物理第三期第39天试题解析

时间：2021-07-05 20:15:51 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　8-18 【题目】

　两个大小相同的、平行的滚轮，以同样的转速按图所示的方向旋转。在两滚轮上平放着一个均匀的台面，重量为 P 。两个滚轮轴心的距离为 2l ，滚轮和台面的摩擦系数为  ，初始时台面中心位于两滚轮中心左侧距离为 A 处。求台面中心的水平位置随时间 t 的函数，以两滚轮中心为坐标零点，向右为正。

　【难度】

　1 【分析】

　由于要满足力矩平衡，因此左右两滚轮对台面的支持力由到台面中心的距离决定。这将决定台面受到的水平方向的摩擦力。可以证明台面将受到线性回复力，因此作简谐振动。

　【解答】

　设台面质量为 m ，某时刻台面中心的位置为 x ，设左右滚轮的压力分别为1N 和2N ，则受力平衡和以台面中心为轴的力矩平衡方程为

　1 21 2( ) ( )N N mgl x N l x N     得到台面受到的摩擦力为

　1 2mgF N N xl      

　因此为线性回复力，台面做简谐振动。

　初始时位于左边 A 处且速度为零，因此振幅为 A ，初相位为  。得到台面中心的位置为：

　cos( )gx A tl  

　【答案】

　cos( )gA tl 

　 8-19 【题目】

　长为 l 匀轻质刚性杆，一端由一无摩擦的铰链悬挂于天花板上，另一端系一质量为 m 的质点。当此系统作小角度摆动时，摆动周期为02πlTg 。今在刚性杆上离悬挂点距离 x 处再固定一个质量同为 m 的质点。如图所示。（当 1  时，2cos 1 / 2     ）

　 （1）当1x x  时，求此系统在小角度摆动时的摆动周期 T ； （2）

　x 取何值时，系统摆动周期取极小值。

　【难度】

　2 【问难度】

　（1）2 （1）2 【分析】

　复摆。通常可以利用刚体动力学，如果恢复力矩为线性的，那么系统将作简谐振动。当然也可以用能量法。此题提示当 1  时，2cos 1 / 2     的小量近似，因此这里用能量法。对于三角函数的这些小量近似条件，目标在复赛及以上的同学应熟记。

　【解答】

　（1）设某时刻轻杆相对于竖直线的夹角为  ，以平衡位置为势能零点，则此时的势能为：

　2 1( )(1 cos ) (1 cos )2pmg l xE mgl mgx        。

　等效“劲度系数”为1" ( ) k mg l x   。

　动能为2 2 2 2 211 1 1( ) ( ) ( )2 2 2kE m x m l m x l         

　等效“质量”为2 21" ( ) m m x l  

　得到周期为

　 2 211"2 2"x l mTk x l g  。

　（2）周期为最小值即2 2x lx l取最小值 即      2 222 2 22 2 2 2= 2x l xl x l x l l l x l lx l lx l x l x l x l             取最小值。

　这是一个对勾函数，当  222 x l l   时最小，此时 ( 2 1) x l  

　【答案】

　（1） 2 2112x lx l g （2）

　( 2 1)l 

　 8-20 【题目】

　放置在水平面上的两根完全相同的轻质弹簧与质量为 m 的物体组成弹性振子，每根弹簧的劲度系数均为 k ，弹簧的一端固定在墙上，另一端与物体相接，物体与水平面间的静摩擦系数和滑动摩擦系数均为  。当两弹簧恰为原长时，物体位于 O 点。现将物体向右拉离 O 点至0x 处（不超过弹性限度），然后将物体由静止释放。如图所示。设弹簧被压缩及拉伸时其整体不弯曲，一直保持在一直线上。现规定物体从最右端运动到最左端（或从最左端运动到最右端）为一个振动过程。求：

　（1）从释放到物体停止运动，物体共进行了多少个振动过程？ （2）从释放到物体停止运动，物体共用了多少时间？ （3）物体最后停在什么位置？ （4）整个过程中物体克服摩擦力做了多少功？

　【难度】

　2 【问难度】

　（1）2 （2）1 （3）2 （4）1 【分析】

　有固定大小摩擦力的类简谐振动，相当于每一个振动过程变换一次平衡位置，同时“振幅”减小，当速度为零时对应的弹性力不足以克服摩擦阻力时停下来。

　【解析】

　（1）以弹簧初始位置为坐标零点，设某时刻物体处于 x 处，向右为正，则物体的受力为

　2 2 ( )2mgF kx mg k xk      

　令 "2mgx xk  ，则受力为

　2 " F kx 

　可见物体是以

　 2mgk

　处为平衡位置的简谐振动，令02mgAk ，则向 x 轴负方向运动时平衡位置在0A 处，向 x 轴正方向运动时平衡位置在0A  处（如图）。

　第一次振动的振幅为

　0 0x A 

　因此第一次振动后停下来的位置到原点的距离减小02A ，依此类推，易知每一个振动后，物体停下来的位置到原点的距离都减小02A 。

　若第 n 个振动后停在fx 处，并不再运动，则有弹力小于摩擦力，即

　|2 |fkx mg  

　即

　0| |fx A 

　因此有

　0 0 0| | 2fx x nA A   

　得到

　0 002x AnA

　考虑到 n 为整数

　0 0 0022 2x A kx mgAnmg      

　其中  符号表示向上取整，例如 =   ， =  

　（2）每个振动过程对应半个周期，谐振周期为 22mTk  ，因此总时间为

　2mt nk 

　（3）奇数个振动过程之后物体位于原点左边，偶数个振动过程之后位于原点右边。因此有

　     0 0 01 2 1n nfn mgx x nA xk           （4）由能量守恒易得，克服摩擦力做的功等于弹性势能的减小量，

　 2 20 01 12( )= 22 2fn mgW kx kx kx n mgk  

　【答案】

　（1）022kx mgmg 

　（2）022 2kx mg mg k m 

　（3）

　 00022221kx mgmgkx mgmgmgxk           （4）00022 222mgkxkkx mgkx mg mgmgmg    

　 8-21 【题目】

　在两条柔软的弹性轻绳中间连着一个小球，这两绳的另一端分别固定于同一竖直线上的 O 点和O点，如图所示。已知上、下绳的倔强系数分别为18.0N/m k  和212.0N/m k  。小球静止时位于图中 C 点处，这时上、下绳相对各自的自然长度分别伸长了10.080m l  和20.030m l  。现在将小球沿竖直方向下拉到与平衡位置 C 的距离30.080m l  处，然后轻轻释放。求小球从释放开始到第一次回到该释放点所需的时间为多少秒。（取210.0m/s g  ）

　 【难度】

　2 【分析】

　由于是弹性绳而不是弹簧，因此只在伸长时有受力满足胡克定律，需要确定过程中是否有小于原长的情况。如果有，则应分段讨论，否则就是最简单的谐振。题目中向下拉的距离大于下面绳的伸长量，因此初始时只有上绳有作用。从能量关系可以初步估计出最高处不会使上绳弯曲，是这个题不至于过于恶心。

　【解答】

　设质点质量为 m ，则平衡时受力方程为

　1 1 2 2k l mg k l   ， 解得1 1 2 2=0.028kgk l k lmg 。

　第一个阶段下面绳处于弯曲状态不提供力。以平衡位置 C 为坐标原点，向下为正，设某时刻质点处于2x l  处，则受力为

　 21 1 1 1 1 21 1k mgF k x l mg k x l k x lk k                    说 明 此 时 是 以 原 点 上 方221klk处 为 平 衡 位 置 （ 将 此 点 标 记 为1C ），1112010 =16.90s7km  为角频率的简谐振动。初始时速度为零，因此振幅为21 3 210.125mkA l lk   。向上运动3 2l l  之后下绳开始施力进入下一阶段的运动，此时物体到1C 的距离为22 210.075mkl lk  。

　 在图中参考圆内考虑，易知所需时间为110.075arccos0.1250.0548s t  ，此时的速度为11 1 1 1sin 1.690ms v A    。

　还是相对于 C 点，设某时物体处于1 2l x l    处，则其受力为

　     2 2 1 1 1 2F mg k l x k l x k k x       

　因此以原平衡位置 C 点为平衡位置作简谐振动，角频率为 11 25010 26.73s7k km   。

　 如图，设振幅为 A ，初始相位为  。则有

　10.03cossinAvA  可得

　2210.03 0.070m 0.08m0.03=arccos 1.128rad0.070vA        到最高点的时间为20.0753s t   。

　因此第一次回到初始点时间为  1 22 0.260s t t t    。

　【答案】

　0.260

　8-22 【题目】

　一个球形肥皂泡，质量为 m ，其内充有空气（不计空气质量），泡外为真空，平衡时半径为0r 。由于受到扰动，肥皂泡作微小径向膨胀、收缩振动，求振动周期。设振动过程中，泡内

　空气温度保持不变。已知肥皂膜的表面张力系数为  。

　【难度】

　2 【分析】

　小振动与热学的结合。通常可以取小面元进行受力分析，受力由表面张力的分力及气体压力组成，保留到一阶小量得到等效劲度系数。更进（恶）阶（心）一点的题目可以在表面上增加电荷。这类热学题目通常默认过程为准静态，因此可以视为处于平衡态的气体，利用理想气体状态方程求解压强的变化。计算表面张力时，需要注意肥皂膜有两个表面，张力需乘以2。

　【解答】

　考虑一个顶角为 2 1   的小面元，肥皂膜质量均匀分布易知其质量与面积成正比，为 220204 4rm m mr      。

　初始平衡时，设内部压强为0P 。设某时肥皂膜膨胀了一个小量，半径变为0r x  ，压强变为P 。表面张力沿表面切向，如图中箭头所指，可得此时合力为（向外为正）：

　     20 02 2 F P r x r x               （1）

　将其应用到 0 x  时，即得初始平衡态

　 20 0 0 02 2 0 F P r r              （2）

　得到004= Pr。

　需要确定 P ，题中气体温度不变，因此由气体状态方程可得：

　 330 0 04 43 3P r x P r       （3）

　利用小量运算并只保留到一阶小量得到300 00 031r x xP P Pr r            。

　方程（1）进行小量运算并保留到一阶小量得

　    2 2 2 20 0 00 022 2 20 0 0 0 03 21 1 4 44 4x xF P r r xr rP r r P r x                                   （4）

　利用方程（2）得到

　28 F x     （5）

　这是一个线性回复力，因此作简谐振动，振动周期为

　22/428 8m mT   

　【答案】

　8m 

　8-23 【题目】

　在光滑平面上自由放置一轻弹簧，其左端固定，右端系着物块 P 。另一物块 Q 在 P 的右边与它紧靠， Q 的质量是 P 的 2.5 倍。

　P 与 Q 的右边有一壁与弹簧垂直，物块与此壁相距14π/13cm L 。今使 P 、 Q 从原来位置向左移一段距离，并令其处于静止状态后予以释放。已知 P 在第一次通过平衡位置后完成一次完全振动时，与 Q 恰好发生第一次碰撞，假设所有碰撞均为完全弹性碰撞，且两物块 的大小均可忽略不计。试求：

　（1）开始时弹簧的压缩量0L ？ （2）在 P 、 Q 第一次分离与第一次碰撞的时间内 P 至两物块第一次分离点的最远距离是多少厘米？ （3）在 P 、 Q 第一次碰撞与第二次碰撞的时间内， P 至两物块第一次分离点的最远距离是多少厘米？ 【难度】

　2 【问难度】

　（1）2 （2）1 （3）2 【分析】

　两物块紧靠，因此应该考虑分离的问题，易知分离发生在平衡位置处。题目中告之 P 完成一次全振动之后与 Q 发生碰撞，因此可以通过求解 Q 在分离时的速度以及 P 的周期求得初始压缩量。分析 P 物块的振动状态可知其最远距离。

　【解答】

　（1）由于分离及分离之前两物块加速度相同，分离及分离之后两物块之间受力为零，于是 Q物块加速度为零。可知分离发生在两物块加速度同为零，即平衡位置处。设弹簧弹性系数为k ， P 的质量为 m ，分离时速度为0v 。从开始释放到刚分离能量守恒：

　2 20 01 1 72 2 2kL mv  

　解得：0 027kv Lm

　分离后 P 物块作简谐振动，易知其周期为 2mTk  。

　由于所有碰撞都是弹性的，因此 Q 与墙壁碰撞之后速度大小不变。一个周期之后两物块刚好相遇：014132 Tv  ， 解得014 72.0113 2L   厘米

　（2）第（1）问中我们已经知道分离点在平衡位置处。分离之后 P 作简谐振动，最远处在速度为零，即振幅处，设这个距离为1L ，则分离之后到刚好最远的能量守恒方程为：

　2 20 11 12 2mv kL 

　1 0 07 141.082 13cmmL v Lk   

　（3）

　设碰撞后 P Q 的速度分别为1 2", " v v ，速度向左为正，碰撞过程动量守恒：

　0 0 1 22.5 " 2.5 " mv mv mv mv   

　弹性碰撞，相对速度不变：1 2 0" " 2 v v v  

　得到：

　1 02 013"71"7v vv v  

　可知 Q 向右运动。设第一次碰撞之后 P 简谐振动的振幅2L ，则第一次碰撞完之后到达到最大振幅处的能量守恒方程为：

　2 21 21 1"2 2mv kL 

　解得：22 032 133.367cm L L 

　【答案】

　（1）2.01 （2）1.08 （3）3.36

　8-24 【题目】

　一物质量 1.0kg m  ，置于水平面上。物与水平面间的静摩擦系数和滑动摩擦系数均为 0.4   。如图所示。在原点有一完全弹性的墙，且物体始终受到 20 F x    N 的水平力， x 的单位为米   m 。现将物体于11.1m x  处静止释放，求：

　（1）物体从静止释放到停止不动，共经历了多少时间（单位为秒）？ （2）物体最后停在距墙多少米处？ （3）物体克服摩擦力做了多少焦耳的功？

　【难度】

　2 【问难度】

　（1）2 （2）1 （3）1 【分析】

　虽然没有弹簧，但是受到线性回复力最用，是典型的有摩擦的简谐振动。这个题与之前的有摩擦的简谐振动的题之间的区别在于，原点处有一个弹性墙，使得每次从最右回到最左边并非经过半个周期或者 0.25 个周期，需要使用参考圆辅助计算时间。但与墙壁的碰撞是弹性的，使得解题时可以将从最右到最左和从最左到最右合并为一个过程。

　【解答】

　（1）当物体速度方向向左时，其受力为

　  "( ) 20 20 0.2 F x x mg x     

　可见是以10.2Ax  为平衡位置的简谐振动。

　当物体速度方向向右时，其受力为

　  "( ) 20 20 0.2 F x x mg x     

　可见是以20.2Ax   为平衡位置的简谐振动。

　设第 n 次速度为零时（静止释放时视为第一次）位于nx 处，再往左运动，其简谐振动平衡位置为10.2Ax  ，因此振幅为 0.2n nA x   ，向左运动到与墙壁发生完全弹性碰撞后，速度大小不变。碰撞之后简谐振动的平衡位置变为20.2Ax   ，于是碰撞前后其简谐运动的平衡位置都在速度的反方向 0.2 米处，因此可以将从最右往左撞墙再向右直至速度为零的过程视为同一个振动过程，经历的时间为半个周期，2T mtk   。碰后简谐振动振幅不变，因此第 1 n 次速度为零时位于10.4n nx x  处。易知若速度为零时位于 0 0.2 x   处，外力将小于最大静摩擦，不再运动。

　易知，第三次速度为零时，停在31.1 0.4 2 0.3 x     处，之后将向左运动，其振幅为30.3 0.2 0.1 A    ，因此不会与墙发生碰撞，直接停在40.1 x  处。

　共经历时间03 3 2.11smt tk   

　（2）最后停在距墙 0.1m 处 （3）线性回复力，可引入弹性势能，其劲度系数为 20N/m ，因此克服摩擦力做的功为

　2 21 120 1.1 20 0.1 12J2 2W       

　【答案】

　（1）2.11 （2）0.1 （3）12

　8  25 【题目】

　质量为 m 的物体由劲度系数为 k 的轻弹簧固定在天花板上，开始时物体放在板 P 上...