6.3,平面向量基本定理及坐标表示(解析版)
6.3 平面向量的基本定理及坐标表示
1. 对基底概念的理解;2. 用基底表示平面向量;3.求两向量的夹角;4.利用正交分解求向量的坐标;5.向量的坐标运算;6.向量共线条件的坐标表示;7.三点共线问题;8. 用向量法解几何问题;9. 数量积的坐标表示;10. 利用向量的坐标解决有关模、夹角问题;11. 利用坐标解决向量的夹角问题;12.利用平行、垂直求参数;13. 利用向量的数量积判断几何图形的形状;14. 用向量法解几何问题.
一、单选题 1.(2020·湖北黄冈·期末)已知向量 2 a x , , 2 13 b x , ,若 ab ,则 x (
)
A.12 B. 2
C.1 D.2 【答案】B 【解析】
//2 122 3x xa b a b x
故选:B 2.(2020·山东省泰安第二中学月考)己知向量 1,2 OA , 3, OB m .若 OA AB ,则 m的值为(
) A.32 B.4 C.-32 D.-4 【答案】B 【解析】
依题意 4, 2 AB m ,由于 OAAB ,所以 1,2 4, 2 4 2 4 0 m m ,解得 4 m . 故选 B. 3.(2020·威海市教育教学研究中心期末)已知向量 ( 1,2), (2, ) a b m ,且/ / a b ,则 m (
)
A. 1
B. 1
C. 4
D. 4
【答案】D
【解析】
∵向量 ( 1,2) a , (2, ) b m ,且/ / a b , ∴ 1 2 20 m ,解得:
4 m , 故选:D. 4.(2020·荣成市教育教学研究培训中心期中)已知向量 2,2 AB , ,1 AC t ,若2 AB BC ,则 t (
)
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
【答案】B 【解析】
根据题意得:
,1 2,2 2, 1 BC AC AB t t , 所以 2 2 2 1 2 4 2 2 AB BC t t ,解得 4 t . 故选:B. 5.(2020·临猗县临晋中学高一月考)已知在 ABC 中,2 CD BD ,且 , AD xAB yAC x y R ,则 xy 的值为(
)
A.12 B.12
C.13 D.13
【答案】C 【解析】
因为在 ABC 中,2 CD BD , 所以 2 AD AC AD AB , 整理得:
32 AD AC AB ,即2 13 3AD AB AC uuur uuur uuur, 又 , AD xAB yAC x y R ,所以23x ,13y , 因此13x y . 故选:C. 6.(2020·山西运城·月考)如图,在 ABC 中,32AC AD ,3 PD BP ,若 AP AB AC ,则 的值为(
)
A.89 B.34 C.1112 D.79 【答案】C 【解析】
由图可得1 1 3 1( )4 4 4 4AP AB BP AB BD AB AD AB AB AD
3 1 2 3 14 4 3 4 6AB AC AB AC , 所以34 ,16 , 则3 1 114 6 12 , 故选:
C . 7.(2020·福建其他(文))已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 M 满足12DM MC ,设 AM 与 BD 交于点G ,则 AG AC (
)
A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】
以 A 为原点, AB 和 AD 分别为 x 和 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则(0,0) A,(1,0) B, (1,1) C , (0,1) D , 12DM MC , M 为线段 CD 的靠近点 D 的三等分点,1( ,1)3M ,
直线 BD 的方程为:
1 y x ;直线 AM 的方程为:
3 y x , 联立13y xy x ,解得1434xy , 点1 3( , )4 4G . 1 3 1 3( , ) (1,1) 1 1 14 4 4 4AG AC . 故选:A. 8.(2020·广东中山·期末)已知菱形 ABCD 的边长为 4, 60 ABC , E 是 BC 的中点2 DF AF ,则 AE BF (
)
A.24 B. 7
C. 10
D. 12
【答案】D 【解析】
由已知得13AF AD ,12BE BC , ADBC ,所以1 12 2AE AB BC AB AD ,13BF AF AB AD AB . 因为在菱形 ABCD 中, 60 ABC ,所以 120 BAD .又因为菱形 ABCD 的边长为 4,所以1| | | |cos120 4 4 82AB AD AB AD ,所以1 12 3AE BF AB AD AB AD 2 21 1 1 1| | | | 16 ( 8) 16 126 6 6 6AB AB AD AD . 故选:D 9.(2020·湖北武汉·其他(理))如图,在△ ABC 中,π3BAC ,2 AD DB , P 为 CD 上一点,且满足 12AP mAC AB m R ,若 3 AC , 4 AB ,则 AP CD的值为(
).
A. 3
B.1312
C.1312 D.112
【答案】C 【解析】
∵ 12AP mAC AB m R ,2 AD DB ,即23AD AB 且2 13 3CD CB CA
∴ 34AP mAC AD m R ,又 C、P、D共线,有314m ,即14m
即1 14 2AP AC AB ,而 CBCA AB ∴2 1 2 2( )3 3 3 3CD CA AB CA CA AB AB AC
∴ AP CD=2 21 1 2 1 1 1 16 9 13( )( ) 24 2 3 3 3 4 3 4 12AC AB AB AC AB AB AC AC
故选:C 10.(2020·株洲市九方中学月考)在 ABC 中,点 D 在线段 BC 上,且满足13BD DC ,过点 D 的直线分别交直线 AB 、 AC 于不同的两点 M 、 N ,若 AMmAB , ANnAC ,则(
) A. 3 n m 是定值,定值为 4 B. 2 n m 是定值,定值为 3 C.3 1m n 是定值,定值为 4 D.2 1m n 是定值,定值为 3 【答案】C 【解析】
因为13BD DC ,所以1 13 3AD AB AC AD ,即3 14 4AD AB AC , 依题意设 MDtDN ,则 ADAM tAN tAD , 则11 1tAD AM ANt t ,又 AMmAB , ANnAC , 所以1 1m tnAD AB ACt t , 根据平面向量基本定理可得31 411 4mttnt ,消去 t 可得 3 4 m n mn ,即1 34n m . 故选:C 二、多选题
11.(2020·海南高三其他)已知正方形 ABCD 的边长为 2 ,向量 a , b 满足2 AB a ,2 AD a b uuur rr,则(
)
A. | | 2 2 b
B. ab C. 2 a b ?
D. (4) a b b r rr 【答案】AD 【解析】
由条件可 bAD AB BD uuur uuur uuur r,所以 || | | 2 2 b BD uuur r,A正确; 12a AB ,与 BD 不垂直,B 错误; 122a b AB BD uuur uuur rr,C 错误; 4a b AB AD AC uuur uuur uuur rr,根据正方形的性质有 ACBD ,所以 (4) a b b r rr,D正确. 故选: AD 12.(2020·湖北黄冈·期末)在△ABC 中,点 E,F 分别是边 BC和 AC 上的中点,P 是 AE 与 BF 的交点,则有(
)
A.1 12 2AE AB AC
B.2 AB EF C.1 13 3CP CA CB
D.2 23 3CP CA CB
【答案】AC 【解析】
如图:
根据三角形中线性质和平行四边形法则知, 1 1 1( ) ( )2 2 2AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB , A是正确的; 因为 EF 是中位线,所以 B 是正确的;
根据三角形重心性质知,CP=2PG,所以2 2 1 13 3 2 3CP CG CA CB CA CB ,所以 C 是正确的,D错误. 故选:AC 13.(2020·全国高三其他)已知 (2,4), (4,1), (9,5), (7,8) A B C D ,如下四个结论正确的是(
)
A. ABAC ; B.四边形 ABCD 为平行四边形; C. AC 与 BD 夹角的余弦值为7 29145; D.85 AB AC
【答案】BD 【解析】
由 (2,4), (4,1), (9,5), (7,8) A B C D , 所以 2, 3 AB uuur, 7,1 AC uuur, 2, 3 DC uuur, 3,7 BD uuur, 对于 A,14 3 11 0 AB AC ,故 A错误; 对于 B,由 2, 3 AB uuur, 2, 3 DC uuur,则 ABDC , 即 AB 与 DC 平行且相等,故 B 正确;
对于 C,21 7 14 29cos ,145 50 9 49AC BDAC BDAC BD ,故 C 错误; 对于 D, | | 9, 2 85 AB AC ,故 D正确; 故选:BD 14.(2020·山东诸城·高一期中)已知 1 a , 3,4 b ,则以下结论正确的是(
)
A.若// a br r,则 6 a b r r B.若 ab ,则 ab a b
C.若// a br r,则3 4,5 5a D. a b r r的最小值为 4
【答案】BD 【解析】
3,4 b ,则2 23 4 5 b .
对于 A选项,若// a br r,则 a b a b ,所以, 6 a b r r或 4 a b ,A选项错误; 对于 B 选项,若 ab ,则0 a b , 2 22 2 2 22 a b a b a a b b a b , 2 22 2 2 22 a b a b a a b b a b ,则2 2a b a b ,a b a b , B 选项正确; 对于 C 选项,若// a br r,且 1 a ,则bab ,3 4,5 5a 或3 4,5 5a ,C 选项错误; 对于 D选项,由向量模的三角不等式可得 4 a b a b ,D选项正确. 故选:BD. 三、填空题 15.(2019·辽宁辽阳·月考(理))在同一个平面内,向量 , , OA OB OC 的模分别为 1,1, 2,OA 与 OC 的夹角为 ,且 tan 7,OB 与 OC 的夹角为 45 ,若 , OC mOA nOB m n R ,则 m n _________.
【答案】
3
【解析】
以 OA 为 x 轴,建立直角坐标系,则 ( ) 1,0 A ,由 OC 的模为2 与 OA 与 OC 的夹角为 ,且 tan7 知,2 7 2cos ,10 10sin ,可得1 7, ,5 5C cos 45 , 45 B sin ,3 4,5 5B ,由OC mOA nOB 可得1 31 7 3 45 5, , ,7 4 5 5 5 55 5m nm n nn 5 7,4 4m n , 3 m n ,故答案为 3 . 16.(2020·山西三模(理))如图,在△ ABC 中, 2 AD DC ,点 P 是线段 BD 上的一个动点.AP mAB nAC ,则 m , n 满足的等式是___________.
【答案】
2 3 2 m n
【解析】
∵2 AD DC uuur uuur,有32AC AD
又 APmAB nAC ,即32AP mAB nAD
∵B、P、D三点共线 ∴312m n ,即 2 3 2 m n
故答案为:
2 3 2 m n
17.(2020·山西其他(理))已知向量 2,3 a , 1, b m ,且 2 a a b ,则 m ______. 【答案】283 【解析】
∵ 2,3 a , 1, b m , ∴ 2 5,6 a b m , ∵ 2 a a b
∴ 2 2,3 5,6 10 3 6 0 a a b m m , 解得283m
故答案为:283 四、双空题 18.(2020·浙江衢州·高二期末)已知向量 (3, 2), ( ,6) a b m ,若/ / a b ,则 m=________;若 a b ,则 m=________ 【答案】
9
4
【解析】
因为/ / a b ,所以 3 6( 2) 0, 9 m m . 因为 ab ,所以 3 ( 2) 6 0, 4 m m . 故答案为:
9;4.
19.(2020·浙江金华·高一期末)在 ABC 中, AB AC ,点 D是 BC 的中点,点 O是 AD 的中点,若BO AB AC ,则 ___________;若 BOAC ,则 cos A _____________. 【答案】12
13
【解析】
因为, BOBA AO , 12AD AB AC ,12AO AD
所以1 3 1( )4 4 4BO BA AO AB AB AC AB AC ,即得12 ; 因为 BOAC , 所以2 3 1 3 14 4 4 4BO AC AB AC AC AB AC AC , 即2 23 1cos 04 4AC A AC ,解得1cos3A . 故答案为:12 ;13. 20.(2020·河南濮阳·高一期末(文))已知点 (2,0) A , (1,2) B ,(2,2) C, AP AB AC , O 为坐标原点,则 AP =______, OP 与 OA 夹角的取值范围是______. 【答案】1
06,
【解析】
由题意可得 1,0 AB AC CB , 所以 1 AP AB AC CB ; 则点 P 在以 (2,0) A 为圆心,1 为半径的圆上,如图:
由图可知,当 OP 与 OA 夹角最小值为 0, 当直线 OP 与圆 A 相切时, OP 与 OA 夹角取最大值,连接 AP , 易得 POA 为锐角且1sin2APPOAOA , 所以6POA , 所以此时 OP 与 OA 夹角的取值范围是 06, . 故答案为:
1 ; 06, . 21.(2020·北京平谷·高三二模)如图,矩形 ABCD 中, 2 AB , 1 BC , O 为 AB 的中点. 当点 P 在 BC边上时, AB OP的值为________;当点 P 沿着 BC , CD 与 DA 边运动时, AB OP的最小值为_________.
【答案】
2
2
【解析】
以 A 为原点建立平面直角坐标系,
则 A(0,0),O(1,0),B(2,0),设 P(2,b), (1)
AB OP = 2,0 2 ( )(1,b)= ; (2)当点 P 在 BC 上时, AB OP =2; 当点 P 在 AD 上时,设 P(0,b), AB OP =(2,0)(-1,b)=-2; 当点 P 在 CD 上时,设点 P( a ,1)(0< a <2)
AB OP =(2,0)( a -1,1)=2 a -2, 因为 0< a <2,所以,-2<2 a -2<2,即 ( 2,2) AB OP
综上可知, AB OP 的最小值为-2. 故答案为-2. 五、解答题 22.(2020·孝义市第二中学校期末)已知向量 1, 1 a , 2, 3 b
(1)若2 3 c a b ,求 c 的坐标; (2)若2 a b 与 a 垂直,求 的值. 【答案】(1)
8, 7 ;(2)
1
【解析】
(1)2 3 c a b 2 1,1 3 2, 3 2,2 6, 9 8, 7 . (2)
2 1,1 2 2, 3 a b , 4, 6 4, 6
2 a b 与 a 垂直, 2 0 a b a ,即 4, 6 1,1 0 , ∴ 4 6 0 2 2 0 1 . 23.(2020·湖南益阳·期中)已知 3,1 , 1, 2 , 1,1 . a b c
(1)求 a 与 b 的夹角的大小;
(2)若 / / c akb ,求 k 的值. 【答案】(1)34
(2)43k
【解析】
(1)设 a 与b 的夹角为
,因为3 2 2cos2 10 5a ba b ,
所以,34 . ( 2 )
3 ,1 2 , a kb k k 因为 / / c a kb ,即1 2 3 0 k k
, 解得43k . 24.(2020·四川广元·期末)已知向量 , , a b c 是同一平面的三个向量,其中 1, 1 a . (1)若 3 2 c ,且 a 与 c 的方向相反,求 c 的坐标; (2)若 b 是单位向量,且 2 a a b ,求 a 与 b 的夹角 . 【答案】(1)
( 3,3) c ;(2)4 【解析】
(1)设 , , 0 r rc a , 2 =3 2 =-3 , rc
( 3,3) rc (2)
=1 b , 22 ( 2 ) 0 2 cos 0 r r r r r r r r ra a b a a b a a b
22-2 2cos 0 cos2 4 25.(2020·山西运城·月考)已知 1,cos a x ,1,sin3b x , 0, x . (1)若// a br r,求sin coscos sinx xx x的值; (2)若 a b ,求 cos sin x x 的值. 【答案】(1)
2 ;(2)153. 【解析】
(1)
1,cos a x ,1,sin3b x ,且/ / a b ,1sin cos3x x ,1tan3x , 因此,sin cos tan 12cos sin 1 tanx x xx x x ; (2)
a b ,1sin cos 03x x ,1sin cos3x x , 0, x ,则 sin 0 x , cos 0 x ,所以, cos sin 0 x x , 2 5cos sin 1 2sin cos3x x x x ,因此,15cos sin3x x . 26.(2020·辽宁大连·高一期末)如图,平行四边形 ABCD 中,已知2 AE EB ,3 BF FC ,设 ABa ,AD b ,
(1)用向量 a 和 b 表示向量 DE , AF ; (2)若 DOxDE , AO yAF ,求实数 x 和 y的值. 【答案】(1)23DE a b ;34AF a b ;(2)2349xy . 【解析】
(1)2 23 3DE AE AD AB AD a b
3 34 4AF AB BF AB BC a b
(2)因为 3 24 3AD AO OD AO DO yAF xDE y a b x a b 2 33 4y x a y x b b .
即2 31 03 4y x a y x b 因为 a 与 b 不共线,从而20331 04y xy x ,解得2349xy 27.(2020·湖南娄星·娄底一中高一期末)如图,在平行四边形 ABCD 中, , E F 分别是 , BC DC 上的点,且满 , 2 BE EC DF FC ,记 ABa , ADb ,试以 , a b 为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题;
(1)用 , a b...
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【中国文学】 日期:2020-03-15
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小数乘法计算方法
小数乘法得计算方法理解小数乘法计算得法则,能够比较熟练得进行小数乘法笔算与简单得口算重点掌握小数乘法
【中国文学】 日期:2020-12-22
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【中国文学】 日期:2020-02-28
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【中国文学】 日期:2020-09-23
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【中国文学】 日期:2020-02-27
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清明节踏青简笔画【清明节踏青图片】
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【中国文学】 日期:2019-05-08
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实验一 静电场仿真 1 实验目的建立静电场中电场及电位空间分布的直观概念。 2 实验仪器计算机一台3
【中国文学】 日期:2020-08-26
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史玉柱,一个有着传奇和神话般经历的人,而且,这个传奇和神话正在续写。下面小编就为大家解开史玉柱创业故事,希望能帮到你。 史玉柱创业故事篇一 史玉柱的创业史可以分为...
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国家开放大学电大公文文体写作试题及答案
公文文体的写作(二)单元测试题 1 决定属于A.上行文B.下行文C.平行文D.既可上行也可下行 2
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山东省生产经营单位安全生产主体责任规定(2013年2月2日山东省人民政府令第260号公布根据2016
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实验一 直流激励时霍尔传感器位移特性实验一、实验目得:了解霍尔式传感器原理与应用。 二、基本原理:金
【外国名著】 日期:2020-11-09
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六年级下册《比例尺》单元测试题
一、填空题: 1、比例尺=( ):( ),比例尺实际上是一个( )。 2、一幅图的比例尺是。A、B两
【外国名著】 日期:2020-09-29
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人教版高一语文必背 人教版高一语文《老王》赏析
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【外国名著】 日期:2020-03-10
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中国的抗日名将是数不胜数,其中张灵甫大家了解多少呢?下面就随小编看看缅怀革命先烈的黑板报内容,希望喜欢哦。 缅怀革命先烈黑板报图片欣赏 缅怀革命先烈黑板报图片1...
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3 8妇女节送卡片表示感恩与祝福是在好不过了,小编整理了3 8妇女节手工制作感恩卡图片,希望大家喜欢! 3 8妇女节手工制作感恩卡图片展示 3 8妇女节手工制作感恩卡图...
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《中小学教师违反职业道德行为处理办法》实施细则本文关键词:实施细则,职业道德,中小学教师,违反,办法
【外国名著】 日期:2021-03-24
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金融术语中英文对照
ABS资产担保证券(AssetBackedSecurities的英文缩写) Acceleratedd
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梧桐花为梧桐科植物梧桐的花,植物形态详梧桐子条。今天小编为你整理了梧桐花的花语,欢迎阅读。 梧桐花的花语是:情窦初开 在春季里晚开的花朵,有着恬淡的气息。 ...
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今天小编就为你介绍关于大学生音乐欣赏论文,下面是!小编给你搜集了相关资料!希望可以能帮助到大家。 大学生音乐欣赏论文—第一篇 音乐是生活不可缺少的一部分,学会欣...
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这些惊悚故事在短短的篇幅和时间之内让您感受到故事里传达出来的恐怖感,令你感到害怕。下面就是小编给大家整理的令人惊悚的故事,希望对你有用! 令人惊悚的故事篇1:学校...
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西部计划笔试题库(99题含答案) 1 第十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》,自
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人工智能就是人造智能,其英文表示是“ArtificialIntelligence”,简称AI。以下是小编整理的人工智能对人类影响英文作文的相关资料,欢迎阅读! 人工智能对人类影响英文作文...
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“文言文”的意思就是指“美好的语言文章”也叫做语体文。文言文虚词于的用法有哪些呢?下面是小编整理的关于文言文虚词于的用法,欢迎阅读 文言文虚词于作为名词的用法 ...
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学生高考动员演讲稿3篇高考动员演讲稿11 老师们、同学们: 大家下午好!漫漫高考长征路已经进入尾声了
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最新企业安全的演讲稿5篇 演讲稿是作为在特定的情境中供口语表达使用的文稿。在充满活力,日益开放的今天
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XX镇扶贫项目实施专项整治工作总结 为深入贯彻精准扶贫精准脱贫基本方略,认真落实党中央、国务院,省委
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对乡镇领导班子干部成员的批评看法范文 一、对党委书记XXX同志的批评看法〔3条〕 1、与干部交流偏少
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群英乡扶贫资金项目((芬坡村祖埇村生产道路硬化工程))绩效自评报告 一、基本情况(一)群英乡扶贫资金
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党委书记在警示教育大会上的讲话55篇汇编 党委书记在警示教育大会上的讲话(一) 同志们: 根据省州委
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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关于12021年召开巡视整改专题民主生活会对照检查材料 按照中央巡视组要求和省、市、区委统一部署,区
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
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消防安全知识培训试题姓名: 部门班组: 成绩: 一:填空题,每空4分,共44分。 1、灭火剂是通过隔
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涉疫重点人员“五包一”居家隔离医学观察工作流程 目前,全球疫情仍处于大流行状
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疫情防控致全体师生员工及家长的一封信 各位师生员工及全体家长朋友: 暑假已至,近期我省部分地方发现确
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