a a   ，2003 20040 a a   ，则使前 n 项和

　 0nS  成立的最大正整数 n 是

　 （答：4006）

　7．n nS a n d a , , , ,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量 d a ,1;或利用数列性质, 8、巧设元：三数: d a a d a   , , ,

　 四数：

　d a d a d a d a 3 , , , 3    

　9、项数为偶数 n 2 的等差数列  na， 有nd S S  奇 偶

　，1 nnaaSS偶奇

　项 数 为 奇 数 1 2  n 的 等 差 数 列  na，有 ) ( ) 1 2 (1 2为中间项n n na a n S  ， na S S  偶 奇，1 nnSS偶奇. 例：项数为奇数的等差数列 { }na 中，奇数项和为 80，偶数项和为 75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

　10、如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n ma b  .

　（三）等比数列 的相关知识点 （类比等差数列）

　1、定义：1 nnaqa （ q 为常数， 0 q   N n a n , 0 , ）或

　时，常数数列 当时，摆动数列 当时，递减数列 且 ； 且 当时，递增数列 且 ； 且 当1 q0 q1 0 1 0 01 0 0 1 01 11 1        q a q aq a q a 2、通项公式：11nnq a a= （0 ,1 q a ）m nm nq a a=

　 3、前 n 项和： 11( 1)1( 1)1nnna qS a qqq  （要注意 q 的讨论）

　A Aqn  （q  1）

　4、等比中项：

　x G y 、 、 成等比数列2G xy   ，或 G xy . 只有同号两数才存在等比) , )( ( ) ( ) (1 1 1 2 2 2 1 2为中间两项        n n n n n n na a a a n a a n a a n S 

　中项，且有两个，如已知两个正数 , ( ) a b a b  的等差中项为 A，等比中项为 B，则 A 与 B 的大小关系为______ 5、等比数列的判定方法(n∈N*) (1)定义法: a n+1 /a n =q 是常数

　(2)等比中项法:221   n n na a a

　(3)通项法:

　nncq a  ( q c, 为非零常数).

　(4)前 n 项和法: A Aq Snn 

　6、性质：

　 na 是等比数列 （1）若 m n p q    ，则m n p qa a a a  · ·

　 特别地，当2 m n p   时，则有2.p n ma a a 

　例：在等比数列 { }na 中，3 8 4 7124, 512 a a a a     ，公比 q 是整数，则10a =___（答：512）；

　各项均为正数的等比数列 { }na 中，若5 69 a a   ，则3 1 3 2 3 1 0log log log a a a    

　 （答：10）。

　（2）

　a n , a n+m , a n+2m…… 组成公比为

　 的等比数列. （3）2 3 2 n n n n nS S S S S   ， ， …… ) 0 ( nS 仍为等比数列,公比为nq .

　例、在等比数列 } {na 中，nS 为其前 n 项和，若 140 , 1330 10 10 30   S S S S ，则20S 的值

　为______（答：40）

　（4）若 { }na 是等比数列，则 {| |}na 、 { }nka 成等比数列；若 { }{ }n na b 、 成等比数列，则 { }n na b 、{ }nnab成等比数列；公比分别为：

　7．n nS a n d a , , , ,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量 d a ,1;或利用数列性质, 8、巧设元：三数: d a a d a  , , / ,

　 四数：

　d a d a d a d a 3 , . , / , 3 /  

　9．、非零．．．常数列既是等比数列，又是等差数列.

　 故常数数列 { }na 是此数列既成等差数列又成等比数列的

　条件

　例、设数列  na 的前 n 项和为nS （ N  n ）， 关于数列  na 有下列三个命题：①若) (1N  n a an n，则  na 既是等差数列又是等比数列；②若   R    b a n b n a S n 、2，

　则  na 是等差数列；③若  nnS 1 1    ，则  na 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是

　 10、正数列{na }成等比，则数列 ) 1 }( {log  a a na成等差数列； 若数列{na }成等差，则数列 } {naa 成等比数列；

　例 、 已 知 0 a 且 1 a ， 设 数 列 { }nx 满 足1l o g 1 l o ga n a nx x  ( * ) n N  ， 且1 2 1 0 0 100x x x     ，则101 102 200x x x    

　. （答：100100a ）

　11、在等比数列 { }na 中，当项数为偶数 2n 时， S qS 偶 奇 ；

　 项数为奇数 2 1 n 时，

　 1S a qS  奇 偶 .

　12.会从函数角度理解和处理数列问题. （四）、求通项

　1、等差、等比数列公式法 2、形如

　a a n+1 - -a a n n =f(n) 形式，求法：累加法 3、形如 a a n+1 =a n n · f(n), 求法：累乘法 4、形如 a a n+1 =Aa n n +B (AB ≠ 0), 求法：构造法

　 例、已知1 11, 3 2n na a a   ，求na （答：12 3 1nna  ）

　 已知nn na a a 2 2 , 11 1  求na

　 5、形如aannnm ka1  (k≠0)形式，求法：m=1 时求倒数；另外可能周期数列或构造法 例：已知1111,3 1nnnaa aa ，求na （答：13 2nan）；

　 已知数列满足1a =1，1 1 n n n na a a a   ，求na （答：21nan ）

　 6、 已知 S S n n , ,求 求 a a n ，

　求法：阶差法

　即利用公式

　a n = ) 2 ( ,) 1 ( ,11nns ssn n注意：一定不要忘记对 n 取值的讨论！最后，还应检验当 n=1 的情况是否符合当 n  2 的关系式，从而决定能否将其合并。

　例、已知 { }na 的前 n 项和满足2log ( 1) 1nS n    ，求na （答： 3,12 , 2nnnan）；

　数列 { }na 满足1 221 1 12 52 2 2nna a a n      ，求na （答：114, 12 , 2nnnan）

　7、已知 1 2( )na a a f n 

　求na

　，用作商法 (1),( 1)( ),( 2)( 1)nf nf n anf n   

　例、数列 } {na 中， , 11 a 对所有的 2  n 都有23 2 1n a a a an  ，则  5 3a a ______ （6116）

　 （五）数列求和的常用方法：

　1 1 、公式法：（等差、等比数列直接用公式）

　常用公式：①1+2+3 …+ n

　= 21  n n

　②  61 2 13 2 12 2 2 2    n n nn 

　③ 2213 2 13 3 3 3   n nn  例、等比数列 { }na 的前 n 项和 S ｎ ＝2ｎ －１，则 2 232221 na a a a      ＝_____ （答：4 13n）； 2、计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢 2 进 1”，如2) 1101 ( 表示二进制数，将它转换成十进制形式是 13 2 1 2 0 2 1 2 10 1 2 3        ，那么将二进 制  1 20052) 11 111 (个转换成十进制数是_______（答：20052 1  ）

　2.等差数列的绝对值的和 （已知等差数列前 n 项和为nS ）

　① 当 a 1 >0,d<0 时，若 a k ≥0,a k+1 <0,则:

　S=|a 1 |+|a 2 |+……|a k |+|a k+1 |+……|a n |=

　② 当 a 1 <0,d>0 时，若 a k ≤0,a k+1 >0,则:

　S=|a 1 |+|a 2 |+……|a k |+|a k+1 |+……|a n |=

　3、 分组求和法：

　例、求数列  ,3219 ,1617 ,815 ,413

　的前 n 项和

　4、并项求和法

　例、 1 3 5 7 ( 1) (2 1)nnS n          （答：

　( 1) n n   ）

　 5 5 、倒 序相加法：

　例、求证：0 1 23 5 (2 1) ( 1) 2n nn n n nC C C n C n       

　已知22( )1xf xx，则1 1 1(1) (2) (3) (4) ( ) ( ) ( )2 3 4f f f f f f f       ＝______

　6 . 裂项相消求和, , 常见类型

　①1 1 1( 1) 1 n n n n  ；

　 ②1 1 1 1( )( ) n n k k n n k  ； ③ )1 211 21(21) 1 2 )( 1 2 (1  n n n n ④1 1 1 1[ ]( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2) n n n n n n n      ；

　 ⑤ ) (1 1n k nk n k n   

　⑥   ) 1 (2) 1 (n nnann

　例、求和：1 1 11 4 4 7 (3 2) (3 1) n n       

　（答：3 1nn）； 在数列 { }na 中，11 n na n ，且 S ｎ ＝９，则 n＝_____（答：99）

　 7、 错位相减法: : 适用于  n n ba 其中{ na }是等差数列，  nb 是各项不为 0 的等比数列。

　 例、 { }na 为等比数列，1 2 1( 1) 2n n nT na n a a a      ，已知11 T  ，24 T  ，①求数列

　{ }na 的首项和公比；②求数列 { }nT 的通项公式. （答：①11 a  ， 2 q  ；②12 2nnT n   ）；

　8、 通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再以上求和法求和。

　 例、求和：1 1 111 2 1 2 3 1 2 3 n          

　（答：21nn）

　（六）

　. 等比数列的前 n 项和公式的常见应用题：

　⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 a ，年增长率为 r ，则每年的产量成等比数列，公比为 r  1 . 其中第 n 年产量为1) 1 (nr a ，且过 n 年后总产量为：

　.) 1 ( 1] ) 1 ( [) 1 ( ... ) 1 ( ) 1 (1 2rr a ar a r a r a ann          ⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存 a 元，利息为 r ，每月利息按复利计算，则每月的 a 元过 n 个月后便成为nr a ) 1 (  元. 因此，第二年年初可存款：

　) 1 ( ... ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (10 11 12r a r a r a r a         =) 1 ( 1] ) 1 ( 1 )[ 1 (12rr r a   . ⑶分期付款应用题：

　a 为分期付款方式贷款为 a 元； m 为 m 个月将款全部付清； r 为年利率.               1 11 1 11 1 ...... 1 1 12 1              mm mm m m mrr arxrr xr a x r x r x r x r a 。