复习考试大纲规定本学科复习考试范围和要求

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复习考试大纲规定本学科复习考试范围和要求 本文简介：复旦大学外国留学生本科入学考试大纲（文科综合）考试说明一、考试范围：《中国概况》二、考试要求：规定文科综合考试在识记、理解、运用三个层次上测试，区分考生对复习考试大纲所规定知识内容掌握的水平。三、考试形式及试卷结构（一）考试方法和时间：开卷；笔答；考试时间为150分钟（试卷满分为150分）。（二）试

复习考试大纲规定本学科复习考试范围和要求 本文内容：

复旦大学外国留学生本科入学考试大纲

（文科综合）

考试说明

一、考试范围：《中国概况》

二、考试要求：规定文科综合考试在识记、理解、运用三个层次上测试，区分考生对复习考试大纲所规定知识内容掌握的水平。

三、考试形式及试卷结构

（一）考试方法和时间：开卷；笔答；考试时间为150分钟（试卷满分为150分）。

（二）试卷内容比例：中国地理----约25％；中国历史----约35％；中国经济与政治----约25％；中国科技文化教育----15％。

（三）题型比例：单项选择题----约40％，每小题2分，共30题，满分60分；非选择题约60％（包括填空每空1分，共15分；填图每项1分，共7分；）简答题（含名词解释、材料题、问答题、读图分析、综合分析等）共58分；判断题每题1分，共10分。

（四）试题难易比例：较容易题----约50％；中等难度题----约30％；较难题----约20％。

复习考试大纲

考试目的：考查外国学生对中国概况的了解，知道中国的有关方针、政策，主要涉及中国的国土、地理、历史、教育、经济、科技、文化等方面。为外国学生对中国的知道程度提供一个参照。

复习考试内容

第一章

中国的国土

第一节

地理

一、中国的面积与位置

识记：中国的海陆位置；中国的陆地面积及其在世界各国陆地面积中的排位；中国的主要邻国。

二、中国的海洋和岛屿

识记：中国的“四大海洋”：渤海、黄海、东海、南海。中国的三大岛屿：台湾岛、海南岛、崇明岛。

应用：在中国地图上找到中国的三大岛屿和大连、上海、香港、高雄等港口的位置。

三、中国的地形和山脉

识记：中国地形的突出特征：西高东低，复杂多样（地形多种多样，山区面积广大；地势西高东低，呈阶梯状分布）。喜马拉雅山的珠穆朗玛峰是世界最高峰。

理解：四大高原（青藏高原、内蒙古高原、黄土高原和云贵高原）、四大盆地（塔里木盆地、准噶尔盆地、柴达木盆地、四川盆地）、三大平原（东北平原、华北平原、长江中下游平原）〔掌握名称、位置〕

应用：在地图上找到中国的主要山脉（昆仑山、大兴安岭、秦岭、太行山）、四大高原、四大盆地、三大平原的分布位置。

四、中国的河流与湖泊

识记：长江、黄河、黑龙江、珠江、澜沧江是5条中国主要的外流河；塔里木河是中国最长的内流河；青海湖是中国最大的湖泊和内陆湖；鄱阳湖、洞庭湖、太湖、洪泽湖是中国四大淡水湖。

理解：长江和黄河的发源于青藏高原。长江是中国的

“黄金水道”。长江、黄河的水利资源丰富，长江三峡水库是世界最大的水利枢纽工程。

应用：能在中国地图上找到长江、黄河、黑龙江、珠江、澜沧江、塔里木河、青海湖、鄱阳湖、洞庭湖、太湖、洪泽湖的位置。

第二节

中国气候

识记：中国气候的两个重要特征：大陆性季风气候显著、气候类型复杂多样。

理解：中国季风气候的特点。中国从北到南有亚寒带、温带、暖温带、亚热带、热带五个气候带分布。

第三节

资源

一、土地资源

识记：中国土地类型的三个特点。中国耕地集中分布的地区。中国四大林区的名称。内蒙古大草原是中国最著名的天然牧场。

二、生物资源

识记：中国是世界上拥有野生动物种类最多的国家。

应用：列举中国特有的珍贵动物和植物各5种。

三、矿产资源

识记：中国矿产资源的重要特征。山西大同被称作“煤炭之乡”。黑龙江大庆油田是中国最大的油田。鞍山铁矿是中国最大铁矿产地。

理解：中国能源开发的现状和前景。西电东送工程和西气东输工程。

应用：能在中国地图上找到山西大同煤矿、大庆油田、鞍山铁矿的位置。

第四节

行政区划

识记：北京是中国的首都，上海是中国最大的城市。中国有23个省、5个自治区、4个直辖市和2个特别行政区。

应用：能列举中国5个主要省级行政区名称。能在地图上找到北京、上海、重庆、西安、南京、广州、香港的位置。

第二章

中国的历史

一、

古代史部分

（一）原始社会时期

识记：中国早期猿人化石：元谋人；蓝田人；北京人；母系氏族公社主要代表：仰韶文化。父系氏族及其主要代表：龙山文化。西安半坡村属于仰韶文化遗址。

应用：能在地图上找出元谋人、蓝田人、北京人、西安半坡村所在的的省份。

（二）夏、商、西周——奴隶社会时期

识记：夏朝是中国历史上最早的奴隶制国家；夏、商、周三朝的起始时间及更替顺序。

理解：商朝的青铜冶炼达到相当高水平，并已有了比较定形的文字（甲骨文），西周实行分封制。

（三）春秋、战国——由奴隶社会向封建社会过渡时期

识记：春秋、战国的时代特征。战国七雄：齐、楚、燕、韩、赵、魏、秦。“百家争鸣”及其代表人物和代表学派：儒家学派孔子、孟子，道家学派老子、庄子，法家学派商鞅、韩非子，墨家学派墨子。

理解：铁器和牛耕的使用促进社会发展，产生社会变革。

（四）从秦到东汉——统一的封建国家建立与巩固时期

识记：秦朝是中国第一个中央集权的统一的封建国家；秦始皇是中国的第一个皇帝；秦朝巩固中央集权的措施；陈胜、吴广起义是中国第一次全国农民大起义；秦朝、西汉、东汉的王朝更替顺序；王莽新朝；黄巾军起义。

理解：秦朝中央集权体制的建立对中国历史发展的作用和影响。

（五）从三国到唐代——中国封建社会的发展和鼎盛时期

识记：魏、蜀、吴三国鼎立；西晋、东晋、南北朝的先后顺序；八王之乱；隋朝的短暂统一；唐朝的建立；

理解：从三国到唐朝的时代特征；魏晋南北朝的民族融合；唐朝是中国封建社会发展的最高峰。

应用：结合地理知识掌握西晋、东晋古都的地点。

（六）从五代到元代——封建社会的继续发展时期

1，识记：从五代到元代朝代的更替；马可?波罗；宋朝和元朝的时代特点；辽、金、西夏与宋朝的对峙；元朝是中国第一个由少数民族蒙古族统治全国的王朝。

2，

理解：宋朝时中国的经济中心从黄河流域转移到长江流域；元朝民族融合进一步加强；

应用：结合地理知识掌握北宋、南宋古都的地点。

（七）明清时期——封建社会的衰弱时期

识记：清朝是满族统治全国的王朝；李自成农民起义；明清资本主义萌芽的产生和发展。

理解：明清的时代特征；中国资本主义孱弱的原因。

二、近代史

（一）鸦片战争

识记：中国近代史的时间划定；中国社会性质的变化；中国主要社会矛盾的变化；鸦片战争爆发的原因、结果和影响。《南京条约》是中国近代第一个不平等条约。

理解：鸦片战争是中国近代史的开端。

（二）

太平天国革命

识记：太平天国革命是中国历史上最大的一次农民起义。《田朝天亩制度》；英法联军发动第二次鸦片战争，强迫清政府签定了《北京条约》。圆明园毁于第二次鸦片战争。

理解：太平天国革命的背景、意义；第二次鸦片战争的影响。

（三）

中日甲午战争

识记：中日甲午战争爆发的原因、结果；门户开放政策。

理解：《马关条约》对中国社会的严重影响。

（四）

百日维新

识记：资产阶级改良派代表人物：康有为、梁启超。百日维新。

理解：百日维新失败的原因。

（五）

义和团运动

识记：义和团运动的兴起、结果和影响；八国联军侵华；《辛丑条约》。

理解：义和团运动的意义。

（六）

辛亥革命

识记：孙中山是中国伟大的资产阶级革命家；同盟会是中国第一个资产阶级政党；三民主义；辛亥革命的爆发时间；中华民国的建立。

理解：辛亥革命失败的原因。

二、

现代史

（一）“五四运动”与中国共产党的成立

识记：俄国十月革命对中国的影响；“五四运动”；中国共产党的建立。

理解：“五四运动”的影响和意义；中国共产党建立的背景。

（二）北伐战争

识记：第一次国共合作的背景和过程；北伐战争；蒋介石叛变革命；第一次国内革命时期。

理解：第一次国共合作失败的原因。

（三）第二次国内革命战争

识记：南昌起义；秋收起义；长征；遵义会议。

理解：共产党开辟农村包围城市，武装夺取政权的道路。

（四）抗日战争

识记：卢沟桥事变；西安事变；抗日战争的胜利。

理解：第二次国共合作的背景。

（五）解放战争

识记：解放战争的爆发和结束时间；中华人民共和国的建立。

三、

当代史

识记：中华人民共和国建立的意义；中华人民共和国发展的四个阶段。

理解：中华人民共和国建立后取得的成就。

第三章

中国的人口

识记：中国是世界上人口最多的国家。2001年11月1日的全国第五次人口普查总人口约13亿。汉族占总人口的约92%。中国人口的分布特点。中国实行了计划生育政策。

理解：中国实行计划生育政策的原因、采取的措施以及取得的成绩。

第四章

中国的民族

第一节

民族状况

识记：中国是一个统一的多民族国家。中国现在有56个民族，主要是汉族，还有55个少数民族。少数民族主要分布在中国的西北、东北和西南地区。中国的少数民族一般都信仰宗教。

理解：中国少数民族的地区分布的特点：第一，分布地区广，占地面积大；第二，大杂居，小聚居；第三，资源、物产十分丰富；第四，靠近边疆，人口稀少，相对落后。

应用：列举若干中国少数民族的名称。

第二节

民族政策

理解：中国民族政策的主要内容：第一，坚持民族平等，反对民族歧视与压迫；第二，实行民族区域自治；第三，大力培养少数民族干部；第四，废除落后的旧制度，实行民主改革；第五，帮助发展少数民族的语言文字；第六，尊重少数民族的风俗习惯；第七，坚持宗教信仰自由；

第三节

发展变化

理解：中国的少数民族地区自新中国成立以来，各方面都得到了突飞猛进的发展。少数民族地区基础差、底子薄，与汉族地区相比差距比较大，但是，通过政府实行正确的民族政策，对少数民族给以巨大的支援，加上20多年来的改革开放，少数民族地区与汉族地区的差距已变得越来越小。

第五章

中国的政治制度

第一节

政治体制

识记：知道中国的主要领导人，如毛泽东、邓小平等。中国的政治体制有三个根本制度：一是人民代表大会制度，二是共产党领导下的多党合作制度，三是政治协商制度。中华人民共和国全国人民代表大会是国家最高权力机关。中国实行共产党领导的多党合作和政治协商制度。中国现有的8个民主党派。

第二节

政府机构

识记：中国国家的最高行政机关是中央人民政府，称为国务院。国务院实行总理负责制。下设若干行政部门以管理国家各方面事务。如：外交部、国防部、民政部、司法部、财政部等。

第三节

司法制度

识记：中国的司法制度分为侦查制度、审判制度、监督制度三大部分。有公安机关、人民法院、人民检察院三大司法机关。公安机关负责侦查，人民法院负责审判，人民检察院负责监督。国家的最高公安机关是公安部和国家安全部，国家的最高审判机关是最高人民法院，国家的最高法律监督机关是最高人民检察院。

第六章

中国的经济

第一节

前进历程

识记：从1953年开始，中国制定了发展国民经济的第一个五年计划，新中国的经济进入了有计划的发展时期。第一个五年计划期间，建立了以公有制经济占主导、多种经济成分并存的社会主义经济制度。

理解：从1949年中华人民共和国成立至今，中国的经济发展经过了四个时期：第一个时期，1949年—1957年，国民经济恢复和社会主义改造时期；第二个时期，1958年—1965年，第二个五年计划和国民经济调整时期；第三个时期，1966年—1976年，第三和第四个五年计划时期；第四个时期，1978年以后，改革开放，经济发展最好时期。

第二节

经济成就

识记：“三资”企业指的是合资企业、独资企业、合作企业。煤炭工业：中国煤炭储藏量居世界第一。电力工业：长江三峡水力发电站是世界上最大的水力发电站。化学工业：化肥和化学纤维年产量居世界第一。轻工业：电冰箱、洗衣机等消费品产量世界第一。

理解：新中国农业生产的发展变化主要体现在四个方面：农业生产条件显著改善；农业总产值和主要产品产量有较大幅度增长；农业经济结构发生了明显变化；农业的产业化、商品化、社会化程度明显提高。农业是国民经济的基础，工业是国民经济的主导，工业的发展水平决定着一个国家的发达程度。中国目前从总体来说，在温饱问题解决后，已经实现小康，正向全面小康过度。但是，中国的经济发展不平衡，还存在贫困地区和贫困人口。

第三节

改革开放

识记：1978年底，中国共产党召开了“十一届三中全会”，决定将工作重点转移到经济建设上来，同时决定要搞改革开放。1980年，中国创立深圳、珠海、汕头、厦门四个经济特区，标志着中国的对外开放迈出了历史性的第一步。1988年，开放海南并成立海南省，使海南成了中国最大的经济特区。1989年开发开放上海浦东，目标是要把浦东建设成为21世纪现代化的象征，成为中国扩大对外开放的重要窗口和基地。中国对外开放的目的是扩大国际交流与合作，吸收外国的资金和先进技术。2001年12月11日，中国成为世界经济贸易组织的正式成员。

理解：中国从1978年开始实行改革开放的政策。近20年来，中国是世界上发展最快的国家，除了政治稳定、社会稳定等原因外，关键是实行了改革开放政策。中国的经济发展的目标是，20世纪末全国总体上进入“小康”，2020年进入“全面小康”，21世纪中期成为现代化强国。

应用：能根据材料分析中国近20年来经济高速增长的原因。列举中国对外开放所带来的巨大成就。

第七章

中国的科技

一、

古代科技

（一）农业方面

识记：四大农书的名称及编纂时代；战国著名水利工程的名称。

理解：中国是世界上农业起源最早的国家之一，农业的发展推动水利建设。

（二）冶金技术

识记：中国商朝已有高超的青铜冶炼技术，创造了辉煌的“青铜文化”；中国古代的钢铁冶炼水平居于世界前列。

理解：中国的青铜冶炼技术对后世先进的冶铁技术出现和瓷器的发明有相当的影响。

（三）医学药物学

识记：中国古代的名医：扁鹊、华佗（掌握人名及时代）；中国古代的著名医书：《黄帝内经》；《神农本草》；《本草纲目》（掌握书名）。

（四）

建筑技术

识记：古代建筑的代表：赵州桥与李春；（掌握赵州桥的建造朝代与工匠李春的名字）；古代建筑著作的代表：宋朝李诫《营造法式》。（掌握朝代、书名、作者）

（五）

纺织印染技术等

识记：丝绸制造是中国首先发明的技术，也是古代东西方贸易的主要商品，古代东西方之间的商路因此被称作“丝绸之路”；《九章算术》是中国最古老的数学专著；祖冲之与圆周率；张衡与“浑天仪”、“地动仪”；郭守敬与“授时历”。

二、

四大发明

识记：指南针、火药、造纸术、印刷术被称作中国古代的四大发明。

理解：指南针起于战国时期的“司南”；火药的发明缘于炼丹过程中的发现；东汉蔡伦改进造纸术，使纸的制作技术成熟，被认为是纸的发明人；北宋毕昇发明了活字印刷术。

三、

当代科技

识记：中国在世界上首次人工合成胰岛素，最先完成酵母丙氨酸转移核糖核酸的全人工合成。中国的杂交水稻使水稻产量大大提高，中国航天技术的主要成就。

理解：中国古代科技于16世纪以后日趋衰弱的主要原因；

:应用：列举当代中国科技发展的主要成就。

第八章

中国的教育

第一节

古代教育

识记：中国的官学先于私学存在，孔子是中国私学的创始人；书院是高级形式的私学教育，宋代有“四大书院”，（掌握四大书院的名称）。

理解：官学、私学、书院是中国古代教育的三大类型。中国古代教育的核心内容是尊孔读经。

第二节

近现代教育

识记：中国近代第一所“洋学堂”是1862年创办于北京的京师同文馆；1912年，中华民国临时政府颁布的教育改革令使中国的教育体制基本具备了近代学校的特点。

第三节

当代教育

识记：1986年，中国全国人民代表大会通过并颁布了《中华人民共和国义务教育法》，规定义务教育的年限为九年；知道新中国教育体系的组成；知道基础教育的学制；知道普通高等教育的学制。

理解：理解新中国教育面貌的根本性变化；理解新中国教育改革的主要内容。

第九章

中国的传统思想

第一节

儒家思想

识记：知道中国传统思想的三大流派；知道儒家思想的创始人及其生活年代；知道儒家经典“六经”的具体名称；知道《论语》的主要内容、作者和历史地位；知道孟子的生活年代和所著的儒家经典著作；知道荀子的生活年代和主要著作；知道“罢黜百家，独尊儒术”的提出者和采纳者；知道宋明理学的由来、代表人物和他们的主要著作；知道“四书”的具体名称和编者。

理解：理解儒家思想的历史地位；理解孔子“有教无类”、“因材施教”的教育思想；理解对孔子的辨证评价；理解孟子思想的主要特点；理解荀子思想的主要内容；

应用：孔子儒家学说主要方面及内容；孔子、孟子、荀子思想的主要异同；汉代经学、宋明理学对原始儒家思想的继承和发展；对儒家学说的辨证评价。

第二节

道家、法家等思想

识记：知道道家学说的历史地位；知道道家创始人和《老子》；知道庄子和《庄子》；知道法家思想的形成时期、主要代表人物及其著作。知道墨家、兵家思想的代表人物及其主要著作。

第三节儒学在海外

识记：知道受儒学影响最大的地区；知道儒家思想传播到欧洲的大致时期和历史地位。

理解：理解以儒学为代表的中国传统文化对亚洲国家的深远影响。

第十章中国的文学

第一节

古代文学

识记：知道中国古代文学史的八个阶段；知道先秦散文、楚辞、汉赋、唐诗、宋词、元曲、明清小说是对古代不同时代文学突出成就与特点最高度的概括；知道《离骚》的创作时期和作者；知道《史记》的作者和创作时代；知道“建安文学”和“三曹”以及他们诗歌的总的特点；知道中国第一大“田园诗人”及其代表作；知道白居易诗歌的特点和“新乐府运动”；知道唐代的杰出诗人的姓名；知道柳永词的主要特点和“婉约词派”；知道辛弃疾词作品的主要特点和代表作；知道陆游及其代表作。知道元代文学的最高成就；知道《西厢记》、《赵氏孤儿》、《柳毅传书》、《汉宫秋》、《潇湘雨》、《梧桐雨》、《琵琶记》等著名剧作及其作者；知道中国古代小说的“四大奇书”及其作者和主要内容；知道《聊斋志异》、《儒林外史》的主要内容；

理解：理解《诗经》

“风”、“雅”、“颂”各自的含义；理解李白诗歌的特点和独特风格；理解杜甫诗歌的取材、特点和艺术风格；

理解苏轼的代表作和其对词方面的贡献；理解关汉卿的历史评价及其剧作的主要内容、代表作和艺术成就；理解《红楼梦》的作者、主要内容、艺术特点、语言特征和历史地位。

应用：能结合《早发白帝城》、《静夜思》、《望庐山瀑布》中的句子分析李白诗歌的特点；能结合《浪淘沙·赤壁怀古》简单分析苏轼词的特点。

第二节

现代文学

识记：知道“五四”新文化运动的主要内容和中国现代文学的主要特点；知道中国现代文学的四个发展阶段；知道郭沫若的作品《女神》的主要内容。知道茅盾的作品《子夜》的主要内容；知道老舍及其代表作；知道巴金及其主要作品。

理解：理解鲁迅的生平和历史地位，列举鲁迅小说的主要代表作：《狂人日记》、《阿Q正传》、《祝福》、《孔乙己》。

第三节当代文学

识记：知道中国当代文学的三个时期；知道中国当代文学的四代作家；列举中国当代文学的著名作者和作品。

第十一章中国的艺术

一、书法·绘画

识记：知道中国汉字的特点；知道中国汉字发展的几个阶段；知道中国古代最具代表性的杰出书法家的姓名和所处朝代；知道中国的三大碑林；知道中国传统绘画的三大题材。

理解：理解“甲骨文”、“篆书”、“隶书”、“草书”、“楷书”、“行书”的产生时期和各自特点，并能简单识别；

二、音乐·舞蹈

识记：知道中国最早的系统论述音乐的著作及其作者；列举5个中国传统乐器的名称；

知道中国舞蹈艺术史的转折点。

理解：理解中国舞蹈史上的最高峰及其体现。

三、戏剧·电影

识记：列举中国传统戏曲的种类和主要剧种；知道中国第一部电影名称及其拍摄时间。

理解：理解京剧在中国传统戏曲中的地位、艺术特点（音乐、角色、服装）。

四、曲艺·杂技

识记：知道中国曲艺的四大种类；知道杂技在中国成为独立表演艺术的时代；知道中国杂技艺术的两个繁荣时期。

第十二章

中国的习俗

第一节

婚姻家庭

识记：1950年中国婚姻法公布，标志着新型的婚姻家庭在法律保护下建立。1987年的新婚姻法规定：结婚年龄男22岁，女20岁。中国的四种家庭类型：单身家庭，核心家庭，主干家庭，联合家庭。

第二节

节庆假日

识记：中国的传统节日：春节、元宵节、端午节、中秋节、重阳节等。中国的现代节日：元旦、三八妇女节、五一劳动节、十一国庆节等。中国的少数民族的节日：傣族泼水节、彝族火把节、藏族藏历年等。

应用：列举中国的主要节日。

第三节

饭菜酒茶

识记：中国的饭菜种类繁多，鲜美可口。其最具影响的特色风味可分为“四大系统”：黄河下游的山东菜系、长江上游的四川菜系、长江中下游及东南沿海的江苏和浙江菜系、珠江及南方沿海的广东菜系。中国的传统酒类主要有黄酒、白酒。中国是世界上第一个生产茶叶的国家，被称为“茶叶的故乡”。公元780年，唐朝陆羽写的《茶经》一书，是世界上最早的关于茶的专著。

理解：中国的饭菜讲究色、香、味、形，要达到较高的水平，主要决定于材料的选择、刀切的方法、火候的掌握、调料的搭配、烹调的方法。中国饭菜的做法与吃法构成了中国文化的一个组成部分。茶的作用：解渴、助肠胃消化、招待客人、作为馈赠他人的礼品。

应用：列举若干中国的名酒、名茶。

第十三章

中国的旅游

识记：中国主要的旅游资源（五岳名山、四大佛教名山、黄山、桂林山水、杭州西湖、台湾日月潭等自然风光旅游资源；六大古都、三大石窟寺、长城、苏州园林等文化名胜）

理解：中国发展旅游业的有利条件和意义。

运用：列举若干中国主要旅游景点的名称。

第十四章

中国的国际交往

识记：中国古代的国际交往：丝绸之路；唐僧；鉴真；郑和下西洋。中华人民共和国获得联合国的合法席位；中美建交；中日建交；香港、澳门回归中国；北京申办奥运会成功；中国加入世界贸易组织。

理解：中国外交政策的基本原则。

9

篇2：华南理工大学本科物理化学复习笔记(2)

华南理工大学本科物理化学复习笔记(2) 本文关键词：物理化学，大学本科，华南理工，复习，笔记

华南理工大学本科物理化学复习笔记(2) 本文简介：第七章电化学一、重要概念阳极、阴极，正极、负极，原电池，电解池，电导L，电导率k，(无限稀释时)摩尔电导率L，迁移数t，可逆电池，电池的电动势E，电池反应的写法，分解电压，标准电极电位、电极的类型、析出电位，电极极化，过电位，电极反应的次序二、重要定律与公式1．电解质部分(1)法拉第定律：对反应氧化

华南理工大学本科物理化学复习笔记(2) 本文内容：

第七章

电化学

一、重要概念

阳极、阴极，正极、负极，原电池，电解池，电导L，电导率k，(无限稀释时)摩尔电导率L，迁移数t，可逆电池，电池的电动势E，电池反应的写法，分解电压，标准电极电位、电极的类型、析出电位，电极极化，过电位，电极反应的次序

二、重要定律与公式

1．电解质部分

(1)

法拉第定律：对反应

氧化态+

z

e－

→

还原态

nM

=

Q

/zF

=

It

/

zF

(2)

电导

G=1/R

=

kA/l

电导率：

k=

G

(l/A)，(l/A)-称为电导池常数

摩尔电导率：Lm=

k

/

c

摩尔电导率与浓度关系：稀的强电解质Lm=

Lm∞-

A

(3)

离子独立定律：无限稀释溶液，电解质

Lm∞

=

v+Lm∞，+

+

v-

Lm∞，-

(4)

电导应用：

i.

计算弱电解质的解离度和解离常数

对反应

HA



H+

+

A-

解离度

a

=

Lm

/Lm∞

平衡常数

K

q

=

[

a2

/

(1-

a)]

(cq/c)

ii.

计算难溶盐的溶解度

难溶盐(电解质)溶液电导率的加和性：k[溶液]=k[难溶盐]+k[水]

→

k[难溶盐]

→

摩尔电导率Lm≈Lm∞

→

溶解度c

=

k[难溶盐]/Lm

(5)

平均活度及活度系数：电解质

，，v

=

v+

+

v-

，

a±=g±b±/

bq

(6)

德拜-许克尔公式：

，其中

A=0.509(mol-1·kg)1/2

，I

=

(1/2)

S

bBZB2

2.

原电池

(1)

热力学

D

G=

-zFE

D

S=

-(?G/?

T)p

=

zF

(?

E/?

T)p

D

H

=D

G

+

T

D

S

=

-zFE

+zFT(?

E/?

T)p

Qir

=

T

D

S

=zFT(?

E/?

T)p

(2)

能斯特方程

D

rGmq

=

-zFEq

=

-RTlnKq

当T=298.15K时，

(3)

电极电势

对于还原反应：

氧化态+

z

e-

→

还原态

电极电势

电池的电动势

E

=

E+

-

E-

电池的写法：负极



正极

界面表示：

┆┆盐桥

┆可分液相接触

|

不同相

，无法区分的界面

三、关键的计算题类型

1．电解质溶液部分

由摩尔电导率计算解离率、解离平衡常数以及迁移数相关的题型。

2．给出电池，写出电极反应及计算电池反应热力学基本函数。这一类型相对容易。

3．给出反应，设计电池并计算电池反应热力学基本函数。

4．给出二个反应的基本量或若干个电极的电极电势，求相关反应的电动势或热力学量。这类题比较综合。

5．典型题形

例1(2002年题)：

25℃时，电池Zn(s)

|

ZnCl2

(b＝0.555mol·kg-1)

|

AgCl(s)

|

Ag(s)

的电动势E＝1.015V，(?E/?T)p

=

－4.02×10-4

V·K－1。已知Eq(Zn2+/Zn)＝-0.7630V,Eq(AgCl/Ag,Cl-)=0.2220V。

(1)

写出电池反应。

(2)

求上述反应的平衡常数Kq。

(3)

求电解质溶液ZnCl2的平均活度系数。

(4)

求上述反应在定浓条件下，在恒压无其他功的反应器中进行或在电池中可逆地进行时吸放的热量各为多少？(共12分)

解：(1)

电极反应：

Zn(s)

→Zn2+

+

2e—

AgCl(s)

+

e—→

Ag(s)

+

Cl—

电池反应：

Zn(s)

+

2AgCl(s)

→2

Ag(s)

+

ZnCl2(l)

(2)

Kq

=

exp(zFEq/RT)

=

exp[2×96500×(0.2220+0.7630)/8.315/298.2]=

1.983×1033

(3)

，而，

代入

1.015=(0.2220+0.7630)－(0.05916/2)lg(4×g±3×0.5553)

g±

=

0.521

(4)

可逆电池

Qr=

zFT(?

E/?T)p=

2×96500×298.2×(－4.02×10-4)

J·mol-1

=

-23136J·mol-1

非电池反应：

Qp=

DrH

=

DrG＋TDrS

=

DrG＋Qr

=

－zFE+

Qr=

[-2×96500×1.015+(-23136)]

J·mol-1

=

-219031J·mol-1

例题2(98年题)：(1)

25℃时，将某电导池充以0.1000mol·dm-3

KCl,测得其电阻为23.78W；若换以0.002414mol·dm-3

醋酸溶液，则电阻为3942W。

已知0.1000

mol·dm-3

KCl

的电导率kKCl

=1.289

S·m-1,醋酸的极限摩尔电导

L

￥HAc

=

0.03907

S·m2·mol-1

.

计算该醋酸溶液的电离度和标准电离常数．(7分)

(2)

可以将煤的燃烧反应

C(石墨)

+

O2

?

CO2设计成电池。

已知25℃、pq

时，C(石墨)的燃烧焓为

－393.51kJ·mol-1；C(石墨)、CO2(g)、O2(g)的标准摩尔熵分别为5.69、213.64和205.03J·mol-1·K-1。

(a)

求该电池的标准电动势E

q；

(b)

若25℃时，CO2的压力为101325Pa,,电池电动势E=1.012V,求此时氧的压力。

(c)

试将反应设计成电池(电解质为氧化物),并写出电极反应。(9分)

解：(1)

Kq=

(

c

/

cq

)α2/(1－α)

=(0.002414)×0.082442

/

(1－0.08244)

=

1.788×10－5

(2)

(a)

D

rH

q

=

-393.51kJ，

D

rS

q

=

2.92

J·K-1

D

rG

q=

D

rH

q－

TD

rS

q

=

－393.51kJ－298.15K×2.92k

J·K-1/1000

=

－394.38

kJ

Eq

=

(－D

rG

q)/zF

=

394380J/

(4×96500C)

=

1.022V

(b)

(b)

若E

=

1.012

V,p(CO2)=101.325kPa

E

=

E

q

－

(RT/zF)

ln

{[p(CO2)/

pq]

/

[p(O2)/

pq]}

即

1.012V

=

1.022V－

(0.05916V/4)lg

[101325Pa

/p(O2)]

则

p

(O2)=21359Pa

(c)

设计的(燃料)电池为：

C(石墨)

|

氧化物电解质(熔融物)

|

O2

|

Pt

负极：

C

+

2

O2-

?

CO2

+

4e

-

正极：

O2

+

4e

-

?

2O2-

电池反应：

C(s)

+

O2(g)

?

CO2(g)

返回

第九章

统计热力学初步

一．主要概念

定域子(可分辨)，离域子(不可分辨)，独立子，相依子；能量的分解，能级，简并度，基态，激发态；能级分布，微态，最概然分布，平衡分布，玻尔兹曼分布，配分函数，配分函数的析因子性质；统计熵(光谱熵)，量热熵，残余熵

二．主要公式

1．各种运动能级公式

平动：，立方体时

；

其中x，y，z分别为1，2，3，…，正整数；

基态e

t,0≈0

简并度g

t

：基态g

t,0

=1，第一激发态gt,1

=3。

转动：

e

r

=

J(J+1)h2/8p2I,基态e

r，0

=0；

gr

=

2J+1,J=0,1,2,…

振动：

eu

=

(u

+

)hv，

基态ev,0

=

hv

；gu

=1，u=0,1,2,…

2．各种微态数公式

(1)定域子系统：

；当

(2)离域子系统：；当

(3)系统的总微态数为：

3.

波尔兹曼分布和粒子的配分函数

粒子的配分函数：

波尔兹曼分布：是最可几分布，也是平衡分布。分布式：

任何两能级i，j上的分布数ni，nj之比：

式中的任一能级(对独立子系统)可表示五种运动形式之和

e

i

=

e

i,t

+e

i,r

+e

i,u

+e

i,e

+e

i,n

其能级的简并度亦表示为积的形式：

g

i

=

g

i,t

g

i,r

g

i,u

gi,e

gi,n

配分函数：

q

=

q

t

q

r

q,u

q

e

q

n

4．各种运动配分函数的公式

单原子分子

q

=qt

qe

qn

双原子分子

q

=qt

qr

qu

qe

qn

核配分函数qn对化学反应一般没影响，故可以不计。

(1)

平动配分函数：，

其中一维时的配分函数：ft

=

qt1/3

=

(2)

转动配分函数：qr=(Qr

/T>1时，

CV,m,u

?0；Qu/T90°，s

0即

G

>

0、=0、

>

cA，B浓度变化很小)，u=

k’

cAa，可通过上述方法求出a。

同理恒定A浓度时，u

=

k”

cBb，可通过上述方法求出b。

6．温度对反应速率的影响：速率常数k

与温度T的关系

(1)范特霍夫(Van’t

Hoff)规则：或，b=2~4称为温度系数。

(2)阿累尼乌斯(Arrhenius)方程：

(微分式，活化能Ea的定义式)

i．不定积分式：

或指数式：

以ln(k/[k])

或ln(k/[k])对1/T作图为一直线，由直线斜率和截距可分别计算活化能Ea和指前因子k0。

ii．

定积分式

：

iii．Ea大则k小，反应难。Ea大，(Ea/RT2)大，即k随T变化大，若有两个反应，活化能大的反应，升温时速率常数k增大。

7．各类典型复合反应的主要公式及基本要求

(1)一级对行反应

i.

微分式：

dcA/dt

=

－k1cA+k-1cB

ii.

积分式：

iii.

完成距平衡浓度一半的时间

，与初浓度无关。

iv.

平衡常数与正、逆速率常数关系Kc

=

k1

/

k-1

v.

反应焓与正、逆反应活化能关系DrH

?

DrU

=

E正

-

E逆

(2)

一级平行反应

i.

微分式

-

dcA/dt

=

(k1+k2)cA

ii.

积分式：ln

(

cA,0

/

cA

)

=

(

k1

+

k2

)

t

iii.

半衰期：

。

iv.

产物分布：cB

/cC

=

k1

/

k2

v.

表观活化能与基元反应活化能关系

(3)

连串反应

:

ABC

i.

微分式

-

dcA/dt

=

k1cA，

dcB/dt

=

k1cA-

k2cB，dcC/dt

=

k2cB

ii.

积分式：

中间产物极大时的时间与浓度

。

8.

处理复杂反应动力学方程的方法：

(1)

选取控制步骤法：多个反应步骤中存在控制步骤。

(2)

稳态近似法：中间物B很难生成，但反应性很强，使其浓度很低，dcB

/dt

=0。

(3)

平衡近似法：反应能随时保持平衡。

9．光化学定律

（1）

（1）

光化学第一定律：只有被系统吸收的光，才能有效地引起光化反应。

（2）

（2）

光化学第二定律：在初级过程中，系统每吸收一个光子活化一个分子或原子。

（3）

（3）

1摩尔光子能量Em(即1爱因斯坦):

Em

=

Lhv

=

Lhc

/

λ

式中:光速c，普朗克常数h,L-阿佛加德罗常数，λ-波长

(4)

量子效率:

10．催化作用

(1)催化剂：存在较少量就能显著加速反应而本身最后并无损耗的物质。减慢反应的物质称阻化剂。

(2)催化剂的基本特征

i.

催化剂参与催化反应，开辟一条更快的新途径，降低活化能，但反应前后催化剂的化学性质和数量不变。

ii.

催化剂不能改变反应系统的始、末状态。故不能改变反应的状态函数变如DG、DH。

iii.

催化剂不能改变反应的平衡状态，只能加速平衡的到达。即不能改变或平衡常数。因K

=

k1

/

k-1，故催化剂同时催化正向和逆向反应。

iv.

催化剂对反应的加速作用具有选择性。

三、主要题型：

确定反应级数a、b，计算活化能Ea及k

~T关系是本章的核心。

1．解题时注意的问题：

(1)比较熟练0，1，2级反应的动力学特征(cA-t,k

的单位，t1/2,线型图)。为了避免记错，做题时最好用动力学方程的积分式或微分式进行推导助记。

(2)题目常常给出反应动力学特征：cA-t

关系,k

的单位，t1/2,线型图等，应该马上想到对应的级数。

(3)若恒T、V，则pB=cBRT,动力学方程可用pB代替cB，即-dpA/dt

=

kp

pAa

pBb

.

其中kp=

k

(RT)1-a-b-。。。

2．给出cA-t

关系，求级数a、b，活化能Ea及k

~T关系相关的计算。

3．简单的一级复合反应(对行反应，平行反应，连串反应)相关的计算。

4．给出复杂反应的机理推导动力学方程。

5．综合例题

例题1(2002年)：乙醛热分解CH3CHO

→

CH4＋CO是不可逆反应，在518℃及恒容条件下，有数据：

初始压力(纯乙醛)

0.400kPa

0.200kPa

100秒后系统总压

0.500kPa

0.229kPa

求(1)乙醛分解的反应级数；(2)计算518℃时的速率常数；(3)实验测得在538℃时的速率常数是518℃时的两倍，计算该反应的活化能。(共12分)

解：本题与天津大学《物理化学》第四版教材11.33题基本相同。

设甲醛为A，因为是恒温恒容反应，可用压力代替浓度进行有关计算。

A

→

CH4

＋

CO

t=0

pA0

0

0

总压p=pA0

t=t

pA

pA0－pA

pA0－pA

总压p=2pA0－pA

所以

pA=2pA0－p

(1)

可用多种方法求解。比较简单的是积分法。假设为级数n＝1，

则

k=ln(pA0/pA)/t

=ln[pA0/(2pA0－p)]/t

代入数据：

k1=ln[0.400/(2×0.400－0.500)]/100s=0.00288s－1

k2=ln[0.200/(2×0.200－0.229)]/100s=0.00157s－1

速率常数相差太多，可否定为一级反应。

假设为二级反应，则

k=(pA－1－pA0－1)

t

代入数据得：

k1=[(2×0.400-0.500)-1－0.400-1]

kPa-1/100s＝0.00833

kPa-1·s－1

k2=[(2×0.200-0.229)-1－0.200-1]

kPa-1/100s＝0.00848

kPa-1·s－1

速率常数非常接近，所以可认为是二级反应。

用n级反应的压力与时间式代入建立一个方程，用尝试法求n亦可。

(2)

速率常数

k=(k1+k2)/2

=0.00841

kPa-1·s－1。

(3)

Ea=RT1T2ln(k’/k)/(

T2－T1)

＝(8.315×793.15×813.15×ln2/20)J·mol－1

＝186

kJ·mol－1

例题2(2002年)：有下列反应

式中k1和k2分别是正向和逆向基元反应的速率常数，它们在不同温度时的数值如下：

温度/K

300

310

k1/s-1

3.50×10-3

7.00×10-3

k2/(s·pq)-1

7.00×10-7

1.40×10-6

(1)

(1)

计算上述可逆反应在300K时的平衡常数Kp和Kq。

(2)

(2)

分别计算正向反应与逆向反应的活化能E1和E2。

(3)

(3)

计算可逆反应的反应焓DH。

(4)

(4)

在300K时，若反应容器中开始时只有A，其初始压力p0为pq，问系统总压p’,达到1.5pq时所需时间为多少？(可适当近似)(13分)。

解：(1)

Kp=k1/k2=3.50×10－3s－1/7.00×10－7(s·pq)-1＝2000

pq

Kq＝Kp

/pq

=2000

(2)

E1=RTT’ln(k1’/k1)/(

T’－T’)=

[8.315×300×310×ln(7.00/3.50)/(310－300)]J·mol－1

＝53.6k

J·mol－1

E2=RTT’ln(k2’/k2)/(

T’－T’)

=

[8.315×300×310×ln(1.40×10－6/7.00×10－7)/(310－300)]J·mol－1

＝53.6k

J·mol－1

(3)

DH=

E1－E2＝

0

(4)

A(g)

=

B(g)

+

C(g)

t=0

pq

p=

pq

t=t’

pA

pq

-pA

pq

-pA

p=

2pq

-pA

即pA＝2pq

－p

速率方程

-dpA

/dt

=

k1

pA－k2

(pq

-pA)2

≈k1

pA

(

∵

pqk2

Na+。又因与胶粒带同种电荷的离子能削弱反离子作用，高价强于低价，即聚沉能力有SO42－

<

Cl－，因此可得到上面的聚沉能力次序。简述热力学三个定律及其应用。

例题2(2001年)：在浓度为10

mol·m-3的20cm3

AgNO3溶液中，缓慢滴加浓度为15

mol·m-3的KBr溶液10cm3

，以制备AgBr溶胶。

(1)

写出AgBr溶胶的胶团结构表达式，指出电泳方向。

(2)

在三个分别盛10cm3

AgBr溶胶的烧杯中，各加入KNO3、K2SO4、K3PO4

溶液使其聚沉，最少需加电解质的数量为：1.0

mol·m-3的KNO3

5.8

cm3

；0.01

mol·m-3的K2SO4

；8.8

cm3

；1.5×10－3

mol·m-3的K3PO4

8.0

cm3

；计算各电解质的聚沉值以及它们的聚沉能力之比。

(3)

293K时，在两极距离为35cm的电泳池中施加的电压为188V，通电40min

15s，测得AgBr溶胶粒子移动了3.8cm。问该溶胶的x电势为多大？已知293K时分散介质的相对介电常数er＝80，粘度h＝1.03×10-3

Pa·s

，真空介电常数e

0＝8.854×10-12F·m-1。(10分)

解：(1)

AgNO3过量，为稳定剂，胶团结构为

[(AgBr)m

nAg＋·(n－x)NO3－

]x+

·xNO3－

胶粒带正电，电泳时向负极移动。

(2)

KNO3

的聚沉值：

1.0mol·dm-3×5.8cm3

/

(10+5.8)

cm3

=

0.367

mol·dm-3

K2SO4的聚沉值：

0.01

mol·dm-3×8.8cm3

/

(10+8.8)

cm3

=

4.68×10-3

mol·dm-3

K3PO4

的聚沉值；0.0015

mol·dm-3×8.0cm3

/

(10+8.0)

cm3

=

6.67×10-4

mol·dm-3

聚沉能力之比

KNO3：K2SO4：K3PO4

=

(1/0.357)：(1/4.48×10-3)：(1/6.67×10-4)

=1：79.7：535

(3)

由公式u=eEz/h

=e(V/l)

z/

h得

z

=

ulh

/eV

=

ul

h

/er

e0

V

=

(0.038m/2415s)

×0.35m

×1.03×10-3Pa·s/

(80×8.854×10-12F·m-1×188V)

=

0.0426V

篇3：线性代数复习总结

线性代数复习总结 本文关键词：线性代数，复习

线性代数复习总结 本文简介：概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.√关于：①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；②线性无关；③；④；⑤任意一个维向量都可以用线性表示.行列式的定义√行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应

线性代数复习总结 本文内容：

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.

√

关于：

①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；

②线性无关；

③；

④；

⑤任意一个维向量都可以用线性表示.

行列式的定义

√

行列式的计算：

①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

②若都是方阵（不必同阶）,则（拉普拉斯展开式）

③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

④关于副对角线：

（即：所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和）

⑤范德蒙德行列式：

矩阵的定义

由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或

伴随矩阵

，为中各个元素的代数余子式.

√

逆矩阵的求法:

①

：

②

③

√

方阵的幂的性质：

√

设的列向量为,的列向量为，

则

，为的解可由线性表示.即：的列向量能由的列向量线性表示，为系数矩阵.

同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵.

即：

√

用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量；

用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量.

√

两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

√

分块矩阵的转置矩阵：

分块矩阵的逆矩阵：

分块对角阵相乘：,分块对角阵的伴随矩阵：

√

矩阵方程的解法()：设法化成

①

零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.

②

单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.

③

部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.

（向量个数变动）

④

原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.

（向量维数变动）

⑤

两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.

⑥

向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.

⑦

向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.

向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.

⑧

维列向量组线性相关；

维列向量组线性无关.

⑨

若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.

⑩

矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.

行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

行阶梯形矩阵

可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为行最简形矩阵

?

矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；

矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.

即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.

√

矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：

对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘；

对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘.

矩阵的秩

如果矩阵存在不为零的阶子式，且任意阶子式均为零，则称矩阵的秩为.记作

向量组的秩

向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作

矩阵等价

经过有限次初等变换化为.

记作：

向量组等价

和可以相互线性表示.

记作：

?

矩阵与等价，可逆作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.

矩阵与作为向量组等价

矩阵与等价.

?

向量组可由向量组线性表示有解≤.

?

向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.

向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.

?

向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；

?

任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.

?

向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.

?

若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.

?

设是矩阵,若，的行向量线性无关；

若，的列向量线性无关,即：线性无关.

√

矩阵的秩的性质：

①≥

≤≤

②

③

④

⑤≤

⑥

即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.

⑦若；

若

⑧等价标准型.

⑨≤

≤≤

⑩

：

线性方程组的矩阵式

向量式

矩阵转置的性质：

矩阵可逆的性质：

伴随矩阵的性质：

（无条件恒成立）

10

线性方程组解的性质：

√

设为矩阵,若一定有解，

当时,一定不是唯一解,则该向量组线性相关.

是的上限.

√

判断是的基础解系的条件：

①

线性无关；

②

都是的解；

③

.

√

一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.

√

若是的一个解，是的一个解线性无关

√

与同解（列向量个数相同）,则：

①

它们的极大无关组相对应,从而秩相等；

②

它们对应的部分组有一样的线性相关性；

③

它们有相同的内在线性关系.

√

两个齐次线性线性方程组与同解.

√

两个非齐次线性方程组与都有解，并且同解.

√

矩阵与的行向量组等价齐次方程组与同解（左乘可逆矩阵）；

矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）.

√

关于公共解的三中处理办法：

①

把(I)与(II)联立起来求解；

②

通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；

当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设是(I)的基础解系,是(II)的基础解系，则

(I)与(II)有公共解基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.

即：

当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设是(I)的通解，是(II)的通解，两方程组有公共解可由线性表示.

即：

③

设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。

标准正交基

个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.

向量与的内积

.

记为：

向量的长度

是单位向量

.

即长度为的向量.

√

内积的性质：

①

正定性：

②

对称性：

③

双线性：

的特征矩阵

.

的特征多项式

.

√

是矩阵的特征多项式

的特征方程

.

√

，称为矩阵的迹.

√

上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.

√

若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.

√

一定可分解为=、,从而的特征值为：,.

为各行的公比，为各列的公比.

√

若的全部特征值，是多项式,则:

①

若满足的任何一个特征值必满足

②的全部特征值为；.

√

初等矩阵的性质：

√

设，对阶矩阵规定：为的一个多项式.

√

√

√

的特征向量不一定是的特征向量.

√

与有相同的特征值，但特征向量不一定相同.

与相似

（为可逆矩阵）

记为：

与正交相似

（为正交矩阵）

可以相似对角化

与对角阵相似.

记为：

（称是的相似标准形）

√

可相似对角化

为的重数恰有个线性无关的特征向量.

这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.设为对应于的线性无关的特征向量,则有：

.

：当为的重的特征值时，可相似对角化的重数

基础解系的个数.

√

若阶矩阵有个互异的特征值可相似对角化.

√

若可相似对角化,则其非零特征值的个数（重根重复计算）.

√

若=，

√

相似矩阵的性质：

①,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.

是关于的特征向量,是关于的特征向量.

②

③

从而同时可逆或不可逆

④

⑤；

（若均可逆）；

⑥

（为整数）；，

⑦

前四个都是必要条件.

√

数量矩阵只与自己相似.

√

实对称矩阵的性质：

①

特征值全是实数,特征向量是实向量；

②

不同特征值对应的特征向量必定正交；

：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

③一定有个线性无关的特征向量.

若有重的特征值,该特征值的重数=；

④必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；

⑤与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；

⑥两个实对称矩阵相似有相同的特征值.

正交矩阵

√

为正交矩阵的个行（列）向量构成的一组标准正交基.

√

正交矩阵的性质：①

；

②

；

③

正交阵的行列式等于1或-1；

④

是正交阵,则，也是正交阵；

⑤

两个正交阵之积仍是正交阵；

⑥

的行（列）向量都是单位正交向量组.

二次型

，即为对称矩阵，

与合同

.

记作：

（）

正惯性指数

二次型的规范形中正项项数

负惯性指数二次型的规范形中负项项数

符号差

(为二次型的秩)

√

两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等.

√

两个矩阵合同的充分条件是：

√

两个矩阵合同的必要条件是：

√

经过化为标准形.

√

二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由

唯一确定的.

√

当标准形中的系数为-1或0或1时,称为二次型的规范形

.

√

实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.

√

惯性定理：任一实对称矩阵与唯一对角阵合同.

√

用正交变换化二次型为标准形:

①

求出的特征值、特征向量；

②

对个特征向量正交规范化；

③

构造（正交矩阵）,作变换,则新的二次型为,的主对角上的元素即为的特征值.

施密特正交规范化

线性无关,单位化：

技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量.

例如：取，.

正定二次型

不全为零，.

正定矩阵

正定二次型对应的矩阵.

√

为正定二次型（之一成立）：

①

，；

②

的特征值全大于；

③

的正惯性指数为；

④

的所有顺序主子式全大于；

⑤

与合同，即存在可逆矩阵使得；

⑥

存在可逆矩阵，使得；

⑦

存在正交矩阵，使得

（大于）.

√

合同变换不改变二次型的正定性.

√

为正定矩阵

；

.

√

为正定矩阵也是正定矩阵.

√

与合同，若为正定矩阵为正定矩阵

√

为正定矩阵为正定矩阵，但不一定为正定矩阵.

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