4-2-2_三角形等高模型与鸟头模型：知识例题精讲

时间：2020-09-23 01:03:25 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

相关热词搜索：模型 角形 例题

　4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 1 of 16

　I I hL 例题精讲 板块一三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积 底高 2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积. 如果三角形的底不变，高越大 （ 小 ）

　，三角形面积也就越大 （ 小）； 如果三角形的高不变，底越大 （ 小 ）

　，三角形面积也就越大 （ 小）； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化„但是，当三角形的底和高同时发生 变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的1 ，则三角形面积与原来的一 3 样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时 也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状. 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论: ① 等底等高的两个三角形面积相等； ② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图 S : S 2 a:b

　③ 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 S A ACD S A BCD ； 反之，如果 S A ACD

　S A BCD ，则可知直线 AB 平行于 CD „ ④ 等底等高的两个平行四边形面积相等 （ 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ）

　； ⑤ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比. 【例 11 你有多少种方法将任意一个三角形分成：

　⑴3 个面积相等的三角形； ⑵4 个面积相等的三角形； ⑶ 6 个面积相等的三角形. 【例 21 如图，BD 长 12 厘米，DC 长 4 厘米，B、C 和 D 在同一条直线上. ⑴ 求三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？ ⑵求三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍？舷書名师网络小班 中小学務品陌 Jfi ■小班观环右老坤 J 对［科龙荐戏

　4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 2 of 16

　 【例 3】如右图， ABFE 和 CDEF 都是矩形， AB 的长是 4 厘米，BC 的长是 3 厘米，那么图中阴影部分的面 积是 平方厘米.

　【例 4】如图，长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米，点 E 、 F 、G 分别是长方形 ABCD 边上的中点， H 为 AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积.

　 【例 5】长方形 ABCD 的面积为 36 cm 2 , E 、 F 、G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积 是多少？

　【例 6】长方形 ABCD 的面积为 36, E 、 F 、G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是 多少? 家家学 I 名师网络小班 JlAjlAXUE.COM申小学拓品耶黑■小班观环右老坤 J 对 F 科走有戏 IWWB

　4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 3 of 16

　4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 4 of 16

　 【例 9】（第四届”迎春杯”试题）如图，三角形 ABC 的面积为 1，其中 AE 3AB，BD 2BC，三角形 BDE 的面积是多少？

　 【例 11】

　如图 ABCD 是一个长方形，点 E、F 和 G 分别是它们所在边的中点„如果长方形的面积是 36 个平方单位，求三角形 EFG 的面积是多少个平方单位. 【例 7】

　如右图，E 在 AD 上，AD 垂直 BC, AD 12 厘米，DE 面积的几倍？ 3 厘米.求三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 【例 8】

　如图，在平行四边形 ABCD 中，EF 平行 AC,连结 BE、 共有哪几个三角形？ AE、CF、BF 那么与 VBEC 等积的三角形一 【例 10】

　（ 2008 年四中考题 ）

　如右图， AD DB ，AE 的面积是 ________ 平方厘米. EF FC ,已知阴影部分面积为 5 平方厘米, ABC B F C C

　网络小班 申小学拓障陌挤小雅观环右窪 WU 对 F 棘龙各戏 4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 5 of 16

　 ❹ 家家学名師 JIAjlAXUEXX>M 如图，大长方形由面积是 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方 形组合而成„求阴影部分的面积.

　【例 14】

　（ 2009 年第七届”希望杯”二试六年级 ）

　如图，在三角形 ABC 中，已知三角形 ADE 、三角形 DCE、 三角形 BCD 的面积分别是 89, 28, 26 .那么三角形 DBE 的面积是

　____________ „

　 【例 15】

　（第四届《小数报》数学竞赛 ）

　如图，梯形 ABCD 被它的一条对角线 BD 分成了两部分.三角形 BDC 的面积比三角形 ABD 的面积大 10 平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是 15 分米, 它们的差是 5 分米.求梯形 ABCD 的面积.

　 【例 16】

　图中 VAOB 的面积为 15cm 2 ，线段 OB 的长度为 OD 的 3 倍，求梯形 ABCD 的面积.

　【解 析】在 VABD 中，因为 S VAOB

　15cm 2 ，且 OB 3OD，所以有 S VAOD S VAOB

　3 5cm 2 . 因为 VABD 和 VACD 等底等高，所以有 S/ ABD

　S VACD

　.【例 12】

　12cm 2

　 48cm 2

　 【例 13】

　如图，三角形 ABC 中，DC 的面积是多少？ 2BD , CE 3AE ,三角形 ADE 的面积是 20 平方厘米，三角形 ABC

　◎聽叢名师网络小班 申小学拓品耶挤小班观环右老 WU 对 F 棘龙各戏 4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 6 of 16

　 从而 S VOCD

　15cm 2 ，在 VBCD 中，S VBOC

　3S VOCD

　45cm 2 ，所以梯形面积：15 5 15 45 80( cm 2 ). 【例 17】

　如图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形.

　 （第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形 面积的 15%，黄色三角形面积是 21cm 2

　.问：长方形的面积是多少平方厘米? 【例 20】

　如右图，过平行四边形 ABCD 内的一点 P 作边的平行线 EF 、GH，若 PBD 的面积为 8 平方 分米，求平行四边形 PHCF 的面积比平行四边形 PGAE 的面积大多少平方分米？

　【例 22】

　在长方形 ABCD 内部有一点 O ,形成等腰 AOB 的面积为 16,等腰 DOC 的面积占长方形面积 【例 18】

　【例 19】

　O 是长方形 ABCD 内一点，已知 积是多少？ OBC 的面积是 5cm 2

　, OAB 的面积是 2cm 2 ，求 OBD 的面 【例 21】

　ABCD 的面积是 20 ,正三角形 BPC 的面积是 15，求阴影 BPD 的面积.

　◎聽叢名师网络小班 申小学拓品耶挤小班观环右老 WU 对 F 棘龙各戏 4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 7 of 16

　 的 18%，那么阴影 AOC 的面积是多少？

　働聽驚名師网络小班 申小学拓品陌珞小章現亦衣證 WU 对 F 轉走洛赛 4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 8 of 16

　 【例 23】

　【例 24】

　【例 25】

　【例 26】

　O （2008 年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形 ABCD 中, 分别是其两腰 AB 、CD 的中点，G 是 EF 上的任意一点，已知 ADG 的面积为 15cm 2 ，而 面积恰好是梯形 ABCD 面积的—，则梯形 ABCD 的面积是 cm ? . 20 如图所示，四边形 ABCD 与 AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等. 正方形 ABCD 的边长为 6， AE 1.5，CF 2 .长方形 EFGH 的面积为 如图, G 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC,如果 VADE 的面积为 4 平方厘米.求三角形 面积. E 、 BCG CDF

　4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 9 of 16

　家家学 I 名师网络小班 JlAjlAXUEXX>M 厂3

　申小学務帰两 Sfr 小班現捧有奄蹄［対［秒充存厭 6 厘米和 4 厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米.

　【例 29】

　（ 2008 年”华杯赛”决赛 ）

　右图中，ABCD 和 CGEF 是两个正方形，AG 和 CF 相交于 H ,已知 CH 等于 CF 的三分之一，三角形 CHG 的面积等于 6 平方厘米，求五边形 ABGEF 的面积.

　【例 30】

　（第八届小数报数学竞赛决赛试题 ）

　如下图， E 、 F 分别是梯形 ABCD 的下底 BC 和腰 CD 上的 点，DF FC,并且甲、乙、丙 3 个三角形面积相等„已知梯形 ABCD 的面积是 32 平方厘米„求图 中阴影部分的面积.

　 【例 31】

　如图，已知长方形 ADEF 的面积 16，三角形 ADB 的面积是 3，三角形 ACF 的面积是 4 ，那么 【例 28】

　如图，有三个正方形的顶点 厘米，求阴影部分的面积. D 、G、 K 恰好在同一条直线上，其中正方形 GFEB 的边长为 10 图中两个正方形的边长分别是 【例 27】

　P K

　4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 10 of 16

　 三角形 ABC 的面积是多少？

　名师网络小班 申小学拓品耶珞小離观环右老 WU 对 F 轉充各戏 4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 11 of 16

　【例 32】

　如图，在平行四边形 ABCD 中，BE EC , CF 2FD .求阴影面积与空白面积的比.

　 【例 33】

　（第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛 ）

　如图所示，三角形 ABC 中， D 是 AB 边的中点， E 是 AC 边上的一点， 且 AE 3EC , O 为 DC 与 BE 的交点.若 CEO 的面积为 a 平方厘米， BDO 的 面积为 b 平方厘米„且 b a 是 2.5 平方厘米，那么三角形 ABC 的面积是 _______________ 平方厘米.

　【例 34】

　如图，在梯形 ABCD 中， AD : BE 4:3 , BE : EC 2:3，且 BOE 的面积比 AOD 的面积小 10 平方厘米.梯形

　________ 平方厘米. 【例 35】

　如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是 13 , 35 , 49 •那么图中 阴影部分的面积是多少? ABCD 的面积是

　名师网络小班 申小学拓品耶珞小離观环右老 WU 对 F 轉充各戏 4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 12 of 16

　 【例 36】

　图中是一个各条边分别为 5 厘米、12 厘米、13 厘米的直角三角形. 将它的短直角边对折到斜边 上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分 （ 即未被盖住的部分 ）

　的面积是多少平方厘米？

　◎鹽裳名師网络小班 申 小寧務肾肚 站小薙現舒 君老肪 j 內■?补充荐戏 4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 13 of 16

　【例 38】

　（ 2007 年六年级希望杯二试试题 ）如图，三角形田地中有两条小路 AE 和 CF，交叉处为 D ，张大 伯常走这两条小路， 他知道 DF DC ， 且 AD 2DE .则两块地 ACF 和 CFB 的面积比是

　________________ .

　 【例 39】

　（2008 年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级 2 试 ）

　如图，BC 45 , AC 21 , ABC 被分 成 9 个面积相等的小三角形，那么 DI FK

　___________ .

　 【例 41】

　（2009 年四中入学测试题）如图，已知 CD 5 , DE 7 , EF 15 , FG 6，线段 AB 将图形分 【例 37】

　如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米, EC 2DE , F 是 DG 的中点.阴影部分的面积是 【例 40】

　（2007 年人大附中分班考试题 的中点，已知甲、乙、丙面积和为 ）已知 ABC 为等边三角形，面积为 400, D 、 E 、 F 分别为三边 143,求阴影五边形的面积. （ 丙是三角形 HBC ）

　G B

　◎鹽裳名師网络小班 申 小寧務肾肚 站小薙現舒 君老肪 j 內■?补充荐戏 4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 14 of 16

　 成两部分，左边部分面积是 38，右边部分面积是 65,那么三角形 ADG 的面积是 ______________ .

　4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 15 of 16

　【例 42】

　（ 2008 年仁华考题 ）

　如图，正方形的边长为 10,四边形 EFGH 的面积为 5,那么阴影部分的面积 是 _________ .

　 【例 43】

　（2008 年走美六年级初赛 ）

　如图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70, AB 8 , AD 15，四边形 EFGO 的面积为

　____________ .

　 【例 44】

　（清华附中分班考试题）如图，如果长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米，那么四边形 MNPQ 的 面积是多少平方厘米？

　【例 45】

　（2008 年日本第 12 届小学算术奥林匹克大赛初赛 ）

　如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为 2 10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是 cm .中小字去悟肚琳小我規亦戸證 Hi J 对 F 秩充各赛

　O 聽書名师网络小班 申小学拓障耶珞小班观环右老 WU 对［释充各赛 4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 16 of 16

　 1

　—1CI 【例 46】

　如图，三角形 AEF 的面积是 17 , DE 、 BF 的长度分别为 11、3„求长方形 ABCD 的面积.

　 一点， BL DM 4 、BK DN 5，那么阴影部分的面积是

　 【例 47】

　( 2008 年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛 BC 30 . E 、 F 分别是 AB、BC 边上的两点， BE BF 是 • )如图，长方形 ABCD 中，AB 67 , 49 •那么，三角形 DEF 面积的最小值 【例 48】

　(2007 首届全国资优生思维能力测试 )ABCD 是边长为 12 的正方形，如图所示, P 是内部任意

　O 聽書名师网络小班 申小学拓障耶珞小班观环右老 WU 对［释充各赛 4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 17 of 16

　 ABCD 中， E , F , G , H 分别是 ABCD 各边的中点，求阴影部分与四 边形 PQRS 的面积之比.【例 49】

　如图所示，在四边形

　4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 18 of 16

　 0 家家学 I 名师网络小班 JlAjlAXUEX^PM 旷灯 申小学拓阴區耀小班观特宥琴蹄［対［棘充存

　 【例 51】

　（2008 年日本小学算数奥林匹克大赛决赛 ）有正三角形 ABC，在边 AB 、BC、CA 的正中间分 别取点 L 、 M 、N，在边 AL 、 BM 、CN 上分别取点 P 、Q、 R ，使 LP MQ NR，当 PM 和 RL 、 PM 和 QN、QN 和 RL 的相交点分别是 X 、 Y 、 Z 时，使 XY XL . 这时，三角形 XYZ 的面积是三角形 ABC 的面积的几分之几？请写出思考过程.

　【例 52】

　如图：已知在梯形 ABCD 中，上底是下底的-，其中 F 是 BC 边上任意一点，三角形 AME 、 3 角形 BMF 、三角形 NFC 的面积分别为 14 、20、 12 .求三角形 NDE 的面积.

　 【例 53】

　如图，已知 ABCD 是梯形， AD // BC , AD : BC 1:2 , S AOF

　:S DOE

　1:3 , S BEF

　24cm 2 ，求 【例 50】

　如图，四边形 ABCD 中，DE:EF:FC 3:2:1, BG : GH : AH 3: 2:1 , AD : BC 1:2，已知 四边形 ABCD 的面积等于 4,则四边形 EFHG 的面积

　4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 19 of 16

　 AOF 的面积.

　4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 20 of 16

　【例 54】

　（2009 年迎春杯决赛高年级组）

　如图，ABCD 是一个四边形， M 、N 分别是 AB 、CD 的中点.如 果 ASM、 MTB 与 DSN 的面积分别是 6、7 和 8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形 ABCD 的面积为

　__________ .

　 板块二鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角 （ 相等角或互补角 ）

　两夹边的乘积之比. 如图在 △ ABC 中， D,E 分别是 AB, AC 上的点如图 （ 1）（或 D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上）, 则 S AABC ：

　S AADE

　（AB AC）

　：

　（AD AE）

　【例 55】

　如图在 △

　ABC 中， D,E 分别是 AB,AC 上的点，且 AD : AB 2:5 , AE : AC 4:7 , & ADE

　16 平方厘米，求 △

　ABC 的面积. 中小学務品耶珞小说規讦右老坪 J 对 F 棘龙各戏 A D B C 图⑵

　4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 21 of 16

　4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 22 of 16

　【例 56】

　如图在 △ ABC 中， D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上，且 AB : AD 5:2 , AE : EC 3: 2 , ADE

　12 平方厘米，求 △

　ABC 的面积.

　【例 58】

　已知 △

　DEF 的面积为 7 平方厘米， BE CE, AD 2BD,CF 3AF ，求 △

　ABC 的面积.

　 【例 59】

　如图，三角形 ABC 的面积为 3 平方厘米，其中 AB:BE 2:5 , BC :CD 3: 2，三角形 BDE 的 面积是多少？

　【例 57】

　如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点, 的面积为 8 平方厘米•平行四边形的面积是多少平方厘米？ D -C

　:B A — E B

　AF 2CF，三角形 AFE（图中阴影部分）

　4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 23 of 16

　 【例 60】

　（ 2007 年”走美”五年级初赛试题 ）

　如图所示，正方形 CF -BC •三角形 DEF 的面积为

　___________ 平方厘米. 1 ABCD 边长为 6 厘米，AE -

　AC , 3

　4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 24 of 16

　【例 62】

　如图，平行四边形 ABCD , BE AB , CF 2CB , GD 3DC , HA 4AD ,平行四边形 ABCD 的面积是 2 ，求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比. 四边形 ABCD 的面积为 5,则四边形 EFGH 的面积是

　_____________

　劭家家学 I 名怖网络小班 JIAJIAXUE.COM 1 2

　“ 【例 61】

　如图，已知三角形 ABC 面积为 1 ，延长 AB 至 D , 延长 CA 至 F ,使 AF 3AC，求三角形 DEF 的面积. 中小拳磁河師挤小班現卯衣老厅「对孑科苑各旄 使 BD AB ;延长 BC 至 E ，使 CE 2BC ; 【例 63】

　【例 64】

　如图，四边形 EFGH 的面积是 66 平方米， EA AB , CB BF , DC CG 边形 ABCD的面积. HD DA ，求四 如图，将四边形 ABCD 的四条边 AB 、CB、CD、 AD 分别延长两倍至点 E 、 F G、 H ，若 E

　4- 2- 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 25 of 16

　 家家学 I 名师网络小班 J LA J IA XU E ^ COM " R

　 如图所示，正方形 ABCD 边长为 8 厘米， E 是 AD 的中点， F 是 CE 的中点，G 是 BF 的中点, 三角形ABG 的面积是多少平方厘米？

　【例 68】

　四个面积为 1 的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.1 【例 65】

　如图，在 △ ABC 中，延长 AB 至 D ，使 BD AB ，延长 BC 至 E ，使 CE 1

　BC , F 是 AC 的 2 中点，若 △ ABC 的面积是 2 ，则 △

　DEF 的面积是多少？ 中小学拓障陌 黑■小班观环 右老匠［內■［科充各戏 【例 66】

　1，BC 5BD，AC 4EC， DG GS SE，AF FG •求 S VFGS

　【例 67】

　如图，S A ABC