6.6,第六章,《平面向量》,综合测试(解析版)
第六章 《平面向量》 综合测试 一、单选题 1.(2020·甘肃会宁·期末)设 2,3 AB , 1,4 BC ,则 AC 等于(
)
A. 1, 7
B. 1,7
C. 1, 7
D. 1,7
【答案】B 【解析】
2,3 1,4 1,7 AC AB BC . 故选:B. 2. (2020·河南新乡县一中期末(文))若四边形 ABCD中,满足0, 0 AB CD AB BC 则该四边形是(
)
A.菱形 B.直角三角形 C.矩形 D.正方形 【答案】C 【解析】
0 AB CD , // AB CD ,且 AB CD , 四边形 ABCD 是平行四边形, 又0 AB BC AB BC , 四边形 ABCD 是矩形, 故选:C. 3.(2020·甘肃会宁·期末)已知 1,0 a , 2,1 b r,向量 kab 与3 a b 平行,则实数 k 的值为(
)
A.117 B.117
C.13
D.13 【答案】C 【解析】
1,0 2,1 2, 1 ka b k k ,即 2, 1 7,3 k ,
∴12 73,1 3 13kk . 故选:C. 4.(2020·临猗县临晋中学高一月考)在△ABC 中,若 a=2,b=23 ,A=30°,则 B=(
)
A.60° B.60°或 120° C.30° D.30°或 150° 【答案】B 【解析】
由正弦定理可得 sinB= bsin Aa=2 3 sin302=32. 因为 0<B<180°,所以 B=60°或 120°, 故选:B 5.(2020·河南商丘·期末)已知 2,3 OA , 3, OB y ,若 OAOB ,则 AB 等于(
)
A.2 B.26
C. 5 2
D.5 152 【答案】B 【解析】
∵ OAOB ,∴ 6 3 0 OA OB y + , ∴ 2 y .∴ 3,2 2,3 5, 1 AB OB OA , ∴ 2 25 1 26 AB . 故选:B. 6.(2020·湖北期末)已知非零向量 a , b 满足 | | a b |=| ,则“ 2 2 a b a b ”是“ a b ”的(
)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解: 【答案】C 【解析】
2 22 2 2 2| | | | 2 2 2 2 4 4 4 4 a b a b a b a b a a b b a a b b = = = ,
| | | | 0 a b ,∴等价于 0 a b a b , 故选:C. 7.(2020·广东龙岗·期末)已知非零向量 , m n 满足 4 3 m n ,1cos< ,3m n .若 ( ) n tm n ,则实数 t的值为(
)
A.4 B.–4 C.94 D.–94 【答案】B 【解析】
( ) n tm n , ( ) 0 n tm n , 20 tn m n \ ? =, 则2cos< , 0 t n m m n n ? + = , 4 3 m n ,1cos< ,3m n , 23 104 3t n n n \ 鬃 + = ,解得 4 t . 故选:B. 8.(2020·河南商丘·期末)若两个向量 a , b 的夹角是23, a 是单位向量, | | 2 b ,2 c a b ,则向量 c与 b 的夹角为 (
)
A.6 B.3 C.23 D.34 【答案】B 【解析】
两个向量 a , b 的夹角是23, a 是单位向量, | | 2 b , 21 2 cos 13a b . 2 c a b ,2 2 2| | (2 ) 4 4 4 4 4 2 c a b a a b b . 2(2 ) 2 2 4 2 c b a b b a b b . 设向量 c 与 b 的夹角为 ,[0 ,] ,
则2 1cos2 2 2 | | | |c bc b ,3 , 故选:
B . 9.(2020·黑龙江道里·哈尔滨三中三模(文))已知 ABC 中,长为 2 的线段 AQ 为 BC 边上的高,满足:sin sin AB B AC C AQ ,且12AH AC ,则 BH (
)
A.4 77 B. 4 7
C.4 33 D. 2 7
【答案】D 【解析】
分别在 AB 、 AC 上取点 E 、 F ,使得 2 AE AF AQ ,连接 QE 、 QF 、 BF ,如图所示:
线段 AQ 为 BC 边上的高, sin AB B AQ , sin AC C AQ , sin AB B AE ,sin AC C AF , AE AF AQ , 由平面向量加法的平行四边形法则可得 / / AE QF , / / AF QE , 四边形 AEQF 为菱形, AQ 平分角 BAC ,BAF 120 , ABAC , Q 为 BC 的中点, E 、 F 分别为 AB 、 AC 的中点, 2 2 4 AB AF AQ , 又12AH AC , 点 H 为 AC 的中点,即与点 F 重合, 在 ABF 中,2 2 2 22 cos 16 4 8 28 BH BF AB AF AB AF BAF , 2 7 BH . 故选:D. 10.(2020·湖北东西湖·华中师大一附中其他(文))在矩形 ABCD 中, 3 AB , 4 AD ,点 P 是以点 C 为圆心,2 为半径的圆上的动点,设 APAB AD uuur uuur uuur,则 的最小值为(
)
A.1 B.76 C.2 D.83 【答案】B 【解析】
如图,建立平面直角坐标系,故可得 3,4 C , 0,0 , 3,0 , 0,4 A B D ,
故点 P 在圆 2 2: 3 4 4 C x y 上, 设 2cos 3,2sin 4 P , 3,0 , 0,4 AB AD , 又 APAB AD uuur uuur uuur,所以2cos 3 32sin 4 4 , 从而 2 1 5 7cos sin 2 sin 23 2 6 6 , 故选:B. 二、多选题 11.(2020·山东泰安·期末)下列各式中,结果为零向量的是(
)
A. ABMB BO OM B. ABBC CA C. OAOC BO CO D. ABAC BD CD 【答案】BD 【解析】
对于选项 A :
ABMB BO OM AB ,选项 A 不正确; 对于选项 B :
0 AB BC CA AC CA ,选项 B 正确; 对于选项 C :
OAOC BO CO BA ,选项 C 不正确; 对于选项 D : 0 AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r 选项 D 正确.
故选:BD 12.(2020·山东泰安·高三三模)已知向量 2, 1 , 3,2 , 1,1 a b c r r r,则(
)
A./ / a b
B. a bc
C. ab c D.5 3 c a b 【答案】BD 【解析】
由题意 2 2 ( 3) ( 1) 0 ,A错; 1,1 , 1 1 0 a b a b c a b c ,故 .B 正确,C错误; 5 3 a b r r5(2, 1) 3( 3,2) (1,1) c ,D正确. 故选:BD 13.(2020·山东济南·高一期末)已知 M 为 ABC 的重心, D 为 BC 的中点,则下列等式成立的是(
)
A.1 12 2AD AB AC
B.0 MA MB MC C.2 13 3BM BA BD
D.1 23 3CM CA CD
【答案】ABD 【解析】
如图,根据题意得 M 为 AD 三等分点靠近 D 点的点. 对于 A选项,根据向量加法的平行四边形法则易得1 12 2AD AB AC ,故 A正确; 对于 B 选项,2 MB MC MD ,由于 M 为 AD 三等分点靠近 D 点的点,2 MA MD ,所以0 MA MB MC ,故正确; 对于 C 选项, 2 2 1 2=3 3 3 3BM BA AD BA BD BA BA BD ,故 C 错误; 对于 D选项, 2 2 1 23 3 3 3CM CA AD CA CD CA CA CD ,故 D正确. 故选:ABD
14.(2020·山东临沂·高三一模)在 ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 2 3 b , 3 c ,3 A C ,则下列结论正确的是(
)
A.3cos3C B.2sin3B C. 3 a
D. 2ABCS
【答案】AD 【解析】
3 A C ,故 2 B C ,根据正弦定理:sin sinb cB C ,即 2 3sin3 2sin cos C C C , sin 0 C ,故3cos3C ,6sin3C ,2 2sin sin2 2sin cos3B C C C . 2 2 22 cos c a b ab C ,化简得到24 3 0 a a ,解得 3 a 或 1 a , 若 3 a ,故4A C ,故2B ,不满足,故 1 a . 1 1 6sin 1 2 3 22 2 3ABCS ab C △. 故选:
AD . 三、填空题 15. (2020·河南新乡县一中期末)如图,在ABC 中, D 为 AB 的中点,2 DE EC ,若 BE xAB yAC ,则 xy ______.
【答案】32
【解析】
1 2 1 2 5 22 3 2 3 6 3BE BD DE AB DC AB AC AD AB AC , 所以5 2 36 3 2x y . 故答案为:32 . 16. (2020·福建三模(文))设 ABC 内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c.已知 (4)cos cos a c B b C ,则 cosB ______. 【答案】14 【解析】
由 (4 )cos cos a c B b C 及正弦定理, 得 (4sin sin )cos sin cos A C B B C , 即 4sin cos sin( ) sin A B B C A ,因为 (0, ) A , sin 0 A , 所以1cos4B
故答案为:14 17.(2020·新疆二模(理))在 ABC 中, 45 C , 4 AB ,D为 BC 边上的点,且 13 AD , 3 BD ,则 AC ________. 【答案】
2 6
【解析】
如图,
∵ 4 AB , 13 AD , 3 BD ,
在△ ABD 中,余弦定理2 2 216 9 13 1cos2 2 4 3 2AB BD ADBAB BD , ∵ 0 π B
∴3sin2B . 由正弦定理:sin sinAC ABB C , 可得:34 2 2 62AC , 故答案为:
2 6 . 四、双空题 18.(2020·浙江衢州·高一期末)已知 ( 2,3) a , ( 1,1) b k ,若/ / a b ,则 k ________;若 a b ,则 k ________. 【答案】13
52
【解析】
/ / a b , 2 3( 1) 0 k ,解得13k ; a b , 2( 1) 3 0 a b k ,解得52k . 故答案为:13;52. 19. (2020·台州市书生中学高二期末)在ABC 中,6A ,A 的角平分线 AD交 BC 于点 D,若2 AB ,6 AC ,则, BC _______, AD _______. 【答案】2
3
【解析】
在 ABC 中,由余弦定理,
2 2 232 cos 2 6 2 2 6 22BC AB AC AB AC A ,所以 BC 2 ; 所以 ABC 为等腰三角形, 120 B , 30 A C , 在 ADC 中, 15 135 ADC B , 由正弦定理,sin sinAD ACC ADC,即6sin30 sin135AD ,解得 AD 3 . 故答案为:2 ; 3
20.(2020·浙江金华·高二期末)已知:
| | 2 a , ( 1,1) b , , 60 a b ,则 | | a b ________;若3a kb 与 b 垂直,则 k ________. 【答案】2
32
【解析】
因为 | | 2 a , ( 1,1) b , , 60 a b ,所以2 b ,12 2 12a b
所以 22 22 2 2 2 2 a b b a a b ,所以 | | 2 a b
因为 3akb 与 b 垂直,所以 3 0 a kb b ,即23 0 a b kb 所以 3 2 0 k ,解得32k =
故答案为:2 ;32 21.(2020·浙江省宁海中学零模)如图,在 ABC 中,点 D在线段 AB 上,若 2 2 AD DC DB ,则AC BC 的最大值是__________;此时 sin DAC _____.
【答案】9 22
74
【解析】
设 ADC ,则 BDC , 所以在 ADC 中,2 2 22 cos 8 8cos AC AD CD AD CD , 在 BDC 中, 2 2 22 cos 5 4cos BC BD CD BD CD , 所以 2 2 28 8cos 5 4cos 32cos 8cos 40 AC BC
21 8132 cos8 2 , 所以当1cos8 时,2 2AC BC 取最大值812, 所以 AC BC 的最大值是9 22; 此时28 8cos 9 AC 即 3 AC , 所以在 ADC 中,2 2 29 4 4 3cos2 2 3 2 4AC AD CDDACAC AD , 由 0, DAC 可得27sin 1 cos4DAC DAC . 故答案为:9 22;74. 五、解答题 22.(2020·嘉祥县第一中学高一月考)
已知 ABC 的角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,设向量 ( , ) m a b , (sin , n B
sin ) A , ( 2, 2) p b a . (1)若 // m n ,求证:
ABC 为等腰三角形; (2)若 m p ,边长 2 c ,角π3C ,求 ABC 的面积. 【答案】(1)见解析(2)
3
【解析】
⑴因为 ,所以 sin sin a A b B ,即 · ·2 2a ba bR R ,其中 R 是 ABC 的外接圆半径, 所以 a b ,所以 ABC 为等腰三角形. ⑵因为 m p ,所以 2 2 0 a b b a .
由余弦定理可知, 22 24 3 a b ab a b ab ,即 23 4 0 ab ab
解方程得:
4 ab ( 1 ab 舍去)
所以1 1sin 4 sin 32 2 3S ab C . 23.(2020·烟台市教育科学研究院期末)已知点 ,2 A m, 1,1 B , 2,4 C . (1)若 | | CA CB 最小,求实数 m 的值:
(2)若 CA 与 CB 夹角的余弦值为55,求实数 m 的值. 【答案】(1)
3 m ;(2)
4 m 或 12 m . 【解析】
(1)由题意, ( 2, 2) CA m , ( 1, 3) CB
于是 ( 3, 5) CA CB m , 所以2| | ( 3) 25 5 CA CB m , 所以 | | CA CB 的最小值为 5, 此时 3 m ; (2)由28cos ,| | | |( 2) 4 10CA CB mCA CBCA CBm , 得28 55( 2) 4 10mm , 化简得28 48 0 m m ,解得 4 m 或 12 m . 24.(2019·山东省临沂第一中学月考)
的内角 的对边分别为 , , a b c ,已知2sin( ) 8sin2BA C . (1)求 cosB ; (2)若 6 a c , ABC 面积为 2,求 b . 【答案】(1)1517;(2)2. 【解析】
(1)
2sin 8sin2BA C ,∴ sin 4 1 cos B B ,∵2 2sin cos 1 B B ,
∴ 2216 1 cos cos 1 B B ,∴ 17cos 15 cos 1 0 B B ,∴15cos17B ; (2)由(1)可知8sin17B , ∵1sin 22ABCS ac B ,∴172ac , ∴ 22 2 2 2 2 2 217 152 cos 2 15 2 15 36 17 15 42 17b a c ac B a c a c a c ac , ∴ 2 b . 25.(2020·山东高三月考)在① 3 sin cos a c A a C ,② 2 sin 2 sin 2 sin a b A b a B c C 这两个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答. 已知 ABC 的角 A , B , C 对边分别为 , , a b c , 3 c ,而且______. (1)求 C ; (2)求 ABC 周长的最大值. 【答案】(1)3C ;(2)
3 3
【解析】
(1)选①: 因为 3 sin cos a c A a C , 所以 sin 3sin sin sin cos A C A A C , 因为 sin 0 A ,所以 3sin cos 1 C C ,即1sin6 2C , 因为 0 C ,所以56 6 6C ,所以6 6C ,即3C ; 选②: 因为 2 sin 2 sin 2 sin a b A b a B c C , 所以 22 2 2 a b a b a b c ,即2 2 2a b c ab , 所以2 2 2cos12 2a b cCab , 因为 0 C ,所以3C ;
(2)由(1)可知:3C , 在 ABC 中,由余弦定理得2 22 cos 3 a b ab C ,即2 23 a b ab , 所以 2233 34a ba b ab , 所以 2 3 a b ,当且仅当 a b 时等号成立, 所以 3 3 a b c ,即 ABC 周长的最大值为 3 3 . 26.(2020·山东潍坊·高一期末)从①4B ,②3 2sin a B 这两个条件中选一个,补充到下面问题中,并完成解答.已知 ABC 中, a , b , c 分别是内角 A , B , C 所对的边,且2 2 2sin sin sin sin sin A B C B C . (1)求角 A ; (2)已知 6 b ,且________,求 sinC 的值及 ABC 的面积.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
【答案】(1)23 ;(2)6 24,9 3 34. 【解析】
(1)因为2 2 2sin sin sin sin sin A B C B C , 由正弦定理得2 2 2a b c bc , 即2 2 212 2b c abc , 得1cos2A , 又 0 A , 所以23A ; (2)选择①时:4B ,23A , 故6 2sin sin( ) sin cos cos sin4C A B A B A B ;
根据正弦定理sin sina bA B ,故 3 a , 故1 9 3 3sin2 4S ab C . 选择②时:3 2sin a B ,根据正弦定理sin sina bA B , 故6sin 323 2sinBB, 解得2sin2B , 6 2sin sin( ) sin cos cos sin4C A B A B A B , 根据正弦定理sin sina bA B ,故 3 a , 故1 9 3 3sin2 4S ab C . 27.(2020·山东高一期末)如图,在直角△ABC 中,点 D为斜边 ...
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