岩体力学计算题

时间：2020-12-24 20:09:08 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　计算题 四、岩石得强度特征 (1) 在劈裂法测定岩石单轴抗拉强度得试验中,采用得立方体岩石试件得边长为 5cm,一组平行试验得到得破坏荷载分别为 16、7、17、2、17、0kN,试求其抗拉强度。

　解:由公式 σ t =2P t /πa 2 =2×P t ×10 3 /3、14×5 2 ×10 -4 =0、255P t (MPa) σ t1 =0、255×16、7=4、2585 σ t2 =0、255×17、2=4、386 σ t3 =0、255×17、0=4、335 则所求抗拉强度:σ t ==(4、2585+4、386+4、335)/3=4、33MPa。

　(2) 在野外用点荷载测定岩石抗拉强度,得到一组数据如下: D(cm) 15、7 14、6 14、9 14、1 16、3 16、7 15、7 16、6 P t (kN) 21、3 21、9 24、8 20、9 21、5 25、3 26、7 26、1 试计算其抗拉强度。(K=0、96) 解:因为 K=0、96,P t

　、D 为上表数据,由公式 σ t =KI s =KP t /D 2 代入上述数据依次得: σ t =8、3、9、9、10、7、10、1、7、7、8、7、10、4、9、1。

　求平均值有 σ t =9、4MPa。

　(3) 试导出倾斜板法抗剪强度试验得计算公式。

　解:

　PfασττФФσ

　如上图所示:根据平衡条件有: Σx=0 τ-P sinα/A-P f cosα/A=0 τ=P (sinα- f cosα)/A Σy=0 σ-P cosα-P f sinα=0 σ=P (cosα+ f sinα) 式中:P 为压力机得总垂直力。

　 σ 为作用在试件剪切面上得法向总压力。

　τ 为作用在试件剪切面上得切向总剪力。

　 f 为压力机整板下面得滚珠得磨擦系数。

　 α 为剪切面与水平面所成得角度。

　则倾斜板法抗剪强度试验得计算公式为: σ=P(cosα+ f sinα)/A τ=P(sinα- f cosα)/A (4) 倾斜板法抗剪强度试验中,已知倾斜板得倾角 α 分别为 30º、40º、50º、与 60º,如果试样边长为 5cm,据经验估计岩石得力学参数 c=15kPa,φ=31º,试估计各级破坏荷载值。(f=0、01) 解:已知 α 分别为 30º、40º、50º、与 60º,c=15kPa,φ=31º,f=0、01, τ=σ tgφ+c σ=P(cosα+ f sinα)/A τ=P( sinα- f cosα)/A P( sinα- f cosα)/A= P(cosα+ f sinα) tgφ/A+c ( sinα- f cosα)= (cosα+ f sinα) tgφ+cA/P P=cA/[( sinα- f cosα)- (cosα+ f sinα) tgφ] 由上式,代入上述数据,计算得:

　P 30 =15(kN/mm 2 )×25×10 2 (mm 2 )/[( sin30 - 0、01×cos30) - (cos30 + 0、01×sin30) tg31] α

　sinα

　cosα

　( sinα- f cosα)

　(cosα+ f sinα)

　(cosα+ f sinα) tgφ

　P 30 0、5 0、866025 0、49134 0、873751 0、525002 -111、4 40 0、642788 0、766044 0、635127 0、772522 0、464178 21、93638 50 0、766044 0、642788 0、759617 0、647788 0、38923 10、12456 60 0、866025 0、5 0、861025 0、5 0、30043 6、68932

　(5) 试按威克尔(Wuerker)假定,分别导出 σ t 、σ c 、c、φ 得相互关系。

　解:如图:

　由上述 ΔAO 1 B≌ΔAOC 得:

　 (1) 又

　AB=ctgΦ×r 1 , AO 1 =cscΦ×r 1

　, r 1 =σ t /2

　(2) 把(2)代入(1)式化简得:

　(3) ΔAO 2 D≌ΔAOC 得:

　ФBAσ too 1Cco 2Dτσσ cr 1r 2

　∵

　r 1 =σ t /2

　r 2 =σ c /2 σ c (cscφ-1)= σ t (cscφ+1)

　(4) 把(4)代入(3)得:

　 (5) 由(3),(5)

　(6) 由(3),(5) 2ccosφ=σ t (1+sinφ) , 2ccosφ=σ c

　(1-sinφ), 相等有 sinφ=(σ c -σ t )/ (σ c +σ t )

　 (7) 由(5)+(3) cosφ=4c/(σ c +σ t )

　 (8) 由(6),(7),(8)

　(9) (6) 在岩石常规三轴试验中,已知侧压力 σ 3 分别为 5、1MPa、20、4MPa、与 0MPa 时,对应得破坏轴向压力分别就是 179、9MPa、329MPa、与 161MPa,近似取包络线为直线,求岩石得 c、φ 值。、 1.图解法

　由上图可知,该岩石得 c、φ 值分别为:28MPa、52°。

　2.计算法 σ27 21 24 15 12 9 60 1818τ159126co

　由 M-C 准则

　变形

　 (1) 考虑 Coulomb 曲线为直线,则强度线应与 Mohr 圆中得任意两圆均相切,此时得 c、φ 值相等,则任一圆都满足(1)式。设任意两圆中得应力分别为,由(1)式得

　整理得          cos 2) sin 1 ( ) sin 1 () ( ) () ( ) (sin3 12313211123132111       c

　将已知数据代入计算结果如下: σ 1

　Σ 3

　φ

　c 179、9 5、1 54、47565

　20、85393 329 20、4 51、57658

　28、05152 161 0 35、09963

　41、81673 计算结果分析,第一组数据与第三组数据计算结果明显低于第一组与第二组数据与第二组与第三组数据得计算结果,考虑包络线为外包,故剔除第一组数据与第三组数据计算结果,取平均后得:φ=53、02611°,c=24、45272MPa。

　(7) 某岩石得单轴抗压强度为 164、5MPa,φ=35、2°,如果在侧压力 σ 3 =40、8MPa 下作三轴试验,请估计破坏时得轴向荷载就是多少？ 解:已知如图所示:

　35.2BAocτ164.5C40.8E σσDr 1r 2F

　ΔAOC≌ΔABC 得: 即:

　 因为:r 1 =82、25 MPa,φ=35、2°, 所以求得:c=42、64 MPa 所以:AO=c ctanφ=60、45 MPa ΔABC≌ΔADE 得: 解得:r 2 =137、76 MPa 所以 σ 1 =40、8+2×137、76=316、32 MPa (8) 在威克尔(Wuerker)假定条件下,岩石抗压强度就是它得抗拉强度得多少倍？ 解:由上述题(5)知:

　故

　φ (1+sinφ) (1-sinφ) σ c /σ t

　25 1 、422618 0 、577382 2 、463913 30 1、5 0、5 3 35 1 、573576 0 、426424 3 、690172 40 1 、642788 0 、357212 4、59891 45 1 、707107 0 、292893 5 、828427 50 1 、766044 0 、233956 7 、548632 55 1 、819152 0 、180848 10 、05901 60 1 、866025 0 、133975 13、9282

　根据此式点绘得图如下:

　五、岩石得变形特征

　(1) 试导出体积应变计算式:ε v =ε a -2ε c

　 解:如上图所示得: V = πc 2 a/4 V ´ =π(c+Δc) 2 (a+Δa)/4

　其中略去了 Δc、Δa 得高次项,整理得:

　(2) 岩石变形实验数据如下,a、 作应力应变曲线(ε a 、ε c 、ε v )。b、 求初始模量、切线模量、50%σ c 得割线模量与泊松比。

　σ(MPa) 16 3

　 4 164 ε a (×10 -6 )

　 3 破坏 ε c (×10 -6 ) 63 1

　350 550 破坏 解:由公式:ε v =ε a -2 ε c

　得:ε v =250、175、200、260、330、712、713 0501001500 20 40 60 80 100

　则初始模量:E i =σ i /ε i =16/188=0、085 切线模量:

　E t =(σ 2 -σ 1 )/(ε 2 -ε 1 ) =(77-62)/(930-740) =0、079 割线模量:

　E s =σ 50 /ε 50 =77/930=0、083 泊松比:μ=ε c

　/ε a = 319、48/990、39=0、32 六、 岩石得强度理论 (1) 导出莫尔–库伦强度准则。

　解:如图:

　由图中几何关系,在 ΔABO 1 中,就是直角,

　(3) 对岩石试样作卸载试验,已知 C=12kPa,φ=36º,σ y =100MPa,当 σ 1 =200MPa 时,按莫尔–库论判据,卸载达到破坏得最大围压 σ 3 就是多少？如果按米色士判据又就是多少？ 解:由上题 Mohr 判据 MPa 87 . 5136 sin 136 cos 012 . 0 220036 sin 136 sin 1sin 1cos 2sin 1sin 1sin 1cos 2sin 1sin 11 33 1  cc得：

　按米色士判据:

　(4) 岩体内存在不同方向裂纹,已知 σ t =–8MPa, a、 当 σ 1 =42MPa,σ 3 =–6MPa 时,按格里菲斯准则就是否破坏,沿哪个方向破坏？

　b、 当 σ 1 =20MPa,σ 3 =–8MPa 时,就是否破坏,沿哪个方向破坏？ 解:a、由于 σ 1 +3σ 3 =42+3×(-6)=24>0,所以其破坏准则为: 把 σ 1 =42MPa,σ 3 =–6MPa,σ t =8MPa(σ t 取绝对值)代入上式,

　左边=右边,刚好达到破坏。其破坏面与最大主应力之间得夹角为: , b、 由于 σ 1 +3σ 3 =20+3×(-8)=-4<0,所以其准则为:σ 3 =-σ t 。σ 3 =-8=-σ t ,按格里菲斯准则可判断其刚好破坏,其破坏方向为沿 σ 1 得方向。

　(5) 已知岩体中某点应力值为:σ 1 =61、2MPa,σ 3 =–19、1MPa,c=50MPa,φ=57º,σ t =–8、7MPa,试用莫尔–库论判据与格里菲斯准则分别判断其就是否破坏,并讨论其结果。

　解:a、用莫尔–库论判据:

　等式不成立,所以岩体不破坏。

　b、用格里菲斯准则: ,

　所以岩体要发生破坏。

　c、根据莫尔–库伦判据岩体不破坏,而根据格里菲斯准则岩体要发生破坏。即可认为该岩体不会发生剪切破坏,但由于岩体内部存在微裂纹与微孔洞,在外力作用下,即使作用得平均应力不大,在微裂纹与微孔洞得周围将出现应力集中,并可能产生很大得拉应力,这时就要用格里菲斯准则判断就是否破坏,此题可认为岩体不产生剪切破坏,但会拉裂破坏,所以此岩体将破坏。

　七、岩体结构面得力学性质

　 (2) 已知某岩石结构面壁抗压强度为 70MPa,基本摩擦角 35º,野外确定 JRC 为 11,试按巴顿(Barton)公式绘出该结构面得 σ-τ 曲线,并试比较该曲线与库伦强度曲线得异同。

　解:根据 Barton 公式,将 JRC=11,=35,JCS=70MPa 代入上式得:,将 σ=10,20,…,100MPa 代入计算得:

　σ τ(Barton) τ(Coulomb) 10 9、757255 7、002075 20 17、37639 14、00415 30 24、33494 21、00623 40 30、88588 28、0083 50 37、14331 35、01038 60 43、17222 42、01245 70 49、01453 49、01453 80 54、69943 56、0166 90 60、24841 63、01868 100 65、67792 70、02075 点绘出得曲线如下:

　从上图可以瞧出:Bartong 公式与 Coulomb 公式结果接近,在低正应力时(低于 JCS),Barton公式计算得剪应力高于 Coulomb 公式,在高正应力时,Barton 公式计算得剪应力低于 Coulomb公式。

　八、岩体得力学性质 (1) 如图 a,在岩石试样中存在一结构面, 010203040506070800 20 40 60 80 100 120法向应力(MPa)剪应力(MPa)BartonCoulomb

　a、 试证明按莫尔–库伦强度准则导出得强度判据为:

　式中 C、φ 为结构面参数。

　b、 当单轴压缩时,β 为多少值该岩石得强度最低？提示:可按图 b 关系导出。

　、

　解:解:a、

　由图 b,在任意 ΔABO’中,          ctg2)) 2 ( 180 sin(2sin"" sin"sin) 2 ( 180 " , , ctg2" " ,2"3 1 3 13 1 3 1cA OABOB OABO A c OA O O A O B O         由正弦定理， 化简即可得:

　证毕。

　b、 单轴时,上式为

　求 σ 1 对 β 得最小值。

　因此,当时,岩石强度最低。

　(2) 地下岩体中有一结构面,其倾角为 40º。当在地下 200m 深处开挖一洞室,如果利用上题得公式,仅考虑岩体自重应力,问该结构面在该洞室处会否滑动？(已知 γ=26kN/m 3 ,μ=0、17,结构面 C=0、4MPa,φ=28º)、 解:

　由上题公式:

　右边得:

　MPa 743 . 428 sin ) 28 40 2 sin(28 cos 10 4 . 0 2200 2617 . 0 117 . 028 sin ) 28 40 2 sin(28 sin ) 28 40 2 sin(3                    计算表明,满足破坏所需要得 σ 1 仅为 4、743MPa,而此处得实际应力已达 5、2MPa,故会滑动。

　此题有错误 ,

　 十、地下洞室围岩稳定性分析 三、 计算题 (1) 考虑地应力为静水压力状态,分别计算并绘出 r＝0、1a、2a、3a、4a、5a、6a 时得σ r /σ 0 与 σ θ /σ 0 随 r 得变化,并讨论其与 σ 0 得误差。

　解:为静水压力状态即 λ=1,洞室围岩中与洞轴垂直断面上任一点得应力由弹性理论得平面问题可得:

　将 r＝0、1a、2a、3a、4a、5a、6a 代入得: r 1a 2a 3a 4a 5a 6a σ r /σ 0

　0 (0%) 3/4 (75%) 8/9 (89%) 15/16(94%) 24/25(96%) 35/36(97%) σ θ /σ 0

　2 (200%) 5/4(125%) 10/9(111%) 17/16(106%) 26/25(104%) 37/36(103%) 从上表可以瞧出:应力重分布与无关,而与测点径向距离有关,当洞径一定时,σ θ 随 r 增大而迅速减少,而 σ r 随 r 增大而增大,并都趋近于天然应力值。当 r=6a 时,σ θ 、σ r 与 σ 0 相差仅为1/36,小于 2、8%,因此一般可认为应力重分布得影响范围为 r=6a。

　(2) 一圆形洞室得直径为 5m,洞中心埋深 610m,岩层密度 27kN/m 3 ,泊松比 0、25,试求:a、 洞壁上各点得应力值并绘成曲线(θ = 0º、10º、20º、…、90º);b、 当洞内有 0、15MPa 得压力时,计算洞壁与拱顶得围岩应力。

　解:σ v =γ h=610×27=16、47MPa,λ=μ/(1-μ)=1/3=σ h /σ v

　,σ h= σ v /3 a、 洞壁上各点得应力,,。

　。

　

　60 70 80 90 σ θ

　43、92 42、60 38、78 32、94 25、77 18、15 10、98 5、14 1、32 0 洞壁上各点的应力051015202530354045500 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100与水平线的夹角（度）应力值（MPa) b、当洞内有压力 P 时,洞室周边围岩应力重分布公式为: ,,。将已知条件代入得: ,, 洞壁:即=0 时,, 拱顶:即=90 时,。

　(3) 试导出芬纳(Fenner)公式。、

　弹性区塑性区

　解:由上图可知, 在 r=R 处,既就是弹性区又就是塑性区,故:σ e =σ p =σ 0

　所以其既满足弹性圈内得重分布应力,又满足塑性区内重分布应力 在弹性区:

　当 R=r 时:

　(1) 又因为其满足 M-C 准则: 即:

　(2) 把①代入②式整理得:

　 若松动圈已脱离原岩,则 c=0,

　(3)

　在塑性区: 平衡方程成立,考虑静水压力状态,有

　 (4) 由(2)变形整理

　(5) (5)代入(4-1)整理并分离变量

　两边积分后得

　(6) 将边界条件代入(6)

　 (7) (7)代入(6)取指数(去掉 ln)

　 整理后得塑性区应力

　(8) 又因为:当 R=r 时,,即(8)=(3) = 化简即得芬纳公式: (4) 已知 H = 100m,a = 3m,c = 0、3MPa,φ = 30º,γ= 27kN/m 3 ,试求: a、 不出现塑性区时得围岩压力; b、 允许塑性圈厚度为 2m 时得围岩压力; c、 允许充分变形时得塑性圈半径。

　解:由题意得: a、 当不出现塑性区时,即 R=a 时:

　    kPa 135030 ctg 10 3 . 0 30 ctg 10 3 . 0 2700 30 sin 1330 sin 130 sin 23         aa b、 当允许塑性圈厚度为 2m 时,即时,    kPa 45 . 15330 ctg 10 3 . 05330 ctg 10 3 . 0 2700 30 sin 1330 sin 130 sin 23          c、 当允许充分变形时,即当时:

　               m 69 . 530 ctg 10 3 . 030 ctg 10 3 . 0 2700 ) 30 sin 1 (3ctgctg sin 1ctg sin 1ctgctg sin 1ctgctg sin 1 ctg 0ctg ctg sin 130 sin 230 sin 133sin 2sin 10sin 2sin 10sin 1sin 20sin 1sin 20sin 1sin 20                             cca RccRaRaccRac ccRac (5) 已知 H = 100m,a = 3m,c = 0、3MPa,φ = 30º,γ= 27kN/m 3 ,同上,如果 E = 1200MPa,μ= 0、2,分别求洞周位移 u = 1cm 与 u = 3cm 时得围岩压力。

　解:由公式: 式中:G m 为塑性圈岩体得模量:,把已知条件代入上式: 当:u = 1cm 时:

　      MPa 26 . 030 ctg 10 3 . 001 . 0 10 500 230 ctg 10 3 . 0 10 7 . 2 30 sin 330 sin 1 30 ctg 10 3 . 0 10 7 . 2630 sin 130 sin66 66 6                a 当:u = 3cm 时:       MPa 26 . 030 ctg 10 3 . 003 . 0 10 500 230 ctg 10 3 . 0 10 7 . 2 30 sin 330 sin 1 30 ctg 10 3 . 0 10 7 . 2630 sin 130 sin66 66 6                a (此值为负,即不可能产生 3cm 得位移)

　十一、 边坡岩体稳定性分析 1、 如图,导出边坡不失稳得最大坡高 H max 。

　解: ββββα 解: 如上图所示:发仅考虑重力作用下得时,设滑动体得重力为 G,则它对于滑动面得垂直分量为 Gcosβ,平行分量为 Gsinβ,因此,可得滑动面上得抗滑力 Fs 与滑动力 Fr 分别为: F=G cosβ tanφ+cL

　T=G sinβ 则岩体边坡得稳定性系数为:

　 由上图几何关系可得:

　 将上式整理得: 令 k=1 即得滑动体极限高度 H max :

　2、 导出楔形破坏得稳定性系数得计算式(不计凝聚力 c),给出式中各项参数如何取得得方法或公式。

　解:如图所示: 面面θ 2θ 1βββ 如图(b)所示,可能滑动体得滑动力为 Gsinβ,垂直交线得分量为 N=Gcosβ,如图(c)所示,将

　Gcosβ 投影投影到△ABD 与△BCD 面得法线方向上,得作用二滑面上得法向力为:

　 T=Gsinβ 设 c 1 =c 2 =0 及 φ 1 ,φ 2 分别为滑面 ΔABD 与 ΔBCD 得粘聚力与磨擦角,则二滑面得抗滑力为: F=N 1 tanφ 1 + N 2 tanφ 2

　则边坡得稳定性系数为:

　          tan ) sin(tan sin tan sinsintan) sin(sin costan) sin(sin cossintan tan2 12 1 1 222 1112 122 2 1 1 GG GGN NTFk 3、 已知边坡岩体 γ=20kN/m 3 ,φ=30º,c=0、017MPa,有一结构面倾角为 40º,若设计一坡高H=14m 得边坡,问设计坡角应为多少度？(设安全系数取 k=1、3)

　解:

　∵

　k=1、3

　∴

　即:

　解法 1: 由上公式,解得

　  5685 . 547115 . 030 tan 40 cos 40 sin 3 . 1 40 sin 14 2017 240 ctg ctgtan cos sin sin2ctg ctgtantansin2ctg ctgtantansin2sin ctg cossinsin cos cos sinsin2tantan) sin( sinsin 2tantan2                          K hcK hcK hchcKhcK 解法 2:试算法 α K 54 1、31981 54、1 1 、316214 54、2 1 、312667 54、3 1、30917 54、4 1 、305719 54、5 1 、302316 54、6 1 、298958 54、 1 、

　 试算法解得:α=54、5º 4 、 某 陡 坡 顶 发 育 一 组 垂 直 结 构 面 , 已 知γ=27kN/m 3 ,E=8×10 4 MPa,结构面间距为 4m,求边坡稳定得最大结构面深度。

　解:因为就是一组垂直结构面,只对岩体进行抗倾倒及溃屈计算来确定最大结构面深度,

　由 q= γ=27kN/m 3 ,E=8×10 4 MPa,。

　取 b=1(单位宽度),h=4。经计算得: p 倾 ===313、9m p 溃 ===677、9m 所以边坡稳定得最大结构面深度为 313、9m。

　7 295644 54、8 1 、292375 54、9 1 、289148 55 1 、285964