2020版一轮复习理数通用版:高考达标检测(三十二),,空间角3类型——线线角、线面角、二面角
高考达标检测(三十二)
空间角 3 类型 —— 线线角、线面角、二面角 1 .如图,在正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 点 中,点 D 是棱 AB 的中点,BC =1 ,AA 1 = = 3.
(1) 求证:BC 1 ∥面 平面 A 1 DC ; (2) 求二面角 D-A 1 C-A 的正弦值. 解:(1) 证明:过点 A 作 作 AO ⊥BC 交 BC 于点 O ,过点 O 作 作 OE ⊥BC 交 交 B 1 C 1 于 于 E. 面 因为平面 ABC ⊥面 平面 CBB 1 C 1 以 ,所以 AO ⊥面 平面 CBB 1 C 1 .
以 以 O 为坐标原点,OB ,OE ,OA 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直为 角坐标系.因为 BC =1 ,AA 1 = = 3, , △ABC 是等边三角形,所以 O 为 为 BC 的中点. 则 则 O(0,0,0), ,A 0 ,0, ,32, ,B 12 ,,0 ,0 , ,C - 12 ,,0 ,0 , ,D 14 ,,0, ,34, ,A 1 0, , 3, ,32,C 1 - 12 ,, 3 ,0 ,CD― ― → = 34 ,,0, ,34, ,A 1 C― ― → = - 12 -,- 3 ,-32, , 面 设平面 A 1 DC 的一个法向量为 n 1 = =(x 1 , ,y 1 , ,z 1 ) , 则 n 1 ·CD― ― → ==0, ,n 1 ·A 1 C― ― → ==0, ,即 34 x 1 +34z 1 = =0, ,- 12 x 1 -- 3y 1 -32z 1 = =0.
取 取 x 1 = = 3 ,得 z 1 =-3 ,y 1 = =1 , ∴面 平面 A 1 DC 的一个法向量为 n 1 = =( 3 ,1 ,-3) . 又∵ ∵BC 1― ― → ==( -1, , 3 ,0), ,∴ ∴BC 1― ― → ·n1 = =0 , 又 又 BC 1 ⊄ ⊄面 平面 A 1 DC , ∴BC 1 ∥面 平面 A 1 DC. (2) 设平面 ACA 1 为 的一个法向量为 n 2 = =(x 2 , ,y 2 , ,z 2 ) , ∵ ∵AA 1― ― → ==(0, , 3 ,0) , 则 n 2 ·AA 1― ― → ==0, ,n 2 ·A 1 C― ― → ==0, ,即 3y 2 = =0, ,- 12 x 2 -- 3y 2 -32z 2 = =0, ,
取 取 x 2 = = 3 ,得 y 2 = =0 ,z 2 =-1. ∴面 平面 ACA 1 为 的一个法向量为 n 2 = =( 3 ,0 ,-1) . 则 则 c cos 〈n 1 , ,n 2 〉=613 ×2 = 3 1313, , 角 设二面角 D-A 1 C-A 的大小为 θ , ∴ ∴c cos θ= = 3 1313, ,sin θ= = 2 1313, , 角 故二面角 D-A 1 C-A 的正弦值为 2 1313.
2 .(2017· 全国卷Ⅱ Ⅱ) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等边面 三角形且垂直于底面 ABCD, ,AB =BC= = 12 AD,,∠ ∠BAD= =∠ ∠ABC =90°, ,E 是 是 PD 的中点. (1) 证明:直线 CE∥ ∥面 平面 PAB ; (2)点 点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45° ,求二面角 M-AB-D 的余弦值. 解:(1) 证明:取 PA 的中点 F ,连接 EF ,BF. 为 因为 E 是 是 PD 的中点,所以 EF ∥AD ,EF = 12 AD. 由 ∠BAD = ∠ABC =90° ,得 BC ∥AD , 又 又 BC = 12 AD ,所以 EF 綊 綊 BC , 形 所以四边形 BCEF 是平行四边形,CE ∥BF , 又 又 CE⊄ ⊄ 平面 PAB ,BF⊂ ⊂面 平面 PAB ,
故 故 CE ∥面 平面 PAB. (2) 由已知得 BA ⊥AD ,以 A 为坐标原点,AB― ― → 为的方向为 x 轴正方向,|AB― ― → |系为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz, ,则 则 A(0,0,0) ,B(1 ,0,0) ,C(1,1,0) ,P(0 ,1, , 3) ,PC― ― → ==(1,0- ,- 3), ,AB― ― → ==(1,0,0) . 设 设 M(x ,y ,z)(0<x<1) , 则 则BM― ― → ==(x -1 ,y ,z) ,PM― ― → ==(x ,y -1 ,z- - 3) . 为 因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45° , 而 而 n =(0,0,1) 是底面 ABCD 的法向量,
所以|c cos 〈BM― ― → ,n 〉| =sin 45°, ,|z| x -1 2 + +y 2 + +z 2 =22, , 即 即(x -1) 2 +y 2 - -z 2 = =0.
① 又 又 M 在棱 PC 上,设PM― ― → =λ PC― ― → ,, 则 则 x =λ ,y =1 ,z= = 3- - 3λ.
② 由 ①② 解得 x =1+ +22,y =1, ,z =-62( 舍去) ,或 x =1- -22,y =1, ,z =62, 以 所以 M 1- -22, ,1, ,62,从而AM― ― → = 1- -22, ,1, ,62. 设 设 m =(x 0 ,y 0 , ,z 0 ) 是平面 ABM 的法向量, 则 m·AM― ― → ==0, ,m·AB― ― → ==0, ,即 2- - 2 x 0 + +2y 0 + + 6z 0 = =0, ,x 0 = =0, , 取 所以可取 m =(0- ,- 6 ,2) . 是 于是 c cos 〈m ,n 〉=m m·n n|m m|| n| =105. 角 由图知二面角 M-AB-D 为锐角, 角 因此二面角 M-AB-D 的余弦值为105. 3. 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ ⊥面 底面 ABC, ,∠ ∠BAC =90°.点 点 D, ,E ,N 分别为棱 PA ,PC ,BC 的中点,M 是线段 AD 的中点,PA =AC= =4 ,AB =2. (1) 求证:MN∥ ∥面 平面 BDE ; (2) 求二面角 C-EM-N 的正弦值; ; (3) 已知点 H 在棱 PA 上,且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为721 段,求线段 AH 的 的长. 解:
由题意知,AB ,AC ,AP 两两垂直,故以 A 为坐标原点,以 分别以 AB― ― → ,,AC― ― → ,, AP― ― → 为方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所得 示的空间直角坐标系.依题意可得 A(0 ,0,0) ,B(2 ,0,0) ,C(0,4,0), ,P(0,0,4) ,D(0,0,2) ,E(0,2,2) ,M(0,0,1) ,N(1,2,0) . (1) 证明:DE― ― → ==(0,2,0) ,DB― ― → ==(2,0 ,-2) .
设 设 n =(x ,y ,z) 为平面 BDE 的法向量, 则 n·DE― ― → ==0, ,n·DB― ― → ==0, ,即 2y =0, ,2x -2z =0. 取 不妨取 z =1 ,可得 n =(1,0,1) . 又 又MN― ― → ==(1,2 ,-1) ,可得MN― ― → ·n =0. 为 因为 MN⊄ ⊄ 平面 BDE ,所以 MN ∥面 平面 BDE. (2) 易知 n 1 = =(1,0,0) 为平面 CEM 的一个法向量. 设 设 n 2 = =(x 1 , ,y 1 , ,z 1 ) 为平面 EMN 的法向量, 又 又EM― ― → ==(0 ,-2 ,-1) ,MN― ― → ==(1,2 ,-1) , 则 n 2 ·EM― ― → ==0, ,n 2 ·MN― ― → ==0, ,即 - -2y 1 - -z 1 = =0, ,x 1 + +2y 1 - -z 1 = =0. 取 不妨取 y 1 = =1 ,可得 n 2 = =( -4,1 ,-2) . 有 因此有 c cos 〈n 1 , ,n 2 〉=n 1 ·n 2|n 1 ||n 2 | =-421 ,, 是 于是 sin 〈n 1 , ,n 2 〉=10521. 角 所以二面角 C-EM-N 的正弦值为10521. (3) 依题意,设 AH =h(0 ≤h ≤4) ,则 H(0,0 ,h) , 进而可得NH― ― → ==( -1 ,-2 ,h) , BE― ― → ==( -2,2,2) . 由已知,得|cos 〈NH― ― → ,, BE― ― → 〉〉|= = |NH― ― → ·BE ― ― → ||NH― ― → ||BE ― ― → |
=|2h -2|h 2 + +5 ×2 3 =721 ,, 得 整理得 10h 2 - -21h +8 =0 ,解得 h = 85 或或 h = 12 . 段 所以线段 AH 的长为 85 或 12 . 4.锥 如图,在四棱锥 P-ABCD 面 中,侧面 PAD⊥ ⊥面 底面 ABCD ,底面ABCD 是平行四边形, ∠ABC =45° ,AD =AP =2 ,AB =DP =2 2, ,E 为 为 CD 的中点,点 F 在线段 PB 上. (1) 求证:AD ⊥PC ; (2) 试确定点 F 的位置,使得直线 EF 与平面 PDC 所成的角和直线 EF 与平面 ABCD 所 所
成的角相等. 解:(1) 证明:在平行四边形 ABCD 中,连接 AC , 为 因为 AB =2 2 ,BC =2, , ∠ABC =45° , 得 由余弦定理得 AC 2 = =8 +4 -2 ×2 2 ×2 ×cos 45° =4 , 得 解得 AC =2 ,所以 AC 2 +BC 2 =AB 2 , , 所以 ∠ACB =90° ,即 BC ⊥AC. 又 又 AD ∥BC ,所以 AD ⊥AC. 又 又 AD =AP =2 ,DP =2 2 , 以 所以 AD 2 + +AP 2 =DP 2 以 ,所以 AP ⊥AD , 又 又 AP ∩AC =A ,所以 AD ⊥面 平面 PAC ,所以 AD ⊥PC.
(2) 因为侧面 PAD ⊥面 底面 ABCD ,PA ⊥AD ,所以 PA ⊥面 底面 ABCD ,线 所以直线 AC ,AD ,AP 两两互相垂直,以 A 为坐标原点,AC ,AD ,AP为 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz, , 则 则 D( -2,0,0) ,C(0,2,0) ,B(2,2,0) ,E( -1,1,0) ,P(0,0,2) , 以 所以 PC― ― → ==(0,2 ,-2) , PD― ― → ==( -2,0 ,-2) , PB― ― → ==(2,2 ,-2) ,设 PFPB ==λ(λ ∈[0,1]) , 则 则 PF― ― → ==(2λ ,2λ ,-2λ) ,F(2λ ,2λ ,-2λ +2) , 以 所以 EF― ― → ==(2λ +1,2λ -1 ,-2λ +2) , 面 易得平面 ABCD 的法向量 m =(0,0,1) . 面 设平面 PDC 的法向量为 n =(x ,y ,z) , 则 n·PC― ― → ==0, ,n·PD― ― → ==0, ,即 2y -2z =0, ,- -2x -2z =0, , 令 令 x =1 ,得 n =(1 ,-1 ,-1) . 线 因为直线 EF 与平面 PDC 所成的角和直线 EF 与平面 ABCD 所成的角相等, 所以|c cos 〈 EF― ― → ,m 〉| =|c cos 〈 EF― ― → ,,n 〉| , 即| EF― ― → ·m|| EF― ― → |·|m| =| EF― ― → ·n|| EF― ― → |·|n| ,所以| -2λ +2|= = 2λ3, , 即 即 3|λ -1| =|λ| ,解得 λ = 3-- 32,所以 PFPB = 3-- 32.
某工厂欲加工一件艺术 品,需要用到三棱锥形状的坯材,工人将如图所示的长方体ABCD-EFQH 材料切割成三棱锥 H-ACF.
(1) 若点 M ,N ,K 分别是棱 HA ,HC ,HF 的中点,点 G 是 NK 上的任意一点,求证:MG∥ ∥面 平面 ACF ; (2) 已知原长方体材料中,AB =2 ,AD =3 ,DH =1 ,根据艺术品加工需要,工程师必须出 求出该三棱锥的高;甲工程师先求出 AH 所在直线与平面 ACF 所成的角 θ式 ,再根据公式 h= =AH·sin θ 求三棱锥 H-ACF 的高 h. 请你根据甲工程师的思路,求该三棱锥的高. 解:(1) 证明:
∵HM =MA ,HN =NC ,HK =KF , ∴ ∴MK ∥AF ,MN ∥AC. ∵ ∵MK⊄ ⊄ 平面 ACF ,AF⊂ ⊂面 平面 ACF , ∴ ∴MK ∥面 平面 ACF ,同理可证 MN ∥面 平面 ACF , ∵ ∵MK ∩MN =M ,MN⊂ ⊂面 平面 MNK ,MK⊂ ⊂面 平面 MNK , ∴面 平面 MNK ∥面 平面 ACF. 又 又 MG⊂ ⊂面 平面 MNK , ∴MG ∥面 平面 ACF.
(2) 以 D 为坐标原点,DA ,DC ,DH 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D -xyz.则 则 A(3 ,0,0) ,C(0,2,0), ,F(3,2,1) ,H(0,0 ,1) ,AC― ― → ==( -3,2,0) ,AF― ― → ==(0,2,1) ,AH― ― → ==( -3,0,1), , 面 设平面 ACF 的一个法向量 n =(x ,y ,z) , 则 n·AC― ― → ==0, ,n·AF― ― → ==0, ,即 - -3x +2y =0, ,2y +z =0, ,令 令 y =3 ,则 n =(2,3 ,-6) , ∴ ∴sin θ =|c cos 〈AH― ― → ,,n 〉|= = |AH― ― → ·n||AH― ― → ||n| =127 10 = 6 1035, , ∴锥 三棱锥 H-ACF 的高为 AH·sin θ= = 10× × 6 1035= 127.
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梧桐花为梧桐科植物梧桐的花,植物形态详梧桐子条。今天小编为你整理了梧桐花的花语,欢迎阅读。 梧桐花的花语是:情窦初开 在春季里晚开的花朵,有着恬淡的气息。 ...
【寓言童话】 日期:2020-03-03
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信息论与编码期末复习试题含参考答案
信息论与编码期末复习试题含参考答案 在无失真的信源中,信源输出由H(X)来度量;在有失真的信源中,信
【寓言童话】 日期:2021-03-19
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读谢觉哉家书心得体会
读谢觉哉家书心得体会 谢觉哉,“延安五老”之一,严于律己、清正廉洁,一生奋斗
【寓言童话】 日期:2021-05-17
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惊悚鬼故事50字 令人惊悚的故事
这些惊悚故事在短短的篇幅和时间之内让您感受到故事里传达出来的恐怖感,令你感到害怕。下面就是小编给大家整理的令人惊悚的故事,希望对你有用! 令人惊悚的故事篇1:学校...
【寓言童话】 日期:2019-05-13
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运动心理学
运动心理学名词解释: 1、运动表象:通常是指在人的头脑中重现出来的动作表象,它反映动作在一定的时间、
【寓言童话】 日期:2021-06-08
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边城翠翠的爱情悲剧_翠翠爱情悲剧的产生原因
《边城》通过对湘西儿女翠翠和恋人傩送的爱情悲剧的描述,反映出湘西人民在“自然”“人事”面前不能把握自己命运的惨痛事实。下面是小编精心为你整理的翠翠爱情悲剧的产生原...
【寓言童话】 日期:2020-03-06
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槽钢表面积对照表序号型号理论重量表面积计算面积 kg mM2 tm M2 1[55 43844 84
【寓言童话】 日期:2020-07-03
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廉洁自律自我剖析材料(精选)
廉洁自律自我剖析材料((精选多篇)) 信念。科学文化,提高自身素质的终身学习的意识,紧密联系群众,调
【寓言童话】 日期:2020-07-20
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首件鉴定管理办法
1.目的与适用范围1 1目的:本程序规定了产品首件鉴定的内容和要求,以确保生产工艺和生产设备满足产品
【寓言童话】 日期:2020-08-08
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【名人失败的故事】 关于失败的名人故事
我们最大的弱点在于放弃。成功的必然之路就是不断的重来一次。涓滴之水终可以磨损大石,不是由于它力量强大,而是由于昼夜不舍的滴坠。下面是小编为您整理的名人失败的故事,...
【寓言童话】 日期:2019-05-19
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学生高考动员演讲稿3篇高考动员演讲稿11 老师们、同学们: 大家下午好!漫漫高考长征路已经进入尾声了
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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企业安全演讲稿2021
最新企业安全的演讲稿5篇 演讲稿是作为在特定的情境中供口语表达使用的文稿。在充满活力,日益开放的今天
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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XX镇扶贫项目实施专项整治工作总结_1
XX镇扶贫项目实施专项整治工作总结 为深入贯彻精准扶贫精准脱贫基本方略,认真落实党中央、国务院,省委
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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对乡镇领导班子干部成员批评意见例文
对乡镇领导班子干部成员的批评看法范文 一、对党委书记XXX同志的批评看法〔3条〕 1、与干部交流偏少
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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群英乡扶贫资金项目芬坡村祖埇村生产道路硬化工程绩效自评报告
群英乡扶贫资金项目((芬坡村祖埇村生产道路硬化工程))绩效自评报告 一、基本情况(一)群英乡扶贫资金
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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党委书记在警示教育大会上的讲话55篇汇编 党委书记在警示教育大会上的讲话(一) 同志们: 根据省州委
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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对于2021年召开巡视整改专题民主生活会对照检查材料
关于12021年召开巡视整改专题民主生活会对照检查材料 按照中央巡视组要求和省、市、区委统一部署,区
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
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消防安全知识培训试题.doc
消防安全知识培训试题姓名: 部门班组: 成绩: 一:填空题,每空4分,共44分。 1、灭火剂是通过隔
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
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涉疫重点人员“五包一”居家隔离医学观察工作流程
涉疫重点人员“五包一”居家隔离医学观察工作流程 目前,全球疫情仍处于大流行状
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
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疫情防控致全体师生员工及家长一封信
疫情防控致全体师生员工及家长的一封信 各位师生员工及全体家长朋友: 暑假已至,近期我省部分地方发现确
【百家讲坛】 日期:2021-08-14