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    重积分教案讲义

    时间：2021-04-09 20:08:11 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

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    　 重积分教案讲义 第一节二重积分的概念与性质 与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.

    　分布图示

    　★曲顶柱体的体积

    　★非均匀平面薄片的质量

    　★二重积分的概念

    　★二重积分的性质

    　 ★二重积分的中值定理

    　★例 1

    　★例 2

    　 ★例 3

    　★例 4

    　★例 5

    　★内容小结

    　 ★课堂练习

    　★习题 9-1

    　★返回

    　 内容要点

    　一、二重积分的概念

    　 引例 1 1 求曲顶柱体的体积； 引例 2 2 求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义 二、二重积分的性质

    　性质 1—性质 6 二重积分与定积分有类似的性质. 性质 1 1

    　性质 2 2 如果闭区域 D 可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域 和 ,则

    　这个性质表明 二重积分对积分区域具有可加性. 性质 3 3 如果在闭区域 D 上, 为 D 的面积,则

    　这个性质的几何意义是:以 D 为底、高为 1 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积. 性质 4 4 如果在闭区域 D 上,有 则

    　特别地,有

    　性质5 5设 分别是 在闭区域 D 上的最大值和最小值,为 D 的面积,则

    　这个不等式称为二重积分的估值不等式. . ) , ( ) , ( )] , ( ) , ( [    D D Dd y x g d y x f d y x g y x f       1D2D. ) , ( ) , ( ) , (2 1   D D Dd y x f d y x f d y x f    , 1 ) , (  y x f. 1       D Dd d), , ( ) , ( y x g y x f . ) , ( ) , ( D Dd y x g d y x f  . | ) , ( | ) , ( D Dd y x f d y x f  m M, ) , ( y x f . ) , (    M d y x f mD  

    　例题选讲

    　二重积分的性质

    　例 例 1 1 不作计算，估计 的值，其中 是椭圆闭区域：

    　. 解区域 D 的面积 在 上

    　 由性质 6 知

    　例 例 2 2 （ E01 ）估计二重积分 的值,其中积分区域 为矩形闭区域 . 解 积分区域面积

    　在 上 的最大值 最小值

    　故

    　 例 例 3 3 判断 的符号. 解当 时，

    　 d e IDy x) (2 2D12222 byax) 0 ( a b  ,   ab  D , 02 2 2a y x    , 12 2 20 a y xe e e   ,2 2 2) ( aDy xe d e       .2 2 2) ( aDy xe ab d e ab        D xy y xdI16 22 2D } 2 0 , 1 0 | ) , {(     y x y x,16 ) (1) , (2 y xy x f  , 2  D ) , ( y x f ), 0 (41   y x M ), 2 , 1 (514 312 2   y x m4252  I . 5 . 0 4 . 0   I  12 2) ln(y x rdxdy y x ) 1 (  r1 | | | |    y x r , 1 |) | | (| 02 2 2     y x y x

    　 故

    　又当 时，

    　于是

    　例 例 4 4 积分 有怎样的符号,其中

    　解

    　<0

    　 例 例 5(E02)比较积分 与 的大小，其中区域D 是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0). 解三角形斜边方程 在 内有 故

    　 于是 因此

    　课堂练习

    　1.将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出它们的相同之处与不同之处. 2.试用二重积分表示极限

    　; 0 ) ln(2 2  y x1 | | | |   y x , 0 ) ln(2 2  y x. 0 ) ln(1 | | | |2 2    y x rdxdy y xdxdy y xD 32 21 . 4 :2 2  y x D Ddxdy y x32 21          3 132 2132 22 2 2 21 1y x y xdxdy y x dxdy y x    4 332 22 21y xdxdy y x        3 13132 2 2 21 1 0 1y x y xdxdy dxdy) 2 1 ( ) 3 4 )( 2 (3 3         Dd y x  ) ln(Dd y x 2)] [ln(, 2   y x D , 2 1 e y x     , 1 ) ln( 0    y x, )] [ln( ) ln(2y x y x   . )] [ln( ) ln(2   D Dd y x d y x  .1lim1 1222 2  ninjnj inen

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