6.5,平面向量应用—正弦定理、余弦定理(解析版)
6.5 平面向量的应用 — 正弦定理、余弦定理
1. 已知两角和一边解三角形;2. 已知两边和其中一边的对角解三角形;3. 运用正弦定理求三角形的面积;4. 已知两边及一角解三角形;5. 已知三边解三角形;6. 判断三角形的形状;7. 综合应用正弦、余弦定理求边和角 8.正弦、余弦定理的综合应用;9. 正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用;10. 求取值范围问题;11. 不易到达点测量距离问题;12. 正、余弦定理在航海距离测量中的应用;13.平面向量与正弦定理、余弦定理;14. 函数与方程思想在解三角形应用举例中的应用.
一、单选题 1.(2020·湖北荆门外语学校期中)在 ABC 中,内角 、 、 A B C 对应的边分别为 a b c 、 、 ,若120 , 2 A b ,1 c ,则边长 a 为(
)
A. 7
B. 5
C. 3
D.2 【答案】A 【解析】
在 ABC 中, 120 , 2 A b , 1 c , 所以2 2 212 cos 4 1 2 2 1 72a b c bc A , 7 a 故选:A. 2. (2020·湖北黄冈·期末)在△ABC中,内角 A,B,C的对边分别为 a ,b,c,已知3cos5A , 8 a ,5 b ,则 B (
)
A.4 B.
6 C.3 D.56 【答案】B 【解析】
因为3cos5A ,所以 A 为钝角,4sin5A , B 为锐角. 由sin sina bA B 得45sin 15sin8 2b ABa ,所以6B . 故选:B. 3.(2020·上海市七宝中学期末)在 ABC 中,“ tan tan A B ”是“ sin sin A B ”的(
)
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】
在 ABC 中,若6A ,23B ,则3tan3A , tan 3 B ,满足 tan tan A B ;三角形中大边对大角,此时 A B ,所以 a b ,根据正弦定理得到 sin sin A B , 所以由“ tan tan A B ”不能推出“ sin sin A B ”; 若 sin sin A B ,根据正弦定理,得到 a b ,根据三角形中大边对大角得 A B ,若 A 为钝角,则 tan 0 A ,不能推出 tan tan A B ; 综上,“ tan tan A B ”是“ sin sin A B ”的既不充分也不必要条件. 故选:D. 4.(2020·邯郸市永年区第一中学期末)在 ABC 中,若2 2 2sin sin sin A B C < ,则 ABC 的形状是(
) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】A 【解析】
因为在 ABC 中,满足2 2 2sin sin sin A B C , 由正弦定理知 sin ,sin ,sin2 2 2a b cA B CR R R ,代入上式得2 2 2a b c , 又由余弦定理可得2 2 2cos 02a b cCab ,因为 C是三角形的内角,所以 ( , )2C , 所以 ABC 为钝角三角形,故选 A. 5.(2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考(文))在△ABC中,a、b、c 分别是角 A、B、C的对边,如果 2b=a+c,
B=30°,△ABC的面积是 32 ,则 b=(
)
A.1+ 3
B. 132 C.223 D.2+ 3
【答案】A 【解析】
由已知1 1 1 3sin sin302 2 4 2S ac B ac ac , 6 ac , 所以2 2 2 2 22 cos30 ( ) 2 3 4 6(2 3) b a c ac a c ac ac b ,解得 3 1 b . 故选:A. 6.(2020·全国高三其他(理))设 G 是 ABC 的重心,且满足等式7sin 3sin 3 7sin 0 A GA B GB C GC ,则 B (
)
A.45° B.60° C.90° D.120° 【答案】B 【解析】
∵ 7sin 3sin 3 7sin 0 A GA B GB C GC ,又 G 是 ABC 的重心 ∴0 GA GB GC ,观察类比得:
7sin 3sin 3 7sin 1 A B C
由正弦定理知:
7 3 3 7 a b c ,则 3 a c , 7 b c
即得2 2 2 2 2 22 210 7 3 1cos2 2 3 6 2a c b c c cBac c c ,∴ 60 B
故选:B. 7.(2020·全国高三月考(文))在 OAB 中,已知 2 OB ,1 AB , 45 AOB ,点 P 满足 , OP OA OB R ,其中 , 满足 23 ,则 OP 的最小值为(
)
A.3 55 B.2 55 C.63 D.62 【答案】A 【解析】
在 OAB 中,已知 2 OB , 1 AB uuur, 45 AOB
由正弦定理可得sin sinAB OBAOB OAB
代入1 2sin 22OAB,解得 sin 1 OAB
即2OAB
所以 OAB 为等腰直角三角形 以 O 为原点, OB 所在直线为 x 轴,以 OB 的垂线为 y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:
则点 A 坐标为2 2,2 2 所以2 2,2 2OA , 2,0 OB
因为 , OP OA OB R
则 2 2, 2,02 2OP 2 22 ,2 2
则2 22 222 2OP 2 22 2 因为 2 3 ,则 3 2
代入上式可得 223 2 2 2 3 2
218 5 18 29 955 5 所以当95 时, min9 3 55 5OP
故选:A 8.(2020·内蒙古扎鲁特旗·扎鲁特一中期末(理))在锐角三角形 ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a ,b , c ,且2 2 222cos2a c bAc bc , 4 c , ABC 面积的取值范围是(
)
A. 2 3,8 3 B. 2,8
C. 2 3,8 D.2 3,8 【答案】A 【解析】
∵2 2 222cos2a c bAc bc ,由余弦定理得22 cos2cos2ac BAc bc, cos cos 2 cos a B b A c A ,由正弦定理得 sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A , 即 sin( ) 2sin cos sin A B C A C ,又 (0, ) C , sin 0 C ,∴1cos2A ,∵ (0, ) A ,∴3A , 三角形为锐角三角形,∴23 2B C ,6C ,即 ,6 2C , 1sin 32ABCS bc A b △, 由正弦定理sin sinb cB C 得24sin4sin 2 3cos 2sin 2 3 32sin sin sin tanCB C CbC C C C , ∵ ,6 2C ,∴3tan3C ,∴ 2 8 b ,∴ (2 3,8 3)ABCS △. 故选:A. 9.(2020·内蒙古扎鲁特旗·扎鲁特一中期末(文))在 ABC 中,内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a , b ,c 且3 sin sin( )tan a B b B C C ,则 cosC = (
)
A.12 B.12
C.32 D.32
【答案】A 【解析】
在 ABC 中, sin( ) sin B C A
所以 sin( )tan sin tan b B C C b A C , 所以 3 sin sin tan a B b A C , 由正弦定理可知, 3sin sin sin sin tan A B B A C , 又 , 0, A B , 所以 tan 3 C , 又 0, C ,所以3C , 所以1cos2C . 故选:A. 10.(2020·全国高一单元测试)在 ABC 中,角 A B C , , 的对边分别为 a b c , , ,已知 2 5 c ,且2 sin cos sin sin a C B a A b B 5sin2b C ,点 O 满足 0 OA OB OC ,3cos8CAO ,则ABC 的面积为(
)
A.553 B. 3 5
C. 5 2
D.55
【答案】D 【解析】
由52 sin cos sin sin sin2a C B a A b B b C , 可得2 2 22 2522 2a c bac a b bcac ,即52c b .又 2 5 c ,所以 4 b . 因为0 OA OB OC ,所以点 O 为 ABC 的重心,
所以3 AB AC AO ,所以3 AB AO AC , 两边平方得2 2| 9 | 6 cos AB AO AO AC CAO 2| | AC . 因为3cos8CAO ,所以2 2 23| 9 | 6 | |8AB AO AO AC AC , 于是29| | AO 9 4 0 AO ,所以43AO , AOC △ 的面积为1 1 4sin 42 2 3AO AC CAO 23 5518 3 . 因为 ABC 的面积是 AOC △ 面积的 3 倍.故 ABC 的面积为 55 . 二、多选题 11.(2020·江苏盱眙·马坝高中期中)(多选)在 ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 1 a , 3 b , 30 A ,则 B (
)
A. 30°
B. 150
C. 60
D. 120
【答案】CD 【解析】
由正弦定理sin sina bA B , 得13sin 32sin1 2b ABa . 又 b a , 0 180 B , 所以 60 B 或
120 B , 故选:CD. 12. (2020·河北月考)
a , b , c 分别为ABC 内角 A , B , C 的对边.已知 sin 3 sin b A b c B ,且1cos3A ,则(
)
A. 3 a c b B. tan2 2 A C. ABC 的周长为 4c
D. ABC 的面积为22 29c
【答案】ABD
【解析】
∵ sin 3 sin b A b c B , ∴ 3 ab b c b , ∴ 3 a b c . 由余弦定理得 22 23 2 cos b c b c bc A , 整理得23b c ,又1cos3A , ∴2 2sin3A , tan 2 2 A . 周长为 4 a b c b . 故 ABC 的面积为21 2 2sin2 9bc A c . 故选:ABD 13. (2020·江苏镇江·期末)在 ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C的对边,已知coscos 2B bC a c,3 34ABCS △,且 3 b ,则(
)
A.1cos2B
B.3cos2B C.3 a c D. ac 3 2 【答案】AD 【解析】
∵cos sincos 2 2sin sinB b BC a c A C , 整理可得:
sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B , 可得 sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B , ∵A为三角形内角, sin 0 A , ∴1cos2B ,故 A 正确,B错误, ∵ 0, B , ∴3B ,
∵3 34ABCS △,且 3 b , ∴3 3 1 1 3 3sin4 2 2 2 4ac B a c ac , 解得 3 ac , 由余弦定理得 2 22 29 3 9 a c ac a c ac a c , 解得 ac 3 2 ,故 C错误,D 正确. 故选:AD. 14.(2020·山东潍坊·高一期末)在 ABC 中, a , b , c 分别是内角 A , B , C 所对的边, 3 2 sin a c A ,且 02C , 4 b ,则以下说法正确的是(
)
A.3C
B.若72c ,则1cos7B
C.若 sin 2cos sin A B C ,则 ABC 是等边三角形 D.若 ABC 的面积是 2 3 ,则该三角形外接圆半径为 4 【答案】AC 【解析】
由正弦定理可将条件 3 2 sin a c A 转化为 3sin 2sin sin A C A , 因为 sin 0 A ,故3sin2C , 因为 (0, )2C ,则3C ,故 A 正确; 若72c ,则由正弦定理可知sin sinc bC B ,则4 3 4 3sin sin72 72bB Cc , 因为 (0, ) B ,则248 1cos 1 149 7B sin B ,故 B 错误; 若 sin 2cos sin A B C ,根据正弦定理可得 2 cos a c B , 又因为 3 2 sin a c A ,即2 3sin3a c A ,即有2 3sin 2 cos3c A c B ,所以 sin 3cos A B ,
因为23A B C ,则23A B ,故2sin( ) 3cos3B B , 整理得3 1cos sin 3cos2 2B B B ,即1 3sin cos2 2B B , 解得 tan 3 B ,故3B ,则3A , 即3A B C ,所以 ABC 是等边三角形,故 C 正确; 若 ABC 的面积是 2 3 ,即1sin 2 32ab C ,解得 2 a , 由余弦定理可得2 2 212 cos 4 16 2 2 4 122c a b ab C ,即2 3 c
设三角形的外接圆半径是 R , 由正弦定理可得2 32 4sin 32cRC ,则该三角形外接圆半径为 2,故 D错误, 故选:AC. 三、填空题 15.(2020·江苏南通·高三其他)在平面四边形 ABCD中,已知点 E,F 分別在边 AD,BC 上,3 AD AE ,3 BC BF , 3 AB , 2 EF , 3 DC ,则向量 AB 与 DC 的夹角的余弦值为________. 【答案】5 312 【解析】
如图,连结 AC,取点 G,使得 AC=3AG,连结 EG,FG, 则 EGF 为 AB 与 DC 所成交的补角, 在 EGF △ 中,2 31, , 23 EG FG EF 由余弦定理可得
2 2 22 31 ( ) 25 33cos12 2 32 13 EGF,所以 AB 与 DC 所成交角的余弦值为5 312 故答案为:5 312 16.(2020·湖北蔡甸·汉阳一中高一期中)已知 , , a b c 分别为 ABC 的三个内角, , A B C 的对边,8 b ,且2 23cos5ac B a b bc , O 为 ABC 内一点,且满足0 OA OB OC , 30 BAO ,则 OA __________. 【答案】6415 【解析】
ABC 中,2 23cos5ac B a b bc , 由余弦定理可得2 2 22 232 5a c bac a b bcac , 2 2 265b c a bc , 2 2 2635cos2 2 5bcb c aAbc bc , 4sin5A ; 6 b , 30 BAO ,且0 OA OB OC , O 为 ABC 的重心,且13ABO ABCS S ,如图所示; 则1 1 1| | sin30 sin2 3 2c OA cb BAC , 求得1 4 64| | 8 23 5 15OA . 故答案为:6415.
17.(2020·四川省武胜烈面中学校高一期中)在 ABC 中,已知 2 3 cos cos b b C c B ,点 M,N在边AC , BC 上,满足13AM AC ,12BN BC , BM 与 AN 交于点 P,则CPAB的取值范围是________. 【答案】1,25 【解析】
由 2 3 cos cos b b C c B ,得 2sin 3(sin cos sin cos ) 3sin( ) 3sin B B C C B B C A ,所以 23 b a , 设 CBa , CA b , ∵点 M,N 在边 AC , BC 上,满足13AM AC ,12BN BC , BM 与 AN 交于点 P, ∴ 1 1 112 2 2CP CN NP CB NA CB CA CN a b ①, 又 2 2 213 3 3CP CM MP b MB b CB CM a b ②, 由①②得1(1 )22(1 )3 ,解得12 ,14 , ∴1 14 2CP a b ,又 ABa b ,由 2 3 b a ,可设 3 , 2 b k a k , ∴22 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 1 9 3cos cos5 3cos16 4 4 4 4 22 cos 4 9 12 cos 26 24cosa b ab C k k k CCPCa b ab C k k k C CAB 1 78 8(13 12cos ) C , 根据 1 cos 1 C 可得221425CPAB , ∴CPAB的取值范围是1,25 . 故答案为:1,25 . 四、双空题
18.(2020·浙江高三月考)在锐角 ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,3A ,7 a ,3 c ,则 b ______, sin sin B C ______. 【答案】2
5 2114
【解析】
由2 2 22 cos a b c bc A 得:
2 b 或 1 b ,因为锐角 ABC ,所以 2 b ;由sin sin sina b cA B C 可得:21sin7B ,3 21sin14C ,∴5 21sin sin14B C . 故答案为:2,5 2114. 19.(2020·夏津第一中学高一月考)在△ABC 中,角 A,B,C所对应的边分别为 a,b,c,已知 b=1,c=2且 2cosA(bcosC+ccosB)=a,则 A=__________;若 M为边 BC 的中点,则|AM|=__________ 【答案】3
72
【解析】
∵2cosA(bcosC+ccosB)=a,∴由正弦定理可得 2cosA(sinBcosC+sinCcosB)=sinA, ∴2cosAsin(B+C)=2cosAsinA=sinA,∵A∈(0,π),sinA≠0,∴cosA=12,可得 A=3. ∵M为边 BC 的中点,b=1,c=2, ∴则 2 AM = ABAC ,两边平方可得 4| AM | 2 =| AB | 2 +| AC | 2 +2 AB • AC =1+4+2×1×2×12=7, ∴解得| AM|=72. 故答案为:73 2,
20.(2020·浙江省东阳中学高一期中)在 ABC 中, A , B , C 所对的边为 a , b , c ,点 D 为边 AC 上
的中点,已知 5 a , 7 b , 8 c ,则 B ______; BD ______. 【答案】3
1292
【解析】
由题意2 2 225 64 49 1cos =2 2 5 8 2a c bBac , 又因为 (0, ) B ,所以3B ; 又 1=2BD BA BC , 两边平方可得 22 12 cos4BD BA BC BA BC B
1 1 12964 25 2 8 54 2 2 故答案为:12,1292.
故答案为:
3,1292. 21.(2020·湖南岳阳·期末)已知锐角 ABC ,同时满足下列四个条件中的三个:①3A ;② 13 a ;③15 c ;④1sin3C .则这三个条件是________(只填写序号), ABC 的面积是________ 【答案】①②③
30 3
【解...
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【中国文学】 日期:2020-03-15
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小数乘法计算方法
小数乘法得计算方法理解小数乘法计算得法则,能够比较熟练得进行小数乘法笔算与简单得口算重点掌握小数乘法
【中国文学】 日期:2020-12-22
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【中国文学】 日期:2020-02-28
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【中国文学】 日期:2020-09-23
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【中国文学】 日期:2020-02-27
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清明节踏青简笔画【清明节踏青图片】
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【中国文学】 日期:2019-05-08
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实验一 静电场仿真 1 实验目的建立静电场中电场及电位空间分布的直观概念。 2 实验仪器计算机一台3
【中国文学】 日期:2020-08-26
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史玉柱,一个有着传奇和神话般经历的人,而且,这个传奇和神话正在续写。下面小编就为大家解开史玉柱创业故事,希望能帮到你。 史玉柱创业故事篇一 史玉柱的创业史可以分为...
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国家开放大学电大公文文体写作试题及答案
公文文体的写作(二)单元测试题 1 决定属于A.上行文B.下行文C.平行文D.既可上行也可下行 2
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山东省生产经营单位安全生产主体责任规定(2013年2月2日山东省人民政府令第260号公布根据2016
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实验一 直流激励时霍尔传感器位移特性实验一、实验目得:了解霍尔式传感器原理与应用。 二、基本原理:金
【外国名著】 日期:2020-11-09
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六年级下册《比例尺》单元测试题
一、填空题: 1、比例尺=( ):( ),比例尺实际上是一个( )。 2、一幅图的比例尺是。A、B两
【外国名著】 日期:2020-09-29
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人教版高一语文必背 人教版高一语文《老王》赏析
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【外国名著】 日期:2020-03-10
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中国的抗日名将是数不胜数,其中张灵甫大家了解多少呢?下面就随小编看看缅怀革命先烈的黑板报内容,希望喜欢哦。 缅怀革命先烈黑板报图片欣赏 缅怀革命先烈黑板报图片1...
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3 8妇女节送卡片表示感恩与祝福是在好不过了,小编整理了3 8妇女节手工制作感恩卡图片,希望大家喜欢! 3 8妇女节手工制作感恩卡图片展示 3 8妇女节手工制作感恩卡图...
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《中小学教师违反职业道德行为处理办法》实施细则本文关键词:实施细则,职业道德,中小学教师,违反,办法
【外国名著】 日期:2021-03-24
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金融术语中英文对照
ABS资产担保证券(AssetBackedSecurities的英文缩写) Acceleratedd
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梧桐花为梧桐科植物梧桐的花,植物形态详梧桐子条。今天小编为你整理了梧桐花的花语,欢迎阅读。 梧桐花的花语是:情窦初开 在春季里晚开的花朵,有着恬淡的气息。 ...
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今天小编就为你介绍关于大学生音乐欣赏论文,下面是!小编给你搜集了相关资料!希望可以能帮助到大家。 大学生音乐欣赏论文—第一篇 音乐是生活不可缺少的一部分,学会欣...
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这些惊悚故事在短短的篇幅和时间之内让您感受到故事里传达出来的恐怖感,令你感到害怕。下面就是小编给大家整理的令人惊悚的故事,希望对你有用! 令人惊悚的故事篇1:学校...
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西部计划笔试题库(99题含答案) 1 第十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》,自
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人工智能就是人造智能,其英文表示是“ArtificialIntelligence”,简称AI。以下是小编整理的人工智能对人类影响英文作文的相关资料,欢迎阅读! 人工智能对人类影响英文作文...
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“文言文”的意思就是指“美好的语言文章”也叫做语体文。文言文虚词于的用法有哪些呢?下面是小编整理的关于文言文虚词于的用法,欢迎阅读 文言文虚词于作为名词的用法 ...
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学生高考动员演讲稿3篇高考动员演讲稿11 老师们、同学们: 大家下午好!漫漫高考长征路已经进入尾声了
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最新企业安全的演讲稿5篇 演讲稿是作为在特定的情境中供口语表达使用的文稿。在充满活力,日益开放的今天
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XX镇扶贫项目实施专项整治工作总结 为深入贯彻精准扶贫精准脱贫基本方略,认真落实党中央、国务院,省委
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对乡镇领导班子干部成员的批评看法范文 一、对党委书记XXX同志的批评看法〔3条〕 1、与干部交流偏少
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群英乡扶贫资金项目((芬坡村祖埇村生产道路硬化工程))绩效自评报告 一、基本情况(一)群英乡扶贫资金
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党委书记在警示教育大会上的讲话55篇汇编 党委书记在警示教育大会上的讲话(一) 同志们: 根据省州委
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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关于12021年召开巡视整改专题民主生活会对照检查材料 按照中央巡视组要求和省、市、区委统一部署,区
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
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消防安全知识培训试题姓名: 部门班组: 成绩: 一:填空题,每空4分,共44分。 1、灭火剂是通过隔
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涉疫重点人员“五包一”居家隔离医学观察工作流程 目前,全球疫情仍处于大流行状
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疫情防控致全体师生员工及家长的一封信 各位师生员工及全体家长朋友: 暑假已至,近期我省部分地方发现确
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