物理创新设计配套PPT及教师word习题课2　动量和能量综合应用

时间：2021-01-28 15:06:08 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　课 习题课 2

　动量和能量的综合应用

　滑块—木板类模型

　[要点归纳] 1.把滑块、木板看做一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒。

　2.由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒。应由能量守恒求解问题。

　3.注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械能损失最多。

　[精典示例]

　[例 1] 如图 1 所示，在光滑的水平面上有一质量为 M 的长木板，以速度 v 0 向右做匀速直线运动，将质量为 m 的小铁块轻轻放在木板上的 A 点，这时小铁块相对地面速度为零，小铁块可视为质点，相对木板向左滑动。由于小铁块和木板间有摩擦，最后它们之间相对静止，已知它们之间的动摩擦因数为 μ，问：

　图 1

　(1)小铁块跟木板相对静止时，它们的共同速度多大？ (2)它们相对静止时，小铁块与木板上的 A 点距离多远？ (3)在全过程中有多少机械能转化为内能？ 解析 (1)木板与小铁块组成的系统动量守恒。以 v 0 的方向为正方向，由动量守恒定律得 Mv 0 ＝(M＋m)v′，则 v′＝Mv 0M＋m 。

　(2)由功能关系可得，摩擦力在相对位移上所做的功等于系统动能的减少量，μmgx相 ＝ 12 Mv20 － 12 (M＋m)v′2 。

　解得 x 相 ＝ 错误! ! 。

　(3)方法一：由能量守恒定律可得 Q＝ 12 Mv20 － 12 (M＋m)v′2 ＝ 错误! !

　方法二：根据功能关系，转化成的内能等于系统克服摩擦力做的功，即 ΔE＝Q＝μmgx 相 ＝ 错误! ! 。

　答案 (1)Mv 0M＋m

　(2) 错误! !

　(3) 错误! !

　 滑块—滑板类模型是通过板块之间的滑动摩擦力发生相互作用，当系统所受合外力为零时，系统的动量守恒，但机械能一般不守恒，多用能量守恒求解，需要注意的是，滑块若不滑离木块，意味着二者最终具有共同速度。

　 [例 2] (多选)如图 2 所示，长木板 A 放在光滑的水平面上，质量为 m＝2 kg 的另一物体 B 以水平速度 v 0 ＝3 m/s 滑上原来静止的长木板 A 的表面，由于 A、B 间存在摩擦，之后 A、B 速度随时间变化情况如图乙所示，则下列说法正确的是(

　)

　图 2 A.木板获得的动能为 2 J B.系统损失的机械能为 4 J C.木板 A 的最小长度为 1.5 m D.A、B 间的动摩擦因数为 0.1 解析 根据动量守恒定律可得 mv 0 ＝(m＋m A )v， 得 m A ＝4 kg，A 的动能 E k ＝ 12 m A v2 ＝2 J， 系统损失的动能 ΔE k ＝ 12 mv20 － 12 (m A ＋m)v2 ＝6 J， 木板长 L≥ 12 (v 0 ＋v)t 1 －12 vt 1 ＝12 v 0 t 1 ＝1.5 m， μmg＝ma，解得 μ＝0.2。选项 A、C 正确。

　答案 AC

　 子弹打木块类模型 [要点归纳] 1.子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，则系统动量守恒。

　2.在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化。

　3.若子弹不穿出木块，二者最后有共同速度，机械能损失最多。

　[精典示例]

　[例 3] 如图 3 所示，在光滑水平地面上的木块 M 紧挨轻弹簧靠墙放置。子弹 m以速度 v 0 沿水平方向射入木块并在极短时间内相对于木块静止下来，然后木块压缩劲度系数未知的弹簧至弹簧最短。已知子弹质量为 m，木块质量是子弹质量的9 倍，即 M＝9m；弹簧最短时弹簧被压缩了 Δx；劲度系数为 k，形变量为 x 的弹簧的弹性势能可表示为 E p ＝ 12 kx2 。求：

　图 3

　(1)子弹射入木块到刚相对于小木块静止的过程中损失的机械能； (2)弹簧的劲度系数。

　解析 (1)设子弹射入木块到刚相对于木块静止时的速度为v，由动量守恒定律mv 0＝(m＋M)v，解得 v＝ v010

　设子弹射入木块到刚相对于木块静止的过程中损失的机械能为ΔE， 由能量守恒定律 ΔE＝ 12 mv20 － 12 (m＋M)v2

　代入数据得 ΔE＝ 错误! ! 。

　(2)弹簧最短时弹簧被压缩了 Δx，其弹性势能可表示为 E p ＝ 12 k(Δx)2

　木块压缩轻弹簧过程，由机械能守恒定律， 12 (m＋M)v2 ＝E p ，解得 k＝ 错误! ! 。

　答案 (1) 错误! !

　(2) 错误! !

　[例 4] 如图 4 所示，在水平地面上放置一质量为 M 的木块，一质量为 m 的子弹以

　水平速度 v 射入木块(未穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为 μ，子弹与木块间的动摩擦因数为 μ 0 ，求：

　图 4

　(1)子弹射入后，木块在地面上前进的距离； (2)射入的过程中，系统损失的机械能； (3)子弹在木块中打入的深度。

　解析 因子弹未射出，故碰撞后子弹与木块的速度相同，而系统损失的机械能为初、末状态系统的动能之差。

　(1)设子弹射入木块后，二者的共同速度为 v′，取子弹的初速度方向为正方向，则由动量守恒得 mv＝(M＋m)v′① 二者一起沿地面滑动，前进的距离为 x，由动能定理得 －μ(M＋m)gx＝0－ 12 (M＋m)v′2 ② 由①②两式解得 x＝m 2 v 22（M＋m）

　2 μg

　(2)射入过程中损失的机械能 ΔE＝ 12 mv2 － 12 (M＋m)v′2 ③ 解得 ΔE＝Mmv 22（M＋m）

　。

　(3)设子弹在木块中打入的深度，即子弹相对于木块的位移为 x 相对 ，则 ΔE＝μ 0 mgx相对 ，得 x 相对 ＝ΔEμ 0 mg ＝Mv 22μ 0 g（M＋m）

　。

　答案 (1)m 2 v 22（M＋m）

　2 μg

　(2)Mmv 22（M＋m）

　(3)Mv 22μ 0 g（M＋m）

　弹簧类模型 [要点归纳] 1.对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒。

　2.整个过程往往涉及到多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题。

　3.注意：弹簧压缩最短时，或弹簧拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大。

　[精典示例]

　[例 5] 如图 5 所示，物体 A、B 的质量分别是 m A ＝4.0 kg、m B ＝6.0 kg，用轻弹簧相连接放在光滑的水平面上，物体 B 左侧与竖直墙相接触。另有一个质量为m C ＝2.0 kg 物体 C 以速度 v 0 向左运动，与物体 A 相碰，碰后立即与 A 粘在一起不再分开，然后以 v＝2.0 m/s 的共同速度压缩弹簧，试求：

　图 5 (1)物体 C 的初速度 v 0 为多大？ (2)在 B 离开墙壁之后，弹簧的最大弹性势能。

　解析 (1)A、C 在碰撞过程中，选择向左为正方向，由动量守恒可知 m C v 0 ＝(m A＋m C )v，代入数据解得：v 0 ＝6 m/s (2)B 刚要离开墙壁时，弹簧处于原长，由能量守恒定律知，AC 的速度为 v，方向向右。

　当 A、B、C 获得相同速度时，弹簧的弹性势能最大，选择向右为正方向，由动量守恒，得 (m A ＋m C )v＝(m A ＋m B ＋m C )v′ 代入数据解得 v′＝1 m/s 由系统机械能守恒得：弹簧的最大弹性势能 E p ＝ 12 (m A ＋m C )v2 － 12 (m A ＋m B ＋m C )v′2 ＝6 J 答案 (1)6 m/s (2)6 J

　[例 6] 两物块 A、B 用轻弹簧相连，质量均为 2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以 v＝6 m/s 的速度在光滑的水平地面上运动，质量为 4 kg 的物块 C 静止在前方，如图 6 所示。B 与 C 碰撞后二者会粘在一起运动。求在以后的运动中：

　图 6 (1)当弹簧的弹性势能最大时，物块 A 的速度为多大？ (2)系统中弹性势能的最大值是多少？ 解析 (1)当 A、B、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大。由

　A、B、

　C三者组成的系统动量守恒得：

　(m A ＋m B )v＝(m A ＋m B ＋m C )v ABC

　解得 v ABC ＝ （2＋2）×62＋2＋4 m/s＝3 m/s。

　(2)B、C 碰撞时 B、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间 B、C 两者速度为 v BC ，则 m B v＝(m B ＋m C )v BC 得 v BC ＝ 2×62＋4

　m/s＝2 m/s 物块 A、B、C 速度相同时弹簧的弹性势能最大为 E p

　根据能量守恒定律，则 E p ＝ 12 (m B ＋m C )v2BC ＋ 12 m A v2 － 12 (m A ＋m B ＋m C )v2ABC ＝ 12 ×(2＋4)×2 2

　J＋ 12 ×2×62

　J－ 12 ×(2＋2＋4)×32

　J＝12 J。

　答案 (1)3 m/s (2)12 J

　1.(弹簧类模型)(多选)如图 7 所示，三小球 a、b、c 的质量都是 m，放于光滑的水平面上，小球 b、c 与轻弹簧相连且静止，小球 a 以速度 v 0 冲向小球 b，碰后与小球 b 黏在一起运动。在整个运动过程中，下列说法中正确的是(

　)

　图 7 A.三球与弹簧组成的系统总动量守恒，总机械能不守恒

　B.三球与弹簧组成的系统总动量守恒，总机械能也守恒 C.当小球 b、c 速度相等时，弹簧弹性势能最大 D.当弹簧恢复原长时，小球 c 的动能一定最大，小球 b 的动能一定不为零 解析 在整个运动过程中，系统受到的合外力为零，系统的总动量守恒，a 与 b碰撞过程机械能减小，故 A 正确，B 错误；a 与 b 碰撞后，弹簧被压缩，弹簧对b 产生向左的弹力，对 c 产生向右的弹力，ab 做减速运动，c 做加速运动，当 c的速度大于 ab 的速度后，弹簧压缩量减小，则当小球 b、c 速度相等时，弹簧压缩量最大，弹性势能最大，故 C 正确；当弹簧恢复原长时，小球 c 的动能一定最大，根据动量守恒和机械能守恒分析可知，小球 b 的动能不为零，故 D 正确。

　答案 ACD 2.(子弹打木块类模型) (多选)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为 m 的子弹以速度 v 水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射进一半厚度，如图 8 所示，上述两种情况相比较(

　)

　图 8 A.子弹对滑块做功一样多 B.子弹对滑块做的功不一样多 C.系统产生的热量一样多 D.系统产生的热量不一样多 解析 两次都没射出，则子弹与滑块最终达到共同速度，设为 v 共 ，由动量守恒定律可得 mv＝(M＋m)v 共 ，得 v 共 ＝mM＋m

　v；子弹对滑块所做的功等于滑块获得的动能，故选项 A 正确；系统损失的机械能转化为热能，故选项 C 正确。

　答案 AC 3.(滑块—木板类模型)如图 9 所示，一质量 M＝6 kg 的平板小车在光滑的水平面上以 v 0 ＝2 m/s 的速度做匀速直线运动，将一个质量 m＝2 kg 的物块(可视为质点)无初速度地放在小车中央，最终物块停在小车上的某位置。已知物块与小车之间的动摩擦因数 μ ＝0.2，取 g＝10 m/s 2 。求物块与小车因摩擦产生的内能 Q 和小车的

　最小长度 L。

　图 9 解析 (1)物块相对小车静止时，二者有共同速度为 v 1 ，由动量守恒定律得：Mv 0＝(M＋m)v 1

　得：v 1 ＝MM＋m

　v 0 ＝66＋2 ×2 m/s＝1.5 m/s。

　由功能关系得：Q＝ 12 ×Mv20 － 12 ×(M＋m)v21

　代入数据得：Q＝3 J 设物块相对小车的位移为 x，则由功能关系：μmgx＝Q 得：x＝0.75 m，因为开始物块放在小车中央，故平板小车的最小长度 L＝1.5 m。

　答案 3 J 1.5 m 4.(滑块—木块类模型)如图 10 所示，固定在水平地面上的光滑圆弧面与质量为 6 kg 的小车 C 的上表面平滑相接，在圆弧面上有一个质量为 2 kg 的滑块 A，在小车 C 的左端有一个质量为 2 kg 的滑块 B，滑块 A 与 B 均可看做质点。现使滑块 A从距小车的上表面高 h＝1.25 m 处由静止下滑，与 B 碰撞后瞬间粘合在一起共同运动，最终没有从小车 C 上滑出。已知滑块 A、B 与小车 C 的动摩擦因数均为 μ＝0.5，小车 C 与水平地面的摩擦忽略不计，取 g＝10 m/s 2 。求：

　图 10

　(1)滑块 A 与 B 碰撞后瞬间的共同速度的大小； (2)小车 C 上表面的最短长度。

　解析 (1)设滑块 A 滑到圆弧末端时的速度大小为 v 1 ，由机械能守恒定律得：m A gh＝ 12 m A v21 ① 代入数据解得 v 1 ＝ 2gh＝5 m/s② 设 A、B 碰后瞬间的共同速度为 v 2 ，滑块 A 与 B 碰撞瞬间与车 C 无关，滑块 A 与B 组成的系统动量守恒，

　m A v 1 ＝(m A ＋m B )v 2 ③ 代入数据解得 v 2 ＝2.5 m/s④ (2)设小车 C 上表面的最短长度为 L，滑块 A 与 B 最终没有从小车 C 上滑出，三者最终速度相同设为 v 3 ， 根据动量守恒定律有(m A ＋m B )v 2 ＝(m A ＋m B ＋m C )v 3 ⑤ 根据能量守恒定律有 μ(m A ＋m B )gL＝ 12 (m A ＋m B )v22 － 12 (m A ＋m B ＋m C )v23 ⑥ 联立⑤⑥式代入数据解得 L＝0.375 m。⑦ 答案 (1)2.5 m/s (2)0.375 m 5.(弹簧类模型)如图 11 所示，三个小木块 A、B、C 静止在足够长的光滑水平轨道上，质量分别为 m A ＝0.1 kg，m B ＝0.1 kg，m C ＝0.3 kg，其中 B 与 C 用一个轻弹簧固定连接，开始时整个装置处于静止状态；A 和 B 之间有少许塑胶炸药(质量不计)，现引爆塑胶炸药，若炸药爆炸产生的能量有 E＝0.4 J 转化为 A 和 B 沿轨道方向的动能。

　图 11

　(1)求爆炸后瞬间 A、B 的速度大小； (2)求弹簧弹性势能的最大值。

　解析 (1)塑胶炸药爆炸瞬间取 A 和 B 为研究对象，假设爆炸后瞬间 A、B 的速度大小分别为 v A 、v B ，取向右为正方向 由动量守恒－m A v A ＋m B v B ＝0 爆炸产生的能量有 0.4 J 转化为 A、B 的动能 E＝ 12 m A v2A ＋ 12 m B v2B

　解得 v A ＝v B ＝2 m/s (2)取 B、C 和弹簧为研究系统，当弹簧第一次被压缩到最短时，B、C 达到共同速度 v BC ，此时弹簧的弹性势能最大，设为 E p1

　由动量守恒 m B v B ＝(m B ＋m C )v BC

　由能量守恒定律 12 m B v2B ＝ 12 (m B ＋m C )v2BC ＋E p1

　解得 E p1 ＝0.15 J 答案 (1)大小均为 2 m/s (2)0.15 J

　1.质量相同的 A、B 两木块从同一高度自由下落，当 A 木块落至某一位置时被水平飞来的子弹很快的击中(设子弹未穿出)，则 A、B 两木块在空中的运动时间 t a 、t b 的关系是(

　) A.t a ＝t b

　B.t a >t b

　C.t a <t b

　D.无法比较 解析 木块 B 做自由落体运动，木块 A 被子弹击中瞬间，系统在竖直方向上动量守恒 Mv＝(m＋M)v′，竖直方向速度减小，所以 t a >t b 。

　答案 B 2.质量相等的三个物块在一光滑水平面上排成一直线，且彼此隔开一定距离，如图 1 所示，具有初动能 E 0 的第 1 个物块向右运动，依次与其余两个静止物块发生碰撞，最后这三个物块粘在一起，这个整体的动能为(

　)

　图 1 A.E 0

　B. 2E03

　 C. E03

　 D. E09 解析 碰撞过程动量守恒 mv 0 ＝3mv 1 ，解得 v 1 ＝ v03① E 0 ＝ 12 mv20 ② E k ′＝ 12 ×3mv21 ③ 由①②③得 E k ′＝ E03。

　答案 C 3.如图 2 所示，位于光滑水平桌面上的小滑块 P 和 Q 质量相等，都可视作质点。Q 与轻质弹簧相连。设 Q 静止，P 以某一初速度向 Q 运动并与弹簧发生碰撞。在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于(

　)

　 图 2 A.P 的初动能

　 B.P 的初动能的 12

　C.P 的初动能的 13

　D.P 的初动能的 14

　解析 把小滑块 P 和 Q 以及弹簧看成一个系统，系统的动量守恒。在整个碰撞过程中，当小滑块 P 和 Q 的速度相等时，弹簧的弹性势能最大。设小滑块 P 的初速度为 v 0 ，两滑块的质量均为 m，则 mv 0 ＝2mv，v＝ v02，所以弹簧具有的最大弹性势能 E p ＝ 12 mv20 － 12 ×2mv2 ＝ 14 mv20 ＝ 12 E k0 ，故选项 B 正确。

　答案 B 4.如图 3 所示，质量为 M、长为 L 的长木板放在光滑水平面上，一个质量也为 M的物块(视为质点)以一定的初速度从左端冲上长木板，如果长木板是固定的，物块恰好停在长木板的右端，如果长木板不固定，则物块冲上长木板后在木板上最多能滑行的距离为(

　)

　图 3 A.L

　 B. 3L4

　 C. L4

　D. L2

　解析 长木板固定时，由动能定理得 μMgL＝ 12 Mv20 ，若长木板不固定有 Mv 0 ＝2Mv，μMgs＝ 12 Mv20 － 12 ×2Mv2 ，得 s＝ L2 ，选项 D 正确，A、B、C 错误。

　答案 D 5.如图 4 所示，在光滑水平面上，有一质量为 M＝3 kg 的薄板和质量 m＝1 kg 的物块，都以 v＝4 m/s 的初速度朝相反方向运动，它们之间有摩擦，薄板足够长，当薄板的速度为 2.7 m/s 时，物块的运动情况是(

　)

　图 4 A.做减速运动

　 B.做加速运动 C.做匀速运动

　 D.以上运动都有可能 解析 开始阶段，m 向左减速，M 向右减速，当 m 的速度为零时，设此时 M 的速度为 v 1 。规定向右为正方向，根据动量守恒定律得：(M－m)v＝Mv 1 ，代入数据解得：v 1 ≈2.67 m/s<2.7 m/s，所以 m 处于向左减速过程中。

　答案 A 6.如图 5 所示，静止在光滑水平面上的木板 A，右端有一根轻质弹簧沿水平方向与木板相连，木板质量 M＝3 kg。质量 m＝1 kg 的铁块 B 以水平速度 v 0 ＝4 m/s从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧后又被弹回，最后恰好停在木板的左端。在上述过程中弹簧具有的最大弹性势能为(

　)

　图 5 A.3 J

　 B.4 J

　 C.6 J

　 D.20 J 解析 设铁块与木板共速时速度大小为 v，铁块相对木板向右运动的最大距离为L，铁块与木板之间的摩擦力大小为 f。铁块压缩弹簧使弹簧最短时，由能量守恒可得 12 mv20 ＝f L＋ 12 (M＋m)v2 ＋E p 。由动量守恒，得 mv 0 ＝(M＋m)v。从铁块开始运动到最后停在木板左端过程，由能量关系得 12 mv20 ＝2f L＋ 12 (M＋m)v2 。联立解得E p ＝3 J，故选项 A 正确。

　答案 A 7.如图 6 所示，A、B 两个木块用轻弹簧相连接，它们静止在光滑水平面上，A 和B 的质量分别是 99m 和 100m，一颗质量为 m 的子弹以速度 v 0 水平射入木块 A 内没有穿出，则在以后的过程中弹簧弹性势能的最大值为(

　)

　图 6 A. 错误! !

　B. 错误! !

　C. 错误! !

　D. 错误! !

　解析 子弹射入木块 A，根据动量守恒有 mv 0 ＝100mv 1 ＝200mv 2 ，则 v 1 ＝v 0100 ，v 2＝v 0200 ，弹性势能的最大值 E p ＝12 ×100mv21 － 12 ×200mv22 ＝ 错误! ! 。

　答案 A 8.(多选)质量为 M、内壁间距为 L 的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为 m 的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为 μ。初始时小物块停在箱子正中间，如图 7 所示。现给小物块一水平向右的初速度 v，小物块与箱壁碰撞 N 次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持相对静止。设碰撞都是弹性碰撞，则整个过程中，系统损失的动能为(

　)

　图 7 A. 12 mv2

　B.mM2（m＋M）

　v2

　C. 12 NμmgL

　 D.NμmgL 解析 根据动量守恒，小物块和箱子的共同速度 v′＝mvM＋m ，损失的动能 ΔE k ＝12mv 2 － 12 (M＋m)v′2 ＝mM2（m＋M）

　v2 ，所以 B 正确；根据能量守恒，系统损失的动能等于因摩擦产生的热量，而计算热量的方法是摩擦力乘以相对路程，所以 ΔE k＝NF f L＝NμmgL，所以选项 D 正确。

　答案 BD 9.如图 8 所示，子弹水平射入放在光滑水平地面上静止木块，子弹未穿透木块，此过程木块的动能增加了 6 J，那么此过程产生的内能可能为(

　)

　图 8 A.16 J

　 B.2 J

　 C.6 J

　 D.4 J 解析 设子弹的质量为 m 0 ，初速度为 v 0 ，木块的质量为 m，则子弹打入木块的过程中，子弹与木块组成的系统动量守恒，即 m 0 v 0 ＝(m＋m 0 )v，此过程产生的内能

　等于系统损失的动能，即 ΔE＝ 12 m 0 v20 － 12 (m＋m 0 )v2 ，而木块获得的动能 E k木 ＝ 12 mv2＝6 J，两式相除得 ΔEE k 木 ＝m＋m 0m 0＞1，即 E＞6 J，A 项正确。

　答案 A 10.(多选)如图 9 所示，轻质弹簧的一端固定在墙上，另一端与质量为 m 的物体 A相连，A 放在光滑水平面上，有一质量与 A 相同的物体 B，从离水平面高 h 处由静止开始沿光滑曲面滑下，与 A 相碰后一起将弹簧压缩，弹簧复原过程中某时刻B 与 A 分开且沿原曲面上升。下列说法正确的是(

　)

　图 9 A.弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为 mgh B.弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为 mgh2 C.B 与 A 分开后能达到的最大高度为 h4

　D.B 与 A 分开后能达到的最大高度不能计算 解析 根据机械能守恒定律可得 B 刚到达水平面的速度 v 0 ＝ 2gh，根据动量守恒定律可得 A 与 B 碰撞后的速度为 v＝ 12 v 0 ，所以弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为 E pm ＝ 12 ·2mv2 ＝ 12 mgh，即选项 A 错误，B 正确；当弹簧再次恢复原长时，A与 B 分开，B 以大小为 v 的速度向左沿曲面上滑，根据机械能守恒定律可得 mgh′＝ 12 mv2 ，B 能达到的最大高度为 h′＝ 14 h，即选项 C 正确，D 错误。

　答案 BC 11.如图 10 所示，在光滑的水平面上放着一个质量为 M＝0.39 kg 的木块(可视质点)，在木块正上方有一个固定悬点 O，在悬点 O 和木块之间连接一根长度为 0.4 m 的轻绳(轻绳不可伸长且刚好被拉直)。有一颗质量为 m＝0.01 kg 的子弹以水平速度 v 0 射入木块并留在其中(作用时间极短)，g 取 10 m/s 2 ，要使木块能绕 O 点在竖直平面内做圆周运动，求：子弹射入的最小速度。

　 图 10 解析 当木块恰好能绕 O 点在竖直平面内做圆周运动时，在最高点重力提供向心力， 由牛顿第二定律得：(M＋m)g＝(M＋m) 错误! !

　解得：v 1 ＝2 m/s， 从最低点到最高点过程系统机械能守恒，由机械能守恒得：

　12 (M＋m)v2 ＝ 12 (M＋m)v21 ＋(M＋m)g·2L 解得：v＝2 5 m/s， 子弹射入木块过程系统动量守恒，以向右为正方向， 由动量守恒定律得：mv 0 ＝(M＋m)v 解得：v 0 ＝80 5 m/s。

　答案 80 5 m/s 12.如图 11 所示，半径分别为 R 和 r(R>r)的甲、乙两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道 CD 相连，在水平轨道 CD 上一轻弹簧被 a、b 两小球夹住(未拴接)，同时释放两小球，a、b 球恰好能通过各自的圆轨道的最高点。

　图 11 (1)求两小球的质量比； (2)若 m a ＝m b ＝m，要求 a、b 都能通过各自的最高点，弹簧释放前至少具有多少弹性势能？ 解析 (1)a、b球恰好能通过各自圆轨道的最高点的速度分别为v a ′＝ gR，v b ′＝ gr

　由动量守恒定律得 m a v a ＝m b v b

　由机械能守恒定律得 12 m a v2a ＝ 12 m a v a ′2 ＋m a g·2R 12 m b v2b ＝ 12 m b v b ′2 ＋m b g·2r 联立得 mam b ＝rR

　(2)若 m a ＝m b ＝m，由动量守恒定律得 v a ＝v b ＝v 当 a 球恰好能通过圆轨道的最高点时，弹簧具有的弹性势能最小，E p ＝12 mv a ′2 ＋mg·2R ×2＝5mgR 答案 (1)rR

　(2)5mgR 13.如图 12 所示，物体 A 置于静止在光滑水平面上的平板小车 B 的左端，在 A 的上方 O 点用细线悬挂一小球 C(可视为质点)，线长 L＝0.8 m。现将小球 C 拉至水平无初速度释放，并在最低点与 A 物体发生水平正碰，碰撞后小球 C 反弹的最大高度为 h＝0.2 m。已知 A、B、C 的质量分别为 m A ＝4 kg、m B ＝8 kg 和 m C ＝1 kg，A、B 间的动摩擦因数 μ＝0.2，A、C 碰撞时间极短，且只碰一次，取重力加速度g＝10 m/s 2 。

　图 12

　(1)求小球 C 与物体 A 碰撞前瞬间受到细线的拉力大小； (2)求 A、C 碰撞后瞬间 A 的速度大小； (3)若物体 A 未从小车 B 上掉落，小车 B 的最小长度为多少？ 解析 (1)小球碰撞前在竖直平面内做圆周运动 根据机械能守恒定律，得 m C

　gL＝ 12 m C v20

　由牛顿第二定律，得 F－m C g＝ 错误! !

　解得 v 0 ＝4 m/s，F＝30 N (2)设 A、C 碰撞后的速度大小分别为 v A 、v C ，v 0 的方向为正方向

　由机械能守恒和动量守恒，得 m C gh＝ 12 m C v2C

　m C v 0 ＝m A v A －m C v C

　解得 v C ＝2 m/s，v A ＝1.5 m/s (3)设 A 在 B 上相对滑动的最终速度为 v，相对位移为 x， 由动量守恒和能量守恒，得 m A v A ＝(m A ＋m B )v μm A gx＝ 12 m A v2A － 12 (m A ＋m B )v2 ，解得 x＝0.375 m 要使 A 不从 B 车上滑下，小车的最小长度为 0.375 m(或 38

　m) 答案 (1)30 N (2)1.5 m/s (3)0.375 m(或 38

　m)