直线与圆方程例题(总结版)

时间：2021-03-26 18:15:59 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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直线与圆的方程例题(总结版) 本文关键词：例题，方程，直线

直线与圆的方程例题(总结版) 本文简介：【考试大纲要求】1．理解直线的斜率的概念，掌握两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．4．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．5．掌握圆的标准方程和一

直线与圆的方程例题(总结版) 本文内容：

【考试大纲要求】

1．理解直线的斜率的概念，掌握两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．

2．掌握两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．

4．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．

5．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.

6．掌握直线与圆的位置关系的判断方法，能利用直线和圆的位置关系解决相关问题.

直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程．

【基础知识归纳】

1．直线方程

（1）直线的倾斜角

直线倾斜角的取值范围是：.

（2）直线的斜率.

倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，斜率的取值范围是（－∞，+∞）.

(3)直线的方向向量

设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量

向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.特别地，垂直于轴的直线的一个方向向量为＝(0,1)

.

说明：直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜程度的．

每一条直线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条直线都有斜率，要注意三者之间的内在联系．

（4）直线方程的五种形式

点斜式：，(斜率存在)

斜截式：

(斜率存在)

两点式：，(不垂直坐标轴)

截距式：

(不垂直坐标轴,不过原点)

一般式：.

引申：过直线,交点的直线系方程为：

（λ∈R）(除l2外)．

2．两条直线的位置关系

（1）直线与直线的位置关系

存在斜率的两直线；.有：

①

且；

②；

③与相交

0④与重合

且.

一般式的直线,.

有①；且;

②;

③与相交;④与重合；且

（2）点与直线的位置关系

若点在直线上，则有；

若点不在直上，则有，此时点到直线的距离为．

平行直线与之间的距离为

．

（3）两条直线的交点

直线,的公共点的坐标是方程

的解

相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；

平行方程组无解.

重合方程组有无数解.

3．曲线与方程

4.

圆的方程

(1)圆的定义

(2)圆的方程

标准式：，其中为圆的半径，为圆心．

一般式：（）.其中圆心为

，半径为

参数方程:，是参数）.

消去θ可得普通方程

5.

点与圆的位置关系

判断点与圆的位置关系代入方程看符号.

6.直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交.

有两种判断方法：

（1）代数法：（判别式法）时分别相离、相交、

相切.

（2）几何法：圆心到直线的距离

时相离、相交、相切.

7．弦长求法

（1）几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则

．

（2）解析法：用韦达定理，弦长公式.

8．圆与圆的位置关系

题型1：直线的倾斜角

1．（07·上海）直线的倾斜角

．

答案：

解析：直线可化为，

．

题型2

：直线的斜率

2．（08·安徽卷）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为

（

）

A．

B．

C．

D．

答案：C

解析：记圆心为,记上、下两切点分别记为，则

，∴的斜率

即.

题型3

直线的方程

3．（07·浙江）直线关于直线对称的直线方程是

（

）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

答案：D

解析：(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于对称点为(2-x,y)在直线上,即，化简得答案D.

题型4：直线方程的综合题

y

x

O

B

A

F

E

P

C

4．（08·江苏卷）在平面直角坐标系中，设三角形ABC

的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C

(c,0)

，点P（0，p）在线段AO

上（异于端点），设a,b,c,p

均为非零实数，直线BP,CP

分别交AC,AB

于点E,F

，一同学已正确算的OE的方程：，请你求OF的方程：

___________________.

答案：

解析：直线AB的方程为

①

直线CP的方程为

②

②-①得，

直线AB与CF的交点F坐标满足此方程，原点O的坐标也满足此方程，所以OF的方程为.（若敢于类比猜想，交换x的系数中b、c的位置，便很快可得结果.）

题型5：直线与直线的位置关系

5．（06·福建）已知两条直线和互相垂直，则等于

(

)

A．2

B．1

C．0

D．

答案

D

解析：两条直线和互相垂直，则，∴

a=－1，选D.

题型6：点与直线的位置关系

6．（06·湖南）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

(

)

A．36

B.

18

C.

D.

答案C

解析：圆的圆心为(2，2)，半径为3，

圆心到直线的距离为>3，

圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R

=6，选C.

题型7：平行线间的距离

【例7】（07·四川）如图，、、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、、上，则△的边长是

(

)

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】过点Ｃ作的垂线，以、为轴、轴建立平面直角坐标系．设、、，由知边长，检验A：，无解；

检验B：，无解；

检验D：，正确.

题型8：动点的轨迹方程

A

B

C

D

O

x

y

8．（08·上海）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称P优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧

(

)

Ａ．弧AB

B．弧BC

C．弧CD

D．弧DA

答案D

解析：分别在弧AB、弧BC、弧CD、弧DA上任意取一点Q，只有在弧DA上的点Q满足不存在中的其它点优于Q，故选D．

题型9：圆的方程

9.

(06·重庆)以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程为

（

）

A．

B．

C．

D．

答案

C

解析

＝3，故选C.

10.。（08·福建)若直线3x+4y+m=0与圆

（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是

.

解析：将圆化成标准方程得

，圆心，半径.

直线与圆相离，

∴，∴，∴

.

题型10：直线与圆的位置关系

11.（09?辽宁）已知圆C与直线x－y＝0

及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为

（

）

A.

B.

C.

D.

答案B

解析：圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.

题型11：圆与圆的位置关系

12．（07·山东）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_____

答案

【解析】曲线化为

，其圆心到直线的距离为

所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为.

【重点方法提炼】在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面：

（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围．

（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍（m＞0）”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解．

（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论．

（4）有关圆的问题解答时，应注意利用圆的平面几何性质，如圆与直线相切、相交的性质，圆与圆相切的性质，这样可以使问题简化．

（5）对独特的数学方法——坐标法要引起足够重视．要注意学习如何借助于坐标系，用代数方法来研究几何问题，体会这种数形结合的思想．

（6）首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终．

1.（2004年湖北，文2）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为3∶2，则m的值为

A.－

B.－

C.

D.4

解析：设M（x，y），点M分M1M2所成比为λ=.

得x==3，y==5.

代入y=mx－7，得m=4.

答案：D

2.（2003年辽宁）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是

解：根据a的符号和表示直线的位置特征，显见C正确，因为当a0时，直线ax+2y-z=0的斜率k=-a/2>kAC=

-1,a-4,综合得a的取值范围是（，2

）

14．（2008全国2，11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（

）

A．3B．2C．D．

15.（2010

福建，8）设不等式组所表示的平面区域是，平面区域与关于直线3x-4y-9对称。对于中的任意点A与中的任意点B，∣AB∣的最小值等于

A.

B.

4

C.

D.

2

16．（2010

浙江，7）若实数满足不等式组且的最大值为9，则实数

（A）-2（B）-1（C）1（D）2

17．（2009

安徽

7）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是

（A）

（B）

（C）

（D）

18.

(2009

宁夏海南6)设满足则

（A）有最小值2，最大值3

（B）有最小值2，无最大值

（C）有最大值3，无最小值

（D）既无最小值，也无最大值

【答案】B

【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B

19．(2009

福建9)在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为

A.

-5

B.

1

C.

2

D.

3

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】

如图可得黄色即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.

20．(2008山东11)已知圆的方程为

设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

（

）

（A）10（B）20（C）30（D）40

21．(2010

江苏9)在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是_________

【解析】考查圆与直线的位置关系。

圆半径为2，

圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）。

22．（2009，上海，22）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。

（1）

求双曲线C的方程；

（2）

若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；

（3）

证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.

【解析】（1）设双曲线的方程为

，解双曲线的方程为

（2）直线，直线

由题意，得，解得

（3）【证法一】设过原点且平行于的直线

则直线与的距离当时，

又双曲线的渐近线为

双曲线的右支在直线的右下方，

双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为

【证法二】假设双曲线右支上存在点到直线的距离为，

则

由（1）得

设，当时，；

将代入（2）得，

方程不存在正根，即假设不成立，

故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为

圆的切线方程：

(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2

椭圆的切线方程

(x·x0)/a2

+

(y·y0)/b2=1.

双曲线的切线方程(x·x0)/a2

-

(y·y0)/b2=1.

抛物线切线方程

y·y0

=

p·（x+x0）

【高考实战演习】

一．选择题

1．（09·湖南重点中学联考）过定点作直线分别交轴、轴正向于A、B两点，若使△ABC（O为坐标原点）的面积最小，则的方程是

（

）

A.

B.

C.

D.

2．（09·湖北重点中学联考）若P（2，－1）为圆（x－1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是

（

）

A.x－y－3=0

B.2x+y－3=0

C.x+y－1=0

D.2x－y－5=0

3.（09·陕西）过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为（

）

A.

B.2

C.

D.2

4.（09·宁夏海南）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为

(

)

A.+=1

B.+=1

C.+=1

D.+=1

5.（09·重庆）直线与圆的位置关系为

（

）

A．相切

B．相交但直线不过圆心

C．直线过圆心

D．相离

6.（09·重庆）圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为

（

）

A．

B．

C．D．

7．（08·湖北）过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有

（

）

A.16条

B.

17条

C.

32条

D.

34条

8．（08·北京）过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为

（

）

A．

B．C．D．

二．填空题

9．（07·上海）已知与，若两直线平行，则的值为____________.

10.（08·天津）已知圆C的圆心与点关于直线对称．直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为____________．

11.（09·四川）若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是

w.

12.（09·全国）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是:

①

②

③

④⑤

其中正确答案的序号是

.（写出所有正确答案的序号）

13.（09·天津）若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，则a=___________

.

14．（09·辽宁）已知圆C与直线x－y＝0

及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为_____________.

三．解答题

15．

（09·广西重点中学第一次联考）设直线过点A（2，4），它被平行线x–y

+1=0与x-y-l=0所截得的线段的中点在直线x+2y-3=0上，求直线的方程.

16．（08·北京）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．

17．（08·江苏）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：

（Ⅰ）求实数b

的取值范围；

（Ⅱ）求圆C

的方程；

（Ⅲ）问圆C

是否经过某定点（其坐标与b

无关）？请证明你的结论．

18．(08·海淀一模)如图，在平面直角坐标系中，N为圆A：上的一动点，点B（1，0），点M是BN中点，点P在线段AN上，且

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

（Ⅱ）试判断以PB为直径的圆与圆=4的位置关系，并说明理由.

19．（08·年西城一模）在面积为9的中，，且.现建立以A点为坐标原点，以的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示.

（Ⅰ）求AB、AC所在的直线方程；

(Ⅱ)求以AB、AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；

(Ⅲ)过D分别作AB、AC所在直线的垂线DF、DE（E、F为垂足），求的值.

20.（08·朝阳一模）已知点分别是射线，

上的动点，为坐标原点，且

的面积为定值2．

(Ⅰ）求线段中点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点作直线，与曲

线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程．

参考答案

一．选择题

1．【答案】D

【解析】由题设，可知，且，

∴

当且仅当时，.∴

的方程为：

∴应选D.

2．【答案】A

【解析】由（x－1）2+y2=25知圆心为Q（1，0）.据kQP·kAB=－1，

∴kAB=－=1（其中kQP==－1）.

∴AB的方程为y=（x－2）－1=x－3，

即x－y－3=0.∴

应选A.

3.

【答案】D

【解析】直线方程,圆的方程为：

圆心到直线的距离，由垂径定理知所求弦长为

，选D.

4.【答案】B

【解析】设圆的圆心为（a，b），则依题意，有，

解得，对称圆的半径不变，为1.

5.【答案】B

【解析】圆心为到直线，即的距离，

而，选B.

6.【答案】A

【解法】设圆心坐标为，则由题意知，解得，

故圆的方程为.

7．【答案】C

【解析】由已知得圆心为P(-1，2)，半径为13，显然过A点的弦长中最长的是直径，此时只有一条，其长度为26，过A点的弦长中最短的是过A点且垂直于线段PA的弦，也只有一条，其长度为10（PA的长为12，弦长=2=10），而其它的弦可以看成是绕A点不间断旋转而成的，并且除了最长与最短的外，均有两条件弦关于过A点的直径对称，所以所求的弦共有2（26-10-1）+2=32．故选C．

8．【答案】C

【解析】此圆的圆心为C（5，1），半径

.设直线上的点P符合要求，连结PC，则由题意知，

又.

设与⊙切于点A，连结AC，则.在中，

，∴，

∴l1与l2的夹角为60°.

故选C.

二．填空题

9．【答案】

【解析】

.

10.【答案】.

【解析】圆C的圆心与P（－2,1）关于直线y=x+1对称的圆心为(0,-1),设该圆的方程为设AB中点为M，连结CM、CA，在三角形CMA中

故圆的方程为

11.【答案】4

【解析】由题知，

且，又，

所以有∴.

12.【答案】①或⑤

【解析】两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，

所以直线的倾斜角等于或.

13.【答案】1

【解析】由知的半径为,解之得.

14．【答案】

【解析】圆心在x＋y＝0上,结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.

三．解答题

15．【答案】3x-y-2=0

【解析】由几何的基本的性质，被两平行线所截得的线段的中点一定在y=x上，将x+2y-3=0与y=x联立构成方程组解得交点的坐标为（1，1）点，又由直线

过点A（2，4）由两点式得直线

的方程为：3x-y-2=0.

16．【解析】（Ⅰ）由题意得直线的方

程为．因为四边形为菱形，所以．于是可设直线的方程为．

由得．

因为在椭圆上，

所以，

解得．

设A，B两点坐标分别为，

则，，，．

所以．

所以的中点坐标为．

由四边形为菱形可知，

点在直线上，

所以，解得．

所以直线的方程为，

即．

（Ⅱ）因为四边形为菱形，

且，

所以．

所以菱形的面积．

由（Ⅰ）可得

所以

．

所以当时，菱形的面积取得最大值．

17．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．

（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，

由题意b≠0

且Δ＞0，解得b＜1

且b≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为：，

令＝0

得．

这与＝0

是同一个方程，

故D＝2，F＝．

令＝0

得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．

所以圆C

的方程为

.

（Ⅲ）圆C

必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：将（0，1）代入圆C

的方程，

左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，所以圆C

必过定点（0，1）．

同理可证圆C

必过定点（－2，1）．

18．【解析】由点M是BN中点，

又，可知PM垂直平分BN.所以|PN|=|PB|，又|PA|+|PN|=|AN|，

所以|PA|+|PB|=4.

由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.

设椭圆方程为，

由2a=4，2c=2，可得a2=4，b2=3.

动点P的轨迹方程为

（II）设点的中点为Q，

则，

即以PB为直径的圆的圆心为，半径为，

又圆的圆心为O（0，0），半径r2=2，

又

故|OQ|=r2－r1，即两圆内切.

19．【解析】（Ⅰ）设

则由

为锐角，，

AC所在的直线方程为y=2x

AB所在的直线方程为y=

-2x

（Ⅱ）设所求双曲线为

设，，

由可

，

即,由，

可得，又，

，

即，代入（1）得，

∴双曲线方程为

（Ⅲ）由题设可知，

∴

设点D为，则

又点D到AB，AC所在直线距离

，，

=

20.【解析】（I）由题可设，

，，其中.

则

∵的面积为定值2，

∴

，消去，得．

由于，∴，所以点的轨迹方程为（）．

（II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为．

由消去得，

设点、、、的横坐标分别是、、、，∴由得

解之得：．

∴

由消去得：，

由消去得：，

∴.

由于为的三等分点，

∴.

解之得.

经检验，此时恰为的三等分点，故所求直线方程为.

21

篇2：高中物理万有引力定律知识点总结与典型例题精选

高中物理万有引力定律知识点总结与典型例题精选 本文关键词：例题，知识点，高中物理，典型，精选

高中物理万有引力定律知识点总结与典型例题精选 本文简介：万有引力定律人造地球卫星『夯实基础知识』1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）丹麦天文学家第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上；第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周

高中物理万有引力定律知识点总结与典型例题精选 本文内容：

万有引力定律

人造地球卫星

『夯实基础知识』

1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）

丹麦天文学家

第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上；

第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；

第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．即

开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。

2．万有引力定律及其应用

(1)

内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。

（1687年）

叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力，1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。

万有引力常量的测定——卡文迪许扭秤

实验原理是力矩平衡。

实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运动效果放大）。

万有引力常量的测定使卡文迪许成为“能称出地球质量的人”：对于地面附近的物体m，有（式中RE为地球半径或物体到地球球心间的距离），可得到。

(2)定律的适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体，r是两球心间的距离．

当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再适用，不能依公式算出F近为无穷大。

(3)

地球自转对地表物体重力的影响。

重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物O

O′

N

F心

ω

m

F引

mg

甲

体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，在纬度为的地表处，万有引力的一个分力充当物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力

F向=mRcos·ω2（方向垂直于地轴指向地轴），而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg，其方向与支持力N反向，应竖直向下，而不是指向地心。

由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极R逐渐减小，向心力mRcos·ω2减小，重力逐渐增大，相应重力加速度g也逐渐增大。

在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和m2g刚好在一条直线上，则有F＝F向＋m2g，所以m2g=F一F向＝G－m2Rω自2

。

物体在两极时，其受力情况如图丙所示，这时物体不再做圆周运动，没有向心力，物体受到的万有引力F引和支持力N是一对平衡力，此时物体的重力mg＝N＝F引。

N

ω

o

F引

丙

N

F引

o

ω

乙

综上所述

重力大小：两个极点处最大，等于万有引力；赤道上最小，其他地方介于两者之间，但差别很小。

重力方向：在赤道上和两极点的时候指向地心，其地方都不指向地心，但与万有引力的夹角很小。

由于地球自转缓慢，物体需要的向心力很小，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即≈mg

万有引力定律的应用：

基本方法：卫星或天体的运动看成匀速圆周运动，F万=F心(类似原子模型)

方法：轨道上正常转：

地面附近：G=

mg

GM=gR2

(黄金代换式)

（1）天体表面重力加速度问题

通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m2g＝G，

g=GM/R2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即gh=GM/（R+h）2，比较得gh=（）2·g

设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，由mg=得g=，由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为

（2）计算中心天体的质量

某星体m围绕中心天体m中做圆周运动的周期为T，圆周运动的轨道半径为r，则：

由得：

例如：利用月球可以计算地球的质量，利用地球可以计算太阳的质量。

可以注意到：环绕星体本身的质量在此是无法计算的（选择题）。

（3）计算中心天体的密度

ρ===

由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r及运行周期T，就可以算出天体的质量M．若知道行星的半径R则可得行星的密度

人造地球卫星。

这里特指绕地球做匀速圆周运动的人造卫星。

1、卫星的轨道平面：由于地球卫星做圆周运动的向心力是由万有引力提供的，所以卫星的轨道平面一定过地球球心，地球球心一定在卫星的轨道平面内。

2、原理：由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是有

3、表征卫星运动的物理量：线速度、角速度、周期等：

（1）向心加速度与r的平方成反比。

=当r取其最小值时，取得最大值。

a向max==g=9.8m/s2

（2）线速度v与r的平方根成反比

v=∴当h↑，v↓

当r取其最小值地球半径R时，v取得最大值。

V

max===7.9km/s

（3）角速度与r的二分之三次方成反比

=∴当h↑，ω↓

当r取其最小值地球半径R时，取得最大值。max==≈1.23×10－3rad/s

（4）周期T与r的二分之三次方成正比。

T=2∴当h↑，T↑

当r取其最小值地球半径R时，T取得最小值。

T

min=2=2≈84

min

卫星的能量：(类似原子模型)

r增v减小(EK减小V1>V4>V3

4.

★解析：设抛出点的高度为h，

可得

设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得：

可得

由万有引力定律与牛顿第二定律得：

联立以上各式解得。

6.

★解析：设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为l1和l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得M1：

G＝M1（）2

l1

，∴M2＝

对M2：G＝M2（）2

l2，∴M1＝

两式相加得M1＋M2＝（l1＋l2）＝。

11.解：（1）设A、B的角速度分别为ω1、ω2，经过时间t，A转过的角度为ω1t，B转过的角度为ω2t。A、B距离最近的条件是：

ω1t-ω2t=。

恒星对行星的引力提供向心力，则：

，

由得得出：，，

求得：。

12.

★解析：根据万有引力定律，，挖去的球体原来对质点m的引力为，而。所以剩下的部分对质点m的引力为

。

答案：

篇3：数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结

数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结 本文关键词：方法，数列，例题，公式，讲解

数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结 本文简介：数列的通项公式1.通项公式如果数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。2.数列的递推公式（1）如果已知数列的第一项，且任一项与它的前一项之间的关系可以用一个公式来表示。（2）递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可3.

数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结 本文内容：

数列的通项公式

1.通项公式

如果数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。

2.数列的递推公式

（1）如果已知数列的第一项，且任一项与它的前一项之间的关系可以用一个公式来表示。

（2）递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可

3.数列的前n项和与数列通项公式的关系

数列的前n项之和，叫做数列的前n项和，用表示，即

与通项的关系是

4.求数列通项公式的常用方法有：(前6种常用，特别是2,5,6)

1）、公式法，用等差数列或等比数列的定义求通项

2）前n项和与的关系法，

求解.

(注意：求完后一定要考虑合并通项)

3）、累（叠）加法：形如∴

4）.

累（叠）乘法：形如

∴

5）.待定系数法

：形如a=p

a+q（p≠1，pq≠0），（设a+k=p（a+k）构造新的等比数列）

6)

倒数法

：形如（两边取倒，构造新数列，然后用待定系数法或是等差数列）

7).

对数变换法

：形如，（然后用待定系数法或是等差数列）

8).除幂构造法:

形如

(然后用待定系数法或是等差数列)

9).

归纳—猜想—证明”法

直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法．

递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.

通项公式方法及典型例题

1.前n项和与的关系法

例1、已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。

（1）(1)Sn＝2n2－3n；

（2）

解：

(1)a1＝S1＝2－3＝－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，

由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.

（1），

当时===3

经验证也满足上式

∴=3

（2），当时，

由于不适合于此等式

。

∴

(点评：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。)

2.累加法:

型

2.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n；

解:由an＋1－an＝2n，把n＝1,2,3，…，n－1(n≥2)代入，得(n－1)个式子，

累加即可得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an－a1＝，

即an－a1＝2n－2，所以an＝2n－2＋a1＝2n－1.当n＝1时，a1＝1也符合，

所以an＝2n－1(n∈N*)．

3.累乘法

型，

3.

已知数列中满足a1=1，，求的通项公式.

解：∵

∴.

∴

a1=*1=

∴

4.待定系数法:

a=p

a+q（p≠1，pq≠0）型，

通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得

pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。

4.在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1.

由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，

令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列．

所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1，

所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)．

5.倒数变换法、形如的分式关系的递推公式，分子只有一项

（两边取倒，再分离常数化成求解）然后用待定系数法或是等差数列

例5.

已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由

得

是以首项为，公差为的等差数列

考点六、构造法

.形如

然后用待定系数法或是等差数列

6、已知数列满足求an．

解：将两边同除，得，变形为．

设，则．所以，

数列为首项，为公差的等比数列．

．因，所以=

得=．

求数列的通项公式

一、数列通项公式的求法

1、观察法

观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式

例、由数列的前几项写通项公式

（1）1，3，5，7，9…

（2）9，99，999，9999，

（3）

2、定义法：

当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差或公比。这种方法适应于已知数列类型的题目．

例（1）已知是一个等差数列，且。求的通项.；

（2）已知数列{}为等比数列，求数列{}的通项公式；

（3）已知等比数列，若，求数列的通项公式。

（4）数列中，，求的通项公式

（5）已知数列满足，，求的通项公式

（6）已知数列中,,且当时,则

;

.

3、公式法：

已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是：

注意：要先分n=1和n≥2

两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

例（1）已知数列的前n项和，求的通项公式。

（2）已知数列中,,则

.

（3）已知数列前n项和，求的通项公式

4

累加法：

利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.

反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为.

例.（1）数列中，，求的通项公式

（2）在数列中，

，

求数列的通项公式？

5、

累乘法:

利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:

的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).

例（1）已知数列的首项，且，求数列的通项公式

（2）已知数列的首项，求数列的通项

6、

凑配法（也叫构造新数列）:

将递推公式（为常数，，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫凑配法（构造新数列.）

例（1）数列中，，求的通项公式

（2）已知数列中,,,求的通项公式

7、

倒数变换：将递推数列,取倒数变成

的形式的方法叫倒数变换.

例（1）在数列中,,,求数列的通项公式？

求前n项和的方法

(1)公式法

①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方法：____________；

②等比数列前n项和Sn＝推导方法：乘公比，错位相减法．

③常见数列的前n项和：

a．1＋2＋3＋…＋n＝________________；

b．2＋4＋6＋…＋2n＝_________________；

c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝_____________；d．

e．

(2)分组求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可以分为几个等差或者等比数列或者常见的数列，即可以分别求和，然后再合并；

(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．

常见的裂项公式有：

①_x0001_

＝－；

②＝；

③＝－.

(4)错位相减：

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．这种方法主要用于求数列的前n项和，其中和分别是

和

；

(5)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．

考点二、分组求和法：

2.求数列的前n项和。

考点三、.裂项相消法：

3.

求数列的前n项和.

解：设

（裂项）

则

（裂项求和）

＝＝

考点四、错位相减法：

4.

求数列前n项的和.

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设…………………………………①

…………………………②

（设制错位,乘以公比）

①_x0001_

-

②得

（错位相减）

∴

考点五、倒序相加法：

5.

求的值

解：设………….

①

将①式右边反序得

…………②（反序）

又因为

①+②得

（反序相加）

＝89

∴

S＝44.5

数列求和练习

1、已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．

(1)求通项an及Sn；

(2)设{bn－an}是首项为1，公差为3的等差数列，求{bn}的通项公式及前n项和Tn.

3、已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13的值为(

)

A.

130

B.

260

C.

156

D.

168

4.

在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N+，其中a，b为常数，则ab＝________.

二、错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·

bn}的前n项和，其中{

an

}、{

bn

}分别是等差数列和等比数列.

2．设数列的前n项和为，为等比数列，且

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

例2．已知数列的首项，，…．

（Ⅰ）证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）数列的前项和．

2．设数列的前n项和为，为等比数列，且

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

三、分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

2、已知数列的通项公式为，则它的前n项的和

3：求数列的前n项和。

四、裂项相消法求和

[例1]

在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

练习1、设数列的前n项的和为，点均在函数的图像上

（1）求数列的通项公式；

（2）设是数列的前n项的和，求

3、数列的通项公式为，则它的前10项的和=

4、

5．已知数列是等差数列，其前项和为

（I）求数列的通项公式；

（II）求和：.

等差

等比

应用

例1.在等差数列中，，则

.

练习1.设{}为等差数列，公差d

=

-2，为其前n项和.若，则=（

）

A.18

B.20

C.22

D.24

2.已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=（

）

(A)

(B)

7

(C)

6

(D)

3.等差数列的前n项和为，且

=6，=4，

则公差d＝________

4.

等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝_______

5.

数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.

6.正项等比数列=

。

7.等比数列的前项和为,已知,,则

(A)

(B)

(C)

(D)

8.已知等差数列的公差为3，若成等比数列，则等于（

）

A．9

B．3C．

-3

D．-9

9.

设等差数列的前项和为,则

(

)

A.3

B.4

C.5

D.6

10.已知数列为等差数列，且，，那么则等于（

）

（A）

（B）

（C）

（D）

11.知数列为等差数列，是它的前项和.若，，则

(

)

A．10

B．16

C．20

D．24

12.在等比数列中，首项，，则公比为

.

13.

若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前项和__________.

14

．等比数列中,公比,记

(即表示数列的前

项之积),取最大值时n的值为（

）

A．8B．9C．9或10D．11

数列大题训练

1、已知等差数列满足：，，的前n项和为．

（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．

2．函数对任意都有

(1)求和的值

(2)数列满足：数列是等差数列吗？请给予证明．

3．已知数列满足是首项为1、公比为的等比数列．

(1)求的表达式；

(2)如果

求数列的前n项和．

4、数列的前项和记为

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）等差数列各项为正，前项和为，，又成等比数列，求.

5、已知数列是等差数列，且，是数列的前项和．

(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和；

(Ⅱ)

若数列满足，且是数列的前项和，求与．

6．

设是正数组成的数列，其前n项和为

并且对于所有的自然数与2的等差中项等于与2的等比中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)令

求证：

7、已知数列是等差数列，

；数列的前n项和是，且．

(Ⅰ)

求数列的通项公式；

(Ⅱ)

求证：数列是等比数列；

(Ⅲ)

记，求的前n项和

8.已知数列的前项和满足，其中．

（I）求数列的通项公式；

（II）设，求数列的前项和为．

9.已知数列的首项为，前项和，且数列是公差为的等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

10、已知数列满足

（1）求的通项公式；（2）证明：.

11.已知数列的前项和是，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求适合方程

的正整数的值．

数列大题训练(

答案

)

1、【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有

，解得，所以；==。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，

所以==，即数列的前n项和=

2．(1)因为

故

令得

即

(2)

：而

两式相加得

所以

又故数列是等差数列．

3．(1)

当时，

故

即

(2)因

故

…①

…②

①一②得

故

又故

4、解：（Ⅰ）由可得，

两式相减得：，

又∴

故是首项为1，公比为3的等比数列

∴

（Ⅱ）设的公比为，由得，可得，可得

故可设，又，

由题意可得，解得

∵等差数列的各项为正，∴

∴

∴

5、(Ⅰ)设数列的公差为，由题意可知：,解得:

…3分

∴

…………………………………5分

6．(1)由题意可知：整理得

所以故

整理得：由题意知

而

故

即数列为等差数列，其中

故

(2)令

则

故

故

7、解：(Ⅰ)设的公差为，则：，，

∵，，∴，∴．

………………………2分

∴．

…………………………………………4分

（Ⅱ）当时，，由，得．

…………………5分

当时，，，∴，即…7分

∴．

∴是以为首项，为公比的等比数列．

…………………………………9分

（Ⅲ）由（2）可知：．

∴．

∴．

∴．

∴

．……13分

∴．

8.解:（I）∵，

①

当，∴，当，∵，

②

①-②：，即：

………………………………4分

又∵，

，∴对都成立，所以是等比数列，∴

（II）∵，∴，

∴，

∴，即

.……………………………12分

9.（1）由已知得，∴．

当时，．

，∴，．

（2）由⑴可得．

当为偶数时，，

当为奇数时，为偶数

，综上，

10.（1）解

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，

∴，∴。

（2）证明：∵

∴，

∵n是正整数，∴，，

∴。

11.解：（1）

当时，，由，得

当时，∵

，

，

∴，即

∴

…5分

∴是以为首项，为公比的等比数列．故

（2）

，

（3）

解，得

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