第7讲,平面向量应用教师

时间：2021-02-01 20:50:53 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　 第七讲

　平面向量的应用 [玩转典例] 题型一 一

　与向量的模有关的问题 例 例 1

　(1)已知向量 a，b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ 10，则|b|＝________. (2)已知|a|＝2，|b|＝4，a，b 的夹角为 π3 ，以 a，b 为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度． (1)[解析] 依题意，可知|2a－b| 2 ＝4|a| 2 －4a·b＋|b| 2 ＝4－4|a||b|·cos 45°＋|b| 2 ＝4－2 2|b|＋|b| 2 ＝10，即|b| 2 －2 2|b|－6＝0，∴|b|＝ 2 2＋ 322＝3 2(负值舍去)． [答案] 3 2 (2)[解] ∵平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为|a－b|， ∴|a－b|＝ a－b 2 ＝ a 2 －2a·b＋b 2

　＝ 4－2×2×4×cos π3 ＋16＝2 3. 例 例 2

　 若向量 a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________． [解析] ∵a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)， ∴a－b＝(2x－1,3－x)－(1－x,2x－1)＝(3x－2，4－3x)， ∴|a－b|＝ 3x－2 2 ＋4－3x 2 ＝ 18x 2 －36x＋20＝ 18x－1 2 ＋2， ∴当 x＝1 时，|a－b|取最小值为 2. [题型练透] 1.已知向量 a、b 满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|. 解：由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b| 2 ＝4 2 ，∴a 2 ＋2a·b＋b 2 ＝16.(*) ∵|a|＝2，|b|＝3，∴a 2 ＝|a| 2 ＝4，b 2 ＝|b| 2 ＝9，代入(*)式得 4＋2a·b＋9＝16， 即 2a·b＝3.又∵|a－b| 2 ＝(a－b) 2 ＝a 2 －2a·b＋b 2 ＝4－3＋9＝10，∴|a－b|＝ 10. 2.设 x∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且 a⊥b，则|a＋b|＝(

　) A. 5

　 B. 10 C．2 5

　 D．10 解析：选 B 由 a⊥b，可得 a·b＝0，即 x－2＝0，得 x＝2，所以 a＋b＝(3，－1)，故|a＋b|＝ 3 2 ＋－1 2 ＝10. 题型二 二

　两个向量的夹角问题 例 例 3 3 已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________．

　 [解析] 设 a 与 b 的夹角为 θ，依题意有：(a＋2b)·(a－b)＝a 2 ＋a·b－2b 2 ＝－7＋2cos θ＝－6，所以 cos θ＝ 12 ，因为 0≤θ≤π，故 θ＝ π3 . 例 例 4 4 已知平面向量 a＝(3,4)，b＝(9，x)，c ＝ (4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小． [解] (1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0， ∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)． (2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)． 设 m、n 的夹角为 θ，则 cos θ＝m·n|m||n| ＝－3×7＋－4×1－3 2 ＋－4 2 7 2 ＋1 2

　＝ －2525 2 ＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝ 3π4，即 m，n 的夹角为 3π4. [题型练透]

　1.已知 a＝(1， 3)，b＝( 3＋1， 3－1)，则 a 与 b 的夹角为________． 解析：由 a＝(1， 3)，b＝( 3＋1， 3－1)， 得 a·b＝ 3＋1＋ 3×( 3－1)＝4，|a|＝2，|b|＝2 2. 设 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＝a·b|a||b| ＝22，又 0≤θ≤π，所以 θ＝ π4 . 答案：

　π4

　2.若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且 c⊥a，则向量 a 与 b 的夹角为________． 解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，∴(a＋b)·a＝0，即 a 2 ＋a·b＝0. ∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－ 12 . 又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°. 答案：120° 题型三 三

　两个向量的垂直问题 例 例 5 5 已知|a|＝3，|b|＝2，向量 a，b 的夹角为 60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当 m 为何值时，c 与 d 垂直？ 解：由已知得 a·b＝3×2×cos 60°＝3.由 c⊥d，则 c·d＝0，即 c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b) ＝3ma 2 ＋(5m－9)a·b－15b 2 ＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0， ∴m＝ 2914 ，即 m＝2914 时，c 与 d 垂直．

　 例 例 6 6 已知向量 OA ＝(3，－4)， OB ＝(6，－3)， OC ＝(5－m，－(3＋m))．若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数 m 的值． 解：若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角， 则 AB ⊥ AC ，由已知 AB ＝(3,1)， AC ＝(2－m,1－m)， ∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得 m＝ 74 . [题型练透]

　1. 已知向量 OA ＝(－1,2)， OB ＝(3，m)，若 OA ⊥ AB ，则 m 的值是(

　) A. 32

　B．－ 32

　C．4

　 D．－4 解析：选 C ∵ OA ＝(－1,2)， OB ＝(3，m)， ∴ AB ＝ OB － OA ＝(4，m－2)， 又∵ OA ⊥ AB ，∴ OA · AB ＝－1×4＋2(m－2)＝－8＋2m＝0，解得 m＝4. 2.已知非零向量 a，b，满足 a⊥b，且 a＋2b 与 a－2b 的夹角为 120°，则 |a||b| ＝________. 解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a 2 －4b 2 ，∵a⊥b，∴|a＋2b|＝ a 2 ＋4b 2 ，|a－2b|＝ a 2 ＋4b 2 . 故 cos 120°＝ a＋2b·a－2b|a＋2b||a－2b|＝a 2 －4b 2 a 2 ＋4b 2  2 ＝a 2 －4b 2a 2 ＋4b 2 ＝－12 ， 得 a2b 2 ＝43 ，即|a||b| ＝2 33. 答案：

　2 33 题型四 四

　平面几何中向量的方法

　【例 7】（1）（2020·澧县第一中学单元测试）点 P 是△ ABC 所在平面上一点，满足 PB PC  2 PB PC PA   =0，则△ ABC 的形状是（

　 ）

　A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 （2）．（2020·江西）如图，设 P、Q 为△ABC 内的两点，且2 15 5AP AB AC   ，2 13 4AQ AB AC   ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为

　．

　【答案】（1）B （2）45

　【解析】（1）∵ P 是△ ABC 所在平面上一点，且 PB PC  

　2 PB PC PA   =0， ∴| CB |﹣|（   ) PB PA PC PA    |=0，即| CB |=| ACAB |，∴| ACAB |=| ACAB |， 两边平方并化简得 AC AB=0，∴ ACAB （此处也可由| ACAB |=| ACAB |结合向量加减法的几何意义得到），∴∠ A =90°，则△ ABC 是直角三角形． （2）因为2 15 5AP AB AC   ，所以4 15 2 5ABAP AC  ，取 AB 中点 M，则 P 点在线段 CM 上，且 CP=4PM，因此1 1 12 22 15 5 25ACM ABCABP APMABC ABC ABC ABCS SS SS S S S          ; 因为2 13 4AQ AB AC   ，所以3 8 14 9 4AQ AB AC    ，取点 N 满足89AN AB  中，则 Q 点在线段 CN 上，且 CQ=3QN，因此9 9 1 9 1 818 8 4 8 4 94AQN ACN ABCABQABC ABC ABC ABCS S SSS S S S          ; 因此△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为45 【题型练透】

　1．（2020·宁夏高三月考）已知正方形 ABCD 的边长为 2 ， M 为平面 ABCD 内一点，则( ) ( ) MA MB MC MD   

　的最小值为(

　) A． 4 

　B． 3 

　C． 2 

　D． 1 

　【答案】A 【解析】以 D 为原点建立平面直角坐标系如下图所示，       0,2 , 2,0 , 2,2 C A B ，设   , M x y ，故( ) ( ) MA MB MC MD           2 , 2 ,2 ,2 , x y x y x y x y                   

　     4 2 ,2 2 2 ,2 2 x y x y             2 28 4 4 8 4 x x y y       2 24 2 2 1 x y x y        2 24 1 1 4 4 x y        .故选 A.

　2．设 O 是 ABC △ 内部一点，且2 OA OC OB  ，则 AOB 与 AOC △ 的面积之比为________________. 【答案】

　1:2

　【解析】设 D 为 AC 的中点，如图所示，连接 OD ，则2 OA OC OD  .又2 OA OC OB  ，所以OD OB ，即 O 为 BD 的中点，且 2AOC AODS S  ，即 AOB 与 AOC △ 的面积之比为 1:2 .

　3．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二期末）如图，已知△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，∠ B ＝30°，点 P 在线段BC 上运动，且满足 CPCB  ，当 PA PC取到最小值时，  的值为_________ .

　【答案】18 【解析】设 AC a  ，因为 90 BAC    ， 30 B    ，所以3 AB a ， 2 BC a  ； 2 2( ) ( ) PA PC PC CA PC BC CA BC BC BC CA               ， 所以22 2 2 214 2 cos120 4 ( )8 16aPA PC a a a a             ，故当18  时， PA PC有最小值. 题型五 五

　 向量在物理中的应用

　 【例 8】（1）如图，在重 600N 的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为 30 60 ， ，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（

　 ）

　A． 300 3N 300 3N ，

　B． 150N 150N ，

　C． 300 3N 300N ，

　D． 300N 300N ，

　(2)河中水流自西向东每小时 10 km，小船自南岸 A 点出发，想要沿直线驶向正北岸的 B 点，并使它的实际速度达到每小时 103

　km，该小船行驶的方向和静水速度分别为(

　) A.西偏北 30°，速度为 20 km/h B.北偏西 30°，速度为 20 km/h C.西偏北 30°，速度为 203

　km/h D.北偏西 30°，速度为 203

　km/h 【答案】（1)C(2)B 【解析】(1)作 OACB ，使 30 60 AOC BOC     ， .在 OACB 中，60 90 ACO BOC OAC      ， ，cos30 300 3N OA OC  ， sin30 300N AC OC  ，300N OB AC   .选 C.

　(2)由题意得2 2= 10 + 10 3 =20 v 水 （ ）

　，方向为北偏西 30°，选 B 【题型练透】

　1．已知两个力1 2F F ， 的夹角为 90°，它们的合力大小为 10 N，合力与1F 的夹角为 60°，那么2F 的大小为（

　 ）

　 A. 5 3

　N B.5 N C.10 N D. 5 2

　N 【答案】A 【解析】由题意可知：对应向量如图，由于 α =60°，∴2F 的大小为| F 合 |•sin60°=10×35 32．故选A．

　2．（2020·陕西西安一中高二月考）一艘船以 4 km/h 的速度与水流方向成 120°的方向航行，已知河水流速为 2 km/h，则经过3 h，则船实际航程为(

　) A.215

　 km B.6 km C.221

　km D.8 km 【答案】B 【解析】设船的速度为 a ，水的速度为 b ，则船的实际航行速度为 ab ，于是有 2 2 2( ) a b a a b b      =116 2 4 2 ( ) 42      =12 a b  = 2 3 船实际航程为 2 33 =6。答案 B。

　[玩转练习] 1．已知|a|＝9，|b|＝6 2，a·b＝－54，则 a 与 b 的夹角 θ 为(

　) A．45°

　B．135°

　C．120°

　D．150° 答案 B 解析 ∵cos θ＝a·b|a||b| ＝－549×6 2 ＝－22，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°. 2．|a|＝2，|b|＝4，向量 a 与向量 b 的夹角为 120°，则向量 a 在向量 b 方向上的投影等于(

　) A．－3

　B．－2

　C．2

　D．－1 答案 D 解析 a 在 b 方向上的投影是|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1. 3．已知 a ⊥ b，|a|＝2，|b|＝3，且 3a＋2b 与 λa－b 垂直，则 λ 等于(

　) A. 32

　 B．－32

　 C．±32

　 D．1 答案 A 解析 ∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa 2 ＋(2λ－3)a·b－2b 2

　 ＝3λa 2 －2b 2 ＝12λ－18＝0.∴λ＝ 32 . 4．已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于(

　) A．0

　B．2 2

　C．4

　D．8 答案 B 解析 |2a－b| 2 ＝(2a－b) 2 ＝4|a| 2 －4a·b＋|b| 2 ＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2 2. 5．如图所示，一力作用在小车上，其中力 F 的大小为 10 N ，方向与水平面成 60 角.当小车向前运动 10 m 时，则力 F 做的功为(

　 )

　A.100 J

　B.50 J C. 50 3J

　D.200 J 【答案】B 【解析】由题意，一力作用在小车上，其中力 F 的大小为 10N，方向与水平面成060 角，且小车向前运动 10m时，此时根据向量的数量积的定义， 可得则力 F 做的功为010 10cos60 50 W F S J      ，故选 B。

　6．四边形 ABCD 中， AC BD  且 2 3 AC BD   ， ，则 AB CD的最小值为_______. 【答案】134

　【解析】设 AC 与 BD 的交点为 O ，以 O 为原点， AC ， BD 为坐标轴建立平面直角坐标系， 设     0 0 C a D b ， ， ， ，则     2 0 0 3 A a B b   ， ， ， ，所以    2 3 AB a b CD a b      ， ， ，， 所以     22 3 132 3 12 4AB CD a a b b a b            ， 当312a b   ， 时， AB CD取得最小值134 ，故填：134 。

　7．（2019·江苏高三开学考试（理））在锐角 ABC  中， tan 2 A ，点 D 在边 BC 上，且 ABD  与 ACD 面积分别为 2 和 4，过 D 作 DE AB  于 E ， DF AC  于 F ，则 DE DF的值是______. 【答案】1615

　【解析】因为 tan 2 A ，且 A 为锐角，所以2 1sin ,cos5 5A A  ，根据三角形面积得122142AB DEAC DF   ，所以4 8, DE DFAB AC ，所以   cos π DE DF DE DF A     4 8 32coscosAAAB AC AB AC     .而1sin 62ABCS AB AC A     ，化简得12sinAB ACA  .所以 DE DF 32 32 2 1 16sin cos12 12 15 5 5A A       .

　8．（2019·河南省实验中学高一期中）已知向量 (2,0) a  ， (1,4) b  .若向量 kab 与2 a b 的夹角为锐角，则实数 k 的取值范围为______． 【答案】9 1 1( , ) ( , )2 2 2 

　【解析】因为   2,0 a  ，   1,4 b  ，所以 (2 1,4) ka kb   ， 2 (4,8) ab  .

　 因为向量 kab 与2 a b 的夹角为锐角，所以 ( ) ( 2 ) 0 ka a b b     且 kab 与2 a b 不同向. 由( ) ( 2 ) 8 36 0 ka a k b b       得92k   ； kab 与2 a b 不同向时得12k  ；所以实数 k 的取值范围为9 1 1, ,2 2 2           . 9．已知平面向量 a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若 c＝a－(a·b)b，则|c|＝________. 答案 8 2 解析 ∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c＝a－6b，∴c 2 ＝a 2 －12a·b＋36b 2 ＝20－12×6＋36×5＝128.∴|c|＝8 2. 10．设 a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若 a 与 b 的夹角 θ 为钝角，则 x 的取值范围是________． 答案 x< 85 且 x≠－52

　解析 ∵θ 为钝角，∴cos θ＝a·b|a||b| <0，即 a·b＝－8＋5x<0，∴x<85 . ∵a∥b 时有－4x－10＝0，即 x＝－ 52 ，当 x＝－52 时，a＝(2，－52 )＝－12 b， ∴a 与 b 反向，即 θ＝π.故 a 与 b 的夹角为钝角时，x< 85 且 x≠－52 . 11．已知 a＝(4,3)，b＝(－1,2)． (1)求 a 与 b 的夹角的余弦； (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数 λ 的值． 解 (1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， |a|＝ 4 2 ＋3 2 ＝5，|b|＝ －1 2 ＋2 2 ＝ 5， ∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b| ＝25 5 ＝2 525. (2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)， ∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝ 529. 12.在△ABC 中，AB→ ＝(2,3)，AC → ＝(1，k)，若△ABC 是直角三角形，求 k 的值． 解 ∵AB→ ＝(2,3)，AC → ＝(1，k)，∴BC → ＝AC → －AB → ＝(－1，k－3)． 若∠A＝90°，则AB→ ·AC → ＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－ 23 ；若∠B＝90°，则AB→ ·BC → ＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝ 113；若∠C＝90°，则AC→ ·BC → ＝1×(－1)＋k(k－3)＝0， ∴k＝ 3± 132.故所求 k 的值为－ 23 或113或 3± 132.