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    第10讲,复数教师

    时间：2021-02-03 10:10:03 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

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    　 第十讲

    　复数 [玩前必备] 1．复数的有关概念 (1)定义：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a 叫做复数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：

    　满足条件(a，b 为实数) 复数的分类 a＋bi 为实数⇔b＝0 a＋bi 为虚数⇔b≠0 a＋bi 为纯虚数⇔a＝0 且 b≠0

    　(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)模：向量OZ→ 的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a 2 ＋b 2 (a，b∈R)． 2．复数的几何意义 复数 z＝a＋bi 与复平面内的点 Z(a，b)及平面向量OZ→ ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设 z 1 ＝a＋bi，z 2 ＝c＋di，a，b，c，d∈R.

    　(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形 OZ 1 ZZ 2 可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→ ＝OZ1→＋OZ 2→，Z 1 Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.

    　[玩转典例] 题型一

    　复数的概念及分类

    　 例 1 实数 x 分别取什么值时，复数 z＝ x2 －x－6x＋3＋(x 2 －2x－15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ [解] (1)当 x 满足  x 2 －2x－15＝0，x＋3≠0，即 x＝5 时，z 是实数． (2)当 x 满足  x 2 －2x－15≠0，x＋3≠0，即 x≠－3 且 x≠5 时，z 是虚数． (3)当 x 满足 x 2 －x－6x＋3＝0，x 2 －2x－15≠0，x＋3≠0，即 x＝－2 或 x＝3 时，z 是纯虚数． 例 2 (1)若 5－12i＝xi＋y(x，y∈R)，则 x＝________，y＝________. (2)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中 x，y∈R，i 为虚数单位．求实数 x，y 的值． [解析] (1)由复数相等的充要条件可知 x＝－12，y＝5. (2)根据复数相等的充要条件，由(2x－1)＋i＝y－(3－y)i， 得  2x－1＝y，1＝－3－y，解得 x＝ 52 ，y＝4，即 x＝ 52 ，y＝4. 答案：(1)－12 5 (2)x＝ 52 ，y＝4. [题型练透]

    　1.当 m 为何值时，复数 z＝m 2 (1＋i)－m(3＋i)－6i，m∈R，是实数？是虚数？是纯虚数？ 解：∵z＝(m 2 －3m)＋(m 2 －m－6)i， ∴(1)当 m 满足 m 2 －m－6＝0，即 m＝－2 或 m＝3 时，z 为实数． (2)当 m 满足 m 2 －m－6≠0，即 m≠－2 且 m≠3 时，z 为虚数． (3)当 m 满足  m 2 －3m＝0，m 2 －m－6≠0，即 m＝0 时，z 为纯虚数. 2.4－3a－a 2 i＝a 2 ＋4ai，则实数 a 的值为(

    　) A．1

    　 B．1 或－4 C．－4

    　D．0 或－4 解析：选 C 由题意知  4－3a＝a 2 ，－a 2 ＝4a，解得 a＝－4. 题型二

    　复数的几何意义 例 3

    　(1)已知平面直角坐标系中 O 是原点，向量 OA ， OB 对应的复数分别为 2－3i，－3＋2i，那么向量 BA对应的复数是(

    　) A．－5＋5i

    　B．5－5i

    　 C．5＋5i

    　 D．－5－5i (2)在复平面内，A，B，C 三点对应的复数分别为 1,2＋i，－1＋2i. ①求向量 AB ， AC ， BC 对应的复数； ②判定△ABC 的形状． [解析](1)选 B 向量 OA ， OB 对应的复数分别为 2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得向量 OA ＝(2，－3)， OB ＝(－3,2)． 由向量减法的坐标运算可得向量 BA ＝ OA － OB ＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量 BA 对应的复数是 5－5i. (2)①由复数的几何意义知：

    　OA ＝(1,0)， OB ＝(2,1)， OC ＝(－1,2)， ∴ AB ＝ OB － OA ＝(1,1)， AC ＝ OC － OA ＝(－2,2)， BC ＝ OC － OB ＝(－3,1)， ∴ AB ， AC ， BC 对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i. ②∵| AB |＝ 2，| AC |＝2 2，| BC |＝ 10，∴| AB | 2 ＋| AC | 2 ＝| BC | 2 ， ∴△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形． 例 4

    　 (1)若复数 z 对应的点在直线 y＝2x 上，且|z|＝ 5，则复数 z＝(

    　) A．1＋2i

    　B．－1－2i C．±1±2i

    　D．1＋2i 或－1－2i (2)设复数 z 1 ＝a＋2i，z 2 ＝－2＋i，且|z 1 |＜|z 2 |，则实数 a 的取值范围是(

    　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

    　 B．(－1,1) C．(1，＋∞)

    　D．(0，＋∞) [解析] (1)依题意可设复数 z＝a＋2ai(a∈R)， 由|z|＝ 5得 a 2 ＋4a 2 ＝ 5，解得 a＝±1，故 z＝1＋2i 或 z＝－1－2i. (2)因为|z 1 |＝ a 2 ＋4，|z 2 |＝ 4＋1＝ 5， 所以 a 2 ＋4＜ 5，即 a 2 ＋4＜5，所以 a 2 ＜1，即－1＜a＜1. [答案] (1)D (2)B [题型练透] 1．(全国甲卷)已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是(

    　) A．(－3,1)

    　 B．(－1,3) C．(1，＋∞)

    　D．(－∞，－3) 解析：选 A 由题意知  m＋3>0，m－1<0，即－3<m<1.故实数 m 的取值范围为(－3,1)．

    　 2．如果复数 z＝1＋ai 满足条件|z|＜2，那么实数 a 的取值范围是(

    　) A．(－2 2，2 2)

    　B．(－2,2) C．(－1,1)

    　D．(－ 3， 3) 解析：选 D 因为|z|＜2，所以 1＋a 2 ＜2，则 1＋a 2 ＜4，a 2 ＜3，解得－ 3＜a＜ 3. 3．求复数 z 1 ＝6＋8i 与 z 2 ＝－ 12 － 2i 的模，并比较它们的模的大小． 解：∵z 1 ＝6＋8i，z 2 ＝－ 12 － 2i，∴|z 1 |＝6 2 ＋8 2 ＝10， |z 2 |＝ － 122 ＋(－ 2) 2 ＝ 32 .∵10>32 ，∴|z 1 |>|z 2 |. 题型三

    　复数代数形式的四则运算 例 5 已知 z 1 ＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z 2 ＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y 为实数，若 z 1 －z 2 ＝5－3i，则|z 1 ＋z 2 |＝________. [解析] z 1 －z 2 ＝[(3 x －4 y )＋( y －2 x )i]－[(－2 x ＋ y )＋( x －3 y )i]＝[(3 x －4 y )－(－2 x ＋ y )]＋[( y －2 x )－( x －3 y )]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i， 所以  5x－5y＝5，－3x＋4y＝－3，解得 x＝1，y＝0，所以 z 1 ＝3－2i，z 2 ＝－2＋i，则 z 1 ＋z 2 ＝1－i， 所以|z 1 ＋z 2 |＝ 2. 例 6 (1)已知复数 z 1 ＝4＋8i，z 2 ＝6＋9i，求复数(z 1 －z 2 )i 的实部与虚部； (2)已知 z 是纯虚数， z－21＋i 是实数，求 z. 解：(1)由题意得 z 1 －z 2 ＝(4＋8i)－(6＋9i)＝(4－6)＋(8i－9i)＝－2－i，则(z 1 －z 2 )i＝(－2－i)i＝－2i－i 2 ＝1－2i.于是复数(z 1 －z 2 )i 的实部是 1，虚部是－2. (2)设纯虚数 z＝bi(b∈R)，则 z－21＋i ＝bi－21＋i＝ bi－21－i1＋i1－i＝ b－2＋b＋2i2. 由于 z－21＋i 是实数，所以 b＋2＝0，即 b＝－2，所以 z＝－2i. [题型练透]

    　1.已知复数 z 1 ＝a 2 －3－i，z 2 ＝－2a＋a 2 i，若 z 1 ＋z 2 是纯虚数，则实数 a＝________. 解析：由条件知 z 1 ＋z 2 ＝a 2 －2a－3＋(a 2 －1)i，又 z 1 ＋z 2 是纯虚数，所以  a 2 －2a－3＝0，a 2 －1≠0，解得 a＝3. 答案：3 2.若复数 z 满足 z(2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则 z 为(

    　) A．3＋5i

    　 B．3－5i C．－3＋5i

    　D．－3－5i [解析] ∵z(2－i)＝11＋7i，

    　 ∴z＝ 11＋7i2－i＝ (11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝ 15＋25i5＝3＋5i. 3.设 i 是虚数单位，复数 1＋ai2－i为纯虚数，则实数 a 为(

    　) A．2

    　 B．－2 C．－ 12

    　D. 12

    　[解析] 1＋ai2－i＝ (1＋ai)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝ 2－a5＋ 1＋2a5i，由 1＋ai2－i是纯虚数，则 2－a5＝0， 1＋2a5≠0，所以 a＝2. 题型四

    　复数运算的综合应用 例 7 已知 z 1 是虚数，z 2 ＝z 1 ＋ 1z 1 是实数，且－1≤z 2 ≤1. (1)求|z 1 |的值以及 z 1 的实部的取值范围； (2)若 ω＝ 1－z11＋z 1 ，求证：ω 为纯虚数． [解] 设 z 1 ＝a＋bi(a，b∈R，且 b≠0)． (1)z 2 ＝z 1 ＋ 1z 1 ＝a＋bi＋1a＋bi ＝ a＋aa 2 ＋b 2＋ b－ba 2 ＋b 2i. 因为 z 2 是实数，b≠0，于是有 a 2 ＋b 2 ＝1，即|z 1 |＝1， 所以 z 2 ＝2a. 由－1≤z 2 ≤1，得－1≤2a≤1，解得－ 12 ≤a≤12 ，即 z 1 的实部的取值范围是 － 12 ，12. (2)ω＝ 1－z11＋z 1 ＝1－a－bi1＋a＋bi ＝1－a 2 －b 2 －2bi1＋a 2 ＋b 2＝－ba＋1 i. 因为 a∈ － 12 ，12，b≠0，所以 ω 为纯虚数． [题型练透]

    　1. 设 z 是虚数，ω＝z＋ 1z 是实数，且－1＜ω＜2，求|z|的值及 z 的实部的取值范围． [解] 因为 z 是虚数，所以可设 z＝x＋yi，x，y∈R，且 y≠0. 所以 ω＝z＋ 1z ＝x＋yi＋1x＋yi ＝x＋yi＋x－yix 2 ＋y 2 ＝x＋xx 2 ＋y 2 ＋ y－yx 2 ＋y 2i. 因为 ω 是实数且 y≠0，所以 y－yx 2 ＋y 2 ＝0，所以 x2 ＋y 2 ＝1， 即|z|＝1.此时 ω＝2x.因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x＜2，从而有－ 12 ＜x＜1， 即 z 的实部的取值范围是 － 12 ，1 . [玩转练习]

    　 1．i 是虚数单位，复数 7－i3＋i ＝(

    　) A．2＋i

    　 B．2－i C．－2＋i

    　D．－2－i 解析：选 B 7－i3＋i ＝(7－i)(3－i)10＝ 20－10i10＝2－i. 2．(全国卷Ⅱ)若 a 为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则 a＝(

    　) A．－1

    　 B．0 C．1

    　D．2 解析：选 B ∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a 2 －4)i＝－4i. ∴  4a＝0，a 2 －4＝－4.解得 a＝0.故选 B. 3．若复数 z 满足z1－i ＝i，其中 i 是虚数单位，则 z＝(

    　) A．1－i

    　 B．1＋i C．－1－i

    　D．－1＋i 解析：选 A z ＝(1－i)i＝－i 2 ＋i＝1＋i，z＝1－i，故选 A. 4．设 i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于(

    　) A．第一象限

    　B．第二象限 C．第三象限

    　D．第四象限 解析：选 B 2i1－i ＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i) ＝2(i－1)2＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选 B. 5．已知 (1－i)2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z＝(

    　) A．1＋i

    　B．1－i C．－1＋i

    　D．－1－i 解析：选 D 由 (1－i)2z＝1＋i，得 z＝ (1－i)21＋i＝ －2i1＋i ＝－2i(1－i)(1＋i)(1－i) ＝－1－i，故选 D. 6．已知复数 z＝(5＋2i) 2 (i 为虚数单位)，则 z 的实部为________． 解析：复数 z＝(5＋2i) 2 ＝21＋20i，其实部是 21. 答案：21 7．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数 a 的值为________． 解析：由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i 是纯虚数可得 a＋2＝0,1－2a≠0，解得 a＝－2.

    　 答案：－2 8．设复数 a＋bi(a，b∈R)的模为 3，则(a＋bi)(a－bi)＝________. 解析：∵|a＋bi|＝ a 2 ＋b 2 ＝ 3，∴(a＋bi)(a－bi)＝a 2 ＋b 2 ＝3. 答案：3 9．设复数 z＝lg(m 2 －2m－2)＋(m 2 ＋3m＋2)i(m∈R)，试求 m 取何值时？ (1)z 是实数.

    　(2)z 是纯虚数． (3)z 对应的点位于复平面的第一象限． 解：(1)由 m 2 ＋3m＋2＝0 且 m 2 －2m－2＞0，解得 m＝－1 或 m＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由 lg(m 2 －2m－2)＝0，且 m 2 ＋3m＋2≠0， 求得 m＝3，故当 m＝3 时，复数 z 为纯虚数． (3)由 lg(m 2 －2m－2)＞0，且 m 2 ＋3m＋2＞0，解得 m＜－2 或 m＞3，故当 m＜－2 或 m＞3 时，复数 z 对应的点位于复平面的第一象限． 10.已知(1＋2i) z ＝4＋3i，求 z 及zz. 解设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi.∴(1＋2i)(a－bi)＝4＋3i， ∴(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i.由复数相等，解得  a＋2b＝4，2a－b＝3， 解得  a＝2，b＝1.∴z＝2＋i.∴zz＝z·zz ·z ＝z 2|z| 2 ＝4－1＋4i5＝ 35 ＋45 i.

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