专题07,数列大题专项训练（文）（解析版）

时间：2021-02-05 05:08:29 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　 1 题 专题 07

　数列 大题专项训练 一、巩固基础知识 1．已知数列 } {na 是递增的等差数列， 32 a ，1a 、1 3a a  、1 8a a  成等比数列。

　(1)求数列 } {na 的通项公式； (2)若13n nna ab ，数列 } {nb 的前 n 项和nS ，求满足2536nS 的最小的 n 的值。

　【解析】(1)设 } {na 的公差为 d ( 0  d )，由条件得：

　31 d a ，21 1) 2 ( ) 7 2 ( d d a a   ， 0  d ， 解得 11 a ， 2  d ，∴ 1 2   n a n ； (2) )1 211 21(23) 1 2 )( 1 2 (3 31  n n n n a abn nn， ∴1 23)1 211 215131311 (23      nnn nS n ， 由25361 23 nn得 12  n ，∴满足2536nS 的最小值的 n 的值为 13 。

　2．已知等比数列 } {na 的前 n 项和为nS ，且 1 21  n nS a (N n )。

　(1)求数列 } {na 的通项公式； (2)若数列 } {nb 满足13nbna ，求数列 } {nnab的前 n 项和nT 。

　【解析】(1)当 1  n 时， 1 21 2  a a ， 当 2  n 时，n n n n na S S a a 2 2 21 1    ，即n na a 31  ， ∴等比数列 } {na 的公比是 3 ，∴1 23a a  ，即1 13 1 2 a a   ，故 11 a ， 故数列 } {na 是首项为 1 ，公比为 3 的等比数列，13nna ； (2)由(1)知，13nna ，又13nbna ，∴ 1 1    n b n ，故 n b n  ，∴13nnnnab， 则1 2 3 2 1 03 3132333231       n n nnn n nT ， nT31

　n n nn n n3 31323332311 2 3 2 1     ， 两式相减得n nnn n n nnn n nT3 23 22333113113 313131313131321 2 3 2 1 0             ， ∴13 43 249 nnnT 。

　3．已知数列 } {na 满足1 22  n n na a a ，nS 为 } {na 的前 n 项和，8 5 22 a a a   ， 255 S 。数列 } {nb 为等比

　 2 数列且 0 nb ，1 1a b  ，5 122a a b  。

　(1)求2b 的值； (2)记n nna bc ) 3 log 2 (43，其前 n 项和为nT ，求证：34nT 。

　【解析】(1)由1 22  n n na a a 得数列 } {na 为等差数列，设公差为 d ，则由8 5 22 a a a   ， 255 S 得：

　  2524 553 ) ( 211dad d a，解得211da， ∴ 1 2 ) 1 ( 2 1      n n a n ，∴ 11 a ， 95 a ， 由5 122a a b  且 0 nb 得 32 b ； (2)设 } {nb 的公比为 q ，由(1)可知 3  q ，∴13nnb ， ∴ )1 211 21( 2) 1 2 ( ) 1 2 (4) 3 log 2 (43   n n n n a bcn nn， )1 211 ( 2 )1 211 215131311 ( 2       n n nT n ， 易知nT 随着 n 的增大而增大，∴34)311 ( 21   T T n 。

　4．已知数列 } {na 是等比数列，其前 n 项和是nS ，且 1 2 3     t t Snn(N n )。

　(1)求数列 } {na 的通项公式； (2)设nnSb11log31(N n )，求数列 } {n nb a  的前 n 项和nT 。

　【解析】(1) 1 1 2 31     t t t S ， 1 7 1 2 92     t t t S ， 1 25 1 2 273     t t t S ， 则 11 1   t S a ， t S S a 61 2 2   ， t S S a 182 3 3   ，则 t t t 18 ) 1 ( ) 6 (2   ， 解得 1  t ， 21 a ， 3  q ，∴13 2 nna ； (2) 1 31 31 32   nnnS ， n bnnn   3 log1 3 11log331，设13 2   nn n nn b a c ， 则1 2 3 2 1 03 2 3 ) 1 ( 2 3 ) 2 ( 2 3 6 3 4 3 2                 n n nnn n n T ①， n n nnn n n T 3 2 3 ) 1 ( 2 3 ) 2 ( 2 3 6 3 4 3 2 31 2 3 2 1                ②， ①-②得n n nnn T 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 21 2 2 1 0                1 3 ) 2 1 ( 3 2 1 3 3 2 ) 3 3 3 ( 21 1 0                n n n n nn n n ， ∴2123 ) 1 2 ( nnnT 。

　 3 5．已知等差数列 } {na 的前 n 项和为nS ， 93 S ，1a 、3a 、7a 成等比数列。

　(1)求数列 } {na 的通项公式； (2)若数列 } {na 的公差不为 0 ，求证：911 1 1 1 13 2 1     nS S S S(N n ， 3  n )。

　【解析】(1)∵ } {na 是等差数列，设公差为 d ，∴ 9 32 3 2 1 3     a a a a S ， 32 a ， ∵1a 、3a 、7a 成等比数列，∴22 2 2) ( ) 5 )( ( d a d a d a     ，∴2) 3 ( ) 5 3 )( 3 ( d d d     ，

　解得 0  d 或 1  d ，∴ 1   n a n 或 3 na ； (2)∵公差不为 0 ，∴ 1   n a n ，2) 3 ( n nS n ， 令 )31 1(32) 3 (332) 3 (2 1    n n n n n n Sbnn， 当 3  n 时， 原式nb b b b      3 2 1 )31 121111121613151214111(32           n n n n n n

　 911)312111(32)312111312111(32        n n n。

　二、扩展思维视野 6．已知数列 } {na 的前 n 项和为nS ， 11 a ， 32 a ，且 n S S Sn n n    1 12 3 ( 2  n ，N n )。

　(1)设 1    n a bn n，求证：数列 } {nb 为等比数列； (2)求数列 }2{nna的前 n 项和nT 。

　【解析】(1)由已知得 n S S S Sn n n n     1 12 2 ，即 n a an n 21( 2  n )， ∴ 212 2 2121 1     n an an an abbnnnnnn( 2  n )， 又∵ 212bb，且 3 1 11 1   a b ，故数列 } {nb 是首项为 3 、公比为 2 的等比数列； (2)由(1)知12 3 1   nnn a ，则 1 2 31   n ann，∴nnnna)21( ) 1 (232    ， 设n n nn n n A )21( ) 1 ( )21( )21( ) 1 ( )21( 4 )21( 3 )21( 21 2 3 2 1                ，

　 A211 1 4 3 2)21( ) 1 ( )21( )21( ) 1 ( )21( 4 )21( 3 )21( 2               n n nn n n ， 两式相减得：

　)23( )21(23)21( )21( )21( )21( )21( 1211 1 3 2           nAn n n n，

　 4 解得nn A )21( ) 3 ( 3     ， ∴数列 }2{nna的前 n 项和nnn n T )21( ) 3 ( 323     。

　7．在公差不为 0 的等差数列 } {na 中，1a 、4a 、8a 成等比数列。

　(1)已知数列 } {na 的前 10 项和为 45 ，求数列 } {na 的通项公式； (2)若11n nna ab ，且数列 } {nb 的前 n 项和为nT ，若9191 nT n ，求数列 } {na 的公差。

　【解析】(1)设等差数列 } {na 的公差为 d ( 0  d )，由1a 、4a 、8a 成等比数列可得：8 124a a a   ， 即 ) 7 ( ) 3 (1 121d a a d a     ，即 d a 91 ， 由数列 } {na 的前 10 项和为 45 得：

　45 45 101  d a ，即 45 45 90   d d ，解得31 d ， 31 a ，

　∴数列 } {na 的通项公式为：3831) 1 ( 3    nn a n ； (2)∵ )1 1(1)1 1(1) (1 11 1     n n n n n n n nna a d d a a d d a a a ab ， ∴数列 } {nb 的前 n 项和 )1 1(1)]1 1( )1 1( )1 1[(11 1 1 3 2 2 1             n n nna a d a a a a a a dT ， 又由(1)可知 d a 91 ， 即 )9191(1)9191(1)1 1(1)1 1(121 1 1 1n d nd d d d nd a a d a a dTnn     ， 即 )9191(191912n d n   ，即 112d，解得 1  d 或 1   d 。

　8．已知等差数列 } {na 的前 n 项和为nS (N n )，数列 } {nb 是等比数列，满足 31 a ， 11 b ， 102 2  S b ，3 2 52 a b a   。

　(1)求数列 } {na 和 } {nb 的通项公式； (2)令为偶数 ，为奇数 ，n bnS cnnn2，设数列 } {nc 的前 n 项和nT ，求nT 。

　【解析】(1)设等差数列 } {na 的公差为 d ，等比数列 } {nb 的公比为 q ( 0  q )， ∵ 31 a ， 11 b ， 102 2  S b ， 3 2 52 a b a   ，∴      d q dd q2 3 2 4 310 3 3， ∴ 2  d ， 2  q ，∴ 1 2   n a n ，12nnb ； (2)由(1)可得， ) 2 (2) 1 2 3 (   n nn nS n ，

　 5 则为偶数 ，为奇数 ，nnn ncnn12) 2 (2，即为偶数 ，为奇数 ，nnn n cnn1221 1， 当 n 为奇数时， ) 2 2 2 ( )21 15131311 (2 3 1            nnn nT

　2131 24 1) 4 1 ( 2)211 (21  n nnn， 当 n 为偶数时， ) 2 2 2 ( )11115131311 (1 3 1           nnn nT

　1131 24 1) 4 1 ( 2)111 (12  n nnn。

　9．已知等差数列 } {na 和等比数列 } {nb ，其中 } {na 的公差不为 0 ，设nS 是数列 } {na 的前 n 项和，若1a 、2a 、5a 是数列 } {nb 的前 3 项，且 164 S 。

　(1)求数列 } {na 和 } {nb 的通项公式； (2)若数列 }1 4{t aSnn为等差数列，求实数 t 。

　【解析】(1)设 } {na 的公差为 d ，且 0  d ，设 } {nb 的公比为 q ，且 0  q ， ∵1a 、2a 、5a 是数列 } {nb 的前 3 项，则5 122a a a   ， 即 ) 4 ( ) (1 121d a a d a     ，化简得 d a 12 ， 又∵ 16 6 42) 1 4 ( 441 1 4     d a d a S ， 化简得 8 3 21  d a ，解得 11 a ， 2  d ，∴ 1 2 ) 1 (1     n d n a a n ， ∵ 11 a 、 32 a 、 95 a 是数列 } {nb 的前 3 项，则 11 1  a b ， 312 aaq ， ∴1 113   n nnq b b ， (2)由(1)可知2 12n na aSnn  ，数列 }1 4{t aSnn为等差数列，即数列 }1 21 4{2t nn 为等差数列，

　设t nnc n 1 21 42，则tc131，tc3152，tc5353，则3 1 22 c c c   ， (注意：正常数列是不允许代数的，但当已知数列是等差或等比的时候就可以代数了) 则t t t 535133152 ，化简得 0 22  t t ，解得 01 t 、 22 t ， 当 0  t 时， 1 21 21 42  nnnc n ，是首项为 3 ，公差为 2 的等差数列，可取，

　 6 当 2  t 时， 1 21 21 42  nnnc n ，是首项为 1 ，公差为 2 的等差数列，可取， 综上实数 t 可取 0 或 2 。

　三、提升综合素质 10．设nS 为数列 } {na 的前 n 项和，已知n na a 12 ，且8154 S 。

　(1)求 } {na 的通项公式； (2)若点 ) (n nb a ， 在函数xy2log 2  的图像上，求证：

　11 1 11 3 2 2 1       n n bb b b b b。

　【解析】(1)∵n na a 12 ，且8154 S ，∴ 0 na 且211nnaa， ∴数列 } {na 为等比数列，且公比21 q ， ∴815211)21( 141 4  a S ， 解得 11 a ，∴1 1 11)21( )21( 1      n n nnq a a ； (2)由(1)可得n nna  1 12 )21( ， ∵点 ) (n nb a ， 在函数xy2log 2  的图像上，∴ nabnnnn   ) 2 ( log22log2log212 2， ∴11 1) 1 (1 11  n n n n b bn n， ∴111 )11 1( )3121( )2111(1 1 11 3 2 2 1                n n n b b b b b bn n， 又∵N n ，∴ 1111 n，∴原式得证。

　11．已知数列 } {na 中， 51 a ， 22 a ，且1 25 ) ( 2  n n na a a 。

　(1)求证：数列 } 2 {1 n na a 和 }21{1 n na a 都是等比数列； (2)求数列 } 2 {3nna 的前 n 项和nS 。

　【解析】(1)证明：∵1 25 ) ( 2  n n na a a ，∴1 25 2 2  n n na a a ，∴n n n na a a a 2 ) 2 ( 21 1 2    ， ∴212211 2 n nn na aa a，∵ 8 5 2 2 21 2      a a ，

　 7 ∴ } 2 {1 n na a 是以 8  为首项，21为公比的等比数列，∴11)21( 8 2   nn na a ， ∵1 25 ) ( 2  n n na a a ，∴ )21( 2211 1 2 n n n na a a a     ， ∴ 2212111 2 n nn na aa a，∵215212211 2      a a ， ∴ }21{1 n na a 是以21 为首项， 2 为公比的等比数列，∴1122121   nn na a ； (2)由(1)知11)21( 8 2   nn na a ①；1122121   nn na a ②； 由①②解得 ) 2 2 (322 4   n nna ，验证 51 a ， 22 a 适合上式， ∴ ) 2 2 (32) 2 2 (322 25 2 2 4 3 3          n n n nnna ， ) 2 2 (32) 2 2 (32) 2 2 (32) 2 2 (325 2 1 3            nnS

　36136434]4 1) 4 1 (812 [32)] 2 2 2 2 ( 2 [325 2 1 3            nnnnn n 。

　12．已知各项均为正数的数列 } {na 的前 n 项和为nS ，且n nS a 2 1  。

　(1)求数列 } {na 的通项公式na ； (2)设数列 } ) 1 {(1  n nna an的前 n 项和为nT ，求2020T 。

　【解析】(1)∵n nS a 2 1  ，∴n nS a 4 ) 1 (2  ，即41 22 n nna aS ， 当 1  n 时，41 21211 a aa ，即 0 ) 1 (21  a ，解得 11 a ， 当 2  n 时，42 241 241 2121212121         n n n n n n n nn n na a a a a a a aS S a ， 化简得 ) )( ( ) ( 21 12121         n n n n n n n na a a a a a a a ， 又数列 } {na 各项均为正数，∴ 01  n na a ，∴ 21  n na a ， ∴数列 } {na 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列， ∴ 1 2 2 ) 1 ( 1       n n a n ； (2)设1) 1 (  n nnna anb ，

　 8 由(1)得 )1 211 21( ) 1 (41) 1 2 ( ) 1 2 () 1 (       n n n nnbn nn， 则2020 2 1 2020b b b T     

　 )4041140391( ) 1 (41)5131( ) 1 (41)3111( ) 1 (412020 2 1                

　 )404114039151313111(41          ) 140411(41  40411010  。