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    教材高考·审题答题（一）,函数与导数热点问题

    时间：2020-09-30 15:15:36 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：导数 审题 高考

    　O xy11O xy11教材高考·审题答题（一）

    　函数与导数热点 问题

    　热点预测 真题印证 核心素养 利用导数研究函数的性质 2018·全国Ⅰ，21；2018·全国Ⅲ，21； 2017·全国Ⅰ，21

    　 逻辑推理、 数学运算 利用导数研究函数的零点 2019·全国Ⅰ，20；2019·全国Ⅱ，20； 2018·全国Ⅱ，21；2017·全国Ⅰ，21

    　 数学运算、 直观想象 导数在不等式中的应用 2019·全国Ⅲ，20；2018·全国Ⅰ，21； 2017·全国Ⅱ，21

    　数学运算、 逻辑推理

    　教材链接高考——导数在不等式中的应用 [教材探究](选修 2-2

    　P32 习题 1.3 B 组第一题 (3) (4) )

    　利用导数证明下列不等式，并借助函数图象直观验证。

    　(3) 1xe x   ； (4) ln ( 0)xx x e x   

    　[ [ 试题评析] ]

    　1.“形的角度解释”.问题源于曲线xy e  在 (0,1) 处的切线及 ln y x  在 (1,0) 处的切线，通过观察图象的位置关系可以得到以上结论。

    　2.“数的角度证明”.构建函数 ( ) 1xd x e x    ，则 ( ) 1xd x e    ，令 ( ) 0 d x   ，则 0 x  ， 故 ( ) d x 在 ( ,0)  上单调递减； ( ) d x 在 (0, )  上单调递增，所以min( ) (0) 0 d x d   ， 所以 ( ) (0) d x d  ，即 1xe x   （当且仅当 0 x  时取等号）． 3. “不等式 1xe x   的变形”.在不等式 1xe x   中，用 ln x 替换 x 即得 ln 1 x x   ， 所以 1 1 lnxe x x x      ，即有上面的（4）. 另外，用 1 x 去换 1xe x   中的 x 即得xe ex  ，用 ln x 去换 1xe x   中的 x 即得 ln 1 x x   ，用 ln x 去换 1xe x   中的 x 即得1ln 1 xx  ，将不等式1ln 1 xx  两边同乘以 x 即得 ln 1 x x x   ． 【教材拓展】证明：

    　ln 2xe x  

    　探究提高

    　1.本题考查用导数研究不等式，方法一中关键有三点：①1"( )xf x ex  的零点存在但不容易求出，需要“设而不求、虚设零点”来处理，这也是近年来高考导数题的一个新趋向，值得关注；②化简00 0( ) lnxf x e x   时需要借助001xex 和0 0ln x x  ，这样可以将指对数函数转化为多项式函数；③基本不等式的利用。

    　2.方法二中联想到教材中的经典结论，降低思维难度，优化思维过程，简洁方便。

    　【链接高考】(2017·全国Ⅲ卷) 已知函数    2ln 2 1 f x x ax a x     ． （1）讨论   f x

    　的单调性； （2）当 0 a  时，证明  324f xa   ．

    　教你如何审题——利用导数研究函数的零点 【例题】(2019·全国Ⅰ卷) 已知函数 ( ) sin ln(1 ) f x x x    ， ( ) f x为 ( ) f x 的导数．证明：

    　（1）

    　( ) f x在区间 ( 1, )2 存在唯一极大值点； （2）

    　( ) f x 有且仅有 2 个零点． [审题路线]

    　 [自主解答]

    　探究提高

    　1.零点问题的两种考查形式：

    　（1）确定零点个数问题； （2）已知零点个数，求参数的值或取值范围。

    　2. 用导数研究函数零点问题的常用方法：

    　（1）对于选择填空题中的零点个数问题，此类问题可用图像法处理，即将零点个数转化为图象交点个数；

    　（2）对于解答题中的零点问题，要想说明零点存在，必须用零点存在性定理来处理。

    　【尝试训练】

    　（2019·全国Ⅱ文）已知函数 ( ) ( 1)ln 1 f x x x x     .证明：

    　（1）

    　( ) f x 存在唯一的极值点； （2）

    　( )=0 f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

    　 满分答题示范——利用导数研究函数的性质 【例题】

    　(12 分)

    　(2017·浙江卷) 已知函数2 1( )xx xf xe  ， （Ⅰ）求 ( ) f x 的导函数； （Ⅱ）求 ( ) f x 在区间1[ + )2 ， 上的取值范围.

    　[规范解答] （Ⅰ）函数的定义域为1[ + )2 ， ，

    　 …………………… 1 分 (得分点 1)

    　2 21(1 )( 2 1 2)2 1( )2 1xxxxx xxf xe x e     

    　…………………… 5 分 (得分点 2)

    　（Ⅱ）52(1 )( )(1 )( 2 1 2)2( )2 1 2 1( 2 1 2)x xx xx xf xx e x x e        ，

    　令 ( ) 0 f x   ，则 1 x  或52x  ，

    　 …………………… 7 分 (得分点 3)

    　当 x 变化时， ( ) f x ， ( ) f x  的变化如下表：

    　 …………………… 9 分 (得分点 4)

    　 又 f（12）=1212e，f（1）=0，f（52）=1252e， 且22 1 ( 2 1 1)( ) 02x xx x xf xe e     

    　 …………………… 11 分 (得分点 5)

    　所以， ( ) f x 在区间1[ + )2 ， 上的取值范围是[121[0, ]2e…………………… 12 分 (得分点 6)

    　. [高考状元满分心得] ❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，求定义域(得分点 1)，求导(得分点 2)，第(2)问中，求零点(得分点 3)和列表(得分点 4). ❷得关键分：解题过程中不可忽视关键点，有则给分，无则没分，例如第(2)问中对 ( ) 0 f x  的判断(得分点 5). ❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如第(1)问中求导正确、变形到位，第(2)问中规范列表，正确算出函数的最值.

    　[构建模板] 第一步

    　 求定义域 第二步

    　 求导，即 ( ) f x  ，注意适当变形。

    　第三步

    　 求 ( ) f x  的零点 第四步

    　 列表（呈现 ( ) fx 与 ( ) f x 的变化情况）

    　第五步

    　 判断图象得变化趋势，求出函数最值 第六步

    　 检验反思，规范步骤，明确结论

    　x 1( ,1)2 1 5(1, )2 52 5( , )2

    　( ) f x 

    　- 0 + 0 - ( ) f x

    　↘

    　↗

    　↘

    　【规范训练】

    　(2019·全国Ⅲ卷) 已知函数3 2( ) 2 f x x ax b    . （1）讨论 ( ) f x 的单调性； （2）是否存在 , a b ，使得 ( ) f x 在区间 [0,1] 上的最小值为 1  且最大值为 1？若存在，求出 , a b 的所有值；若不存在，说明理由.

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