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    第5讲,平面向量概念和线性运算学生

    时间：2021-02-01 20:54:28 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：向量 线性 运算

    　 第五讲

    　平面向量的概念和线性运算 [玩前必备] 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算

    　交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：

    　(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求 a 与 b 的相反向量－b 的和的运算

    　a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当 λ>0 时，λa与 a 的方向相同；当 λ<0时，λa 与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb

    　3.向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得 b＝λa. 4．向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 5．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，则数量|a||b|·cos θ 叫做 a 与b 的数量积，记作 a·b

    　 投影 |a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，|b|cos θ 叫做向量 b 在a 方向上的投影 几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积

    　6.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 7．向量数量积的性质 设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量． (1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇒a·b＝0 且 a·b＝0⇒a⊥b； (3)a·a＝|a| 2 或|a|＝ a 2 ；(4)cos〈a，b〉＝a·b|a||b| ；(5)|a·b|≤|a||b|. [玩转典例] 题型一

    　向量概念的理解 例 1 判断下列命题是否正确，并说明理由． ①若 a≠b，则 a 一定不与 b 共线； ②若AB→ ＝DC →，则 A、B、C、D 四点是平行四边形的四个顶点； ③在平行四边形 ABCD 中，一定有AB→ ＝DC →； ④若向量 a 与任一向量 b 平行，则 a＝0； ⑤若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ⑥若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 例 2 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E、F、D 分别是 AC、AB、BC 的中点．

    　(1)写出与EF→ 共线的向量； (2)写出与EF→ 的模大小相等的向量； (3)写出与EF→ 相等的向量．

    　[题型练透]

    　 1.判断下列命题是否正确，并说明理由． ①若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； ②若向量|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； ③对于任意|a|＝|b|，且 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； ④向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反． 2.下列说法正确的是(

    　) A．向量 AB 与 CD 是共线向量，则 A，B，C，D 必在同一直线上 B．向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反 C．向量 AB 与向量 BA 是两平行向量 D．单位向量都相等 3.给出下列四个命题：①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b；③若 a∥b，则|a|＝|b|；④若 a∥b，b∥c，则 a∥c.其中，正确的命题有(

    　) A．0 个

    　 B．1 个 C．2 个

    　 D．3 个 4.如图，△ABC 和△A′B′C′是在各边的 13 处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC 的边长为 a，图中列出了长度均为 a3 的若干个向量，则 (1)与向量 GH 相等的向量有________； (2)与向量 GH 共线，且模相等的向量有________； (3)与向量 EA 共线，且模相等的向量有________． 题型二

    　向量的加减法运算 例 3

    　如图，在△ABC 中，O 为重心，D、E、F 分别是 BC、 AC、AB 的中点，化简下列三式：

    　(1) BC ＋ CE ＋ EA ； (2) OE ＋ AB ＋ EA ； (3) AB ＋ FE ＋ DC .

    　 例 4 化简：(1)( AB － CD )－( AC － BD )；

    　 (2)( AC ＋ BO ＋ OA )－( DC － DO － OB )．

    　 [题型练透] 1.如图，在平行四边形 ABCD 中， (1) AB ＋ AD ＝________； (2) AC ＋ CD ＋ DO ＝________； (3) AB ＋ AD ＋ CD ＝________； (4) AC ＋ BA ＋ DA ＝________. 2．化简以下各式：

    　(1) AB ＋ BC ＋ CA ； (2) AB － AC ＋ BD － CD ； (3) OA － OD ＋ AD ； (4) NQ ＋ QP ＋ MN － MP . 结果为零向量的式子个数是(

    　) A．1

    　B．2

    　C．3

    　 D．4 题型三

    　向量加减法的几何意义 例 5 设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在线段 BC 外，| BC | 2 ＝16，| AB ＋ AC |＝| AB － AC |，则| AM |＝(

    　) A．8

    　 B．4 C．2

    　 D．1 [题型练透]

    　1. (2017·全国Ⅱ)设非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，则(

    　) A．a⊥b

    　 B．|a|＝|b| C．a∥b

    　 D．|a|>|b| 题型四

    　向量的数乘及线性运算 例 6

    　(1)在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 CD 的中点，BE 与 AC 的交点为 F，设AB→ ＝a，AD →＝b，则向量BF→等于(

    　) A. 13 a＋23 b

    　 B．－ 13 a－23 b C．－ 13 a＋23 b

    　 D. 13 a－23 b

    　 (2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB→ 等于(

    　) A. 34 AB→ － 14 AC→

    　B. 14 AB→ － 34 AC→

    　C. 34 AB→ ＋ 14 AC→

    　D. 14 AB→ ＋ 34 AC→

    　[题型练透] 1.在△ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且BD→＝2DC→，CE→ ＝3EA → ，若AB → ＝a，AC → ＝b，则DE →等于(

    　) A. 13 a＋512 b

    　 B. 13 a－1312 b C．－ 13 a－512 b

    　 D．－ 13 a＋1312 b 2.(2020·威海模拟)在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 BC，CD 的中点，若AB→ ＝xAE → ＋yAF → (x，y∈R)，则 x－y＝________. 题型五

    　共线向量定理的应用 例 7

    　(1)已知 e 1 ，e 2 是两个不共线的向量，若 AB ＝2e 1 －8e 2 ， CB ＝e 1 ＋3e 2 ， CD ＝2e 1 －e 2 ，求证：A，B，D 三点共线． (2)已知 A，B，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若 OP ＝x OA ＋y OB ，求 x＋y 的值．

    　 [题型练透] 1.如图所示，已知 D，E 分别为△ABC 的边 AB，AC 的中点，延长 CD 到 M 使 DM＝CD，延长 BE 至 N 使BE＝EN，求证：M，A，N 三点共线．

    　2.已知向量 a，b 是两个不共线的向量，且向量 ma－3b 与 a＋(2－m)b 共线，则实数 m 的值为________． 3.（2019·湖南高三期末（理））如图所示，已知点 G 是 ABC  的重心，过点 G 作直线分别交 , AB AC 两边于 , M N 两点，且 AMxAB uuur uuur， ANyAC uuur uuur，则 3x y  的最小值为__________．

    　题型六

    　共线向量定理的应用 例 8

    　（2019·湖南高二期末）已知 , a b 是单位向量，且满足 (2 ) 0 b a b    ，则 a 与 b 的夹角为（ ）

    　A.6 B.3 C.56 D.23 例 9

    　（2019·江西高一期末）已知 1 a  ， 2 b  ，且 ( ) a a b   ，则 a 在 b 方向上的投影为(

    　 ) A. 1 

    　B. 1

    　C.12

    　D.12 （2）（2019·山西省静乐县第一中学）在 ABC  中 || | | AB AC AB AC   uuur uuur uuur uuur, 3, 4, AB AC   则 BC 在 CA 方向上的投影为（

    　）． A．4 B．3 C．-4 D．5 [题型练透] 1.已知平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝(

    　) A. 3

    　B．2 3

    　C．4

    　D．12 2.向量 a，b 满足|a|＝1，|a－b|＝32，a 与 b 的夹角为 60°，则|b|＝(

    　) A. 13

    　 B.12

    　C.15

    　 D.14

    　3.已知非零向量 a，b 满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝ 12 . ①求|b|； ②当 a·b＝ 12 时，求向量 a 与 b 的夹角 θ 的值．

    　4.（2019·江西）已知向量

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