向量平行与垂直练习题含解析
向量的平行与垂直 练习题含解析
一、基础知识回顾:
1 1 . 平行向量定义:①方向
或
的非零向量叫平行向量,向量 、 平行,记作 ∥ ;②规定:
与任一向量
; ③共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量. 2.
向量共线定理 向量 与非零向量 共线的充要条件:有且只有一个实数λ,使 =λ .(等价于:存在两个不同为零的实数1 、 2 ,使得
3.
非零量 向量 和 和 :
的数量积的定义:
· =
(向量 和的夹角为 )
4.
非零量 向量 和 和 垂直的定义:如果两个非零向量 和
,则说 和 垂直,记作 ⊥ 5. 非零 向量垂直的充要条件:符号语言:
坐标语言:设 =(x 1 ,y 1 ), =(x 2 ,y 2 ),则
6.
向量共线的充要条件:符号语言:
=λ ( ,)
坐标语言:设 =(x 1 ,y 1 ), =(x 2 ,y 2 ),则
二、 基础训练 1.与向量 垂直的单位向量是_________
_____. a b a b 0baba ). 02 1 b a a b a b a ba b a ba b a b b aab b a b a// baa0 R ab b a//) 4 , 3 ( a
2.与向量 平行的单位向量是_______
_______. 3.若三点共线,则 k =______________. 4.若
( )
A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 三、典型例题
例 1.已知向量 , ,且 ,求实数 的值。
例 2.已知
(1)求 ; (2)当 为何实数时, 与 平行, 平行时它们是同向还是反向?. (3)当 为何实数时, 与 垂直?.
例 3.已知点 及 ,试问: (1)当 为何值时, 在 轴上? 在 轴上? 在第三象限? ) 4 , 3 ( aD B A e e CD e e CB e k e AB e e , , , 2 , 3 , 2 , ,2 1 2 1 2 1 2 1若 已知 是两个不共线的向量 的 是 则 b ayyxxy x b y x a // ), , ( ), , (21212 2 1 1 (1,2), ( ,1), 2 a b x u a b 2 v a b // u vx). 1 , 2 ( ), 0 , 1 ( b a| 3 | b a kk abb a3 k k abb a3 ) 5 , 4 ( ), 2 , 1 ( ), 0 , 0 ( B A O AB t OA OP t P x P y P
(2)O、A、B、P 四点能否构成平行四边形?若能,则求出 的值.若不能,说明理由.
例 4.已知平面上三个向量 、 、 的模均为 1,它们相互之间的夹角均为 120°, (1)求证:
⊥ ;(2)若 ,求 的取值范围.
四、课后作业
班级
姓名
( )1.如果 互相垂直,则实数 x 等于 tabc) ( b a c1 | | c b a k) ( R k k) 4 , 1 ( ) 3 , 2 2 ( x x b x a 与
A.
B.
C. 或
D. 或-2 ( )2.三点 A( x 1 , y 1 ),B( x 2 , y 2 ),C( x 3 , y 3 )共线的充要条件是
A. x 1 y 2 - x 2 y 1 =0
B. x 1 y 3 - x 3 y 1 =0
C.
D.
( )3.已知
A.2
B.-2
C.±2
D.±
( )4.非零向量 、 的位置关系是
A.平行
B.垂直
C.共线且同向
D.共线且反向 ( )5.下列命题中正确的是
A.若
B.若
C.若
D.若
( )6.向量 =(3,4)按向量 a a=(1,2)平移后为
A、(4,6)
B、(2,2)
C、(3,4)
D、(3,8)
( )7.下面四个条件:
②
③
2127212727) )( ( ) )( (1 2 1 3 1 3 1 2y y x x y y x x ) )( ( ) )( (1 3 1 2 1 3 1 2y y y y x x x x 为 则 且 b a b a b a , 2 | | , 1 | | //3a b a b a b a b a b 与 则向量 不平行于 且 满足 , |, | | |0 , 0 b a b a 或 则 b a b a // , 0 则 2) ( , b a b a b a 则 | || | , , b a b a b a 则 共线ABe b a e b a 5 3 且 ①) 0 ( b R b a 且 唯一 且 ) , ( 02 1 2 1R x x b x a x ) 0 , ( 0 y x R y x b y a x 且 ④
其中能使 共线的是
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④ ( )8. 在△ABC 中,∠C=90°, 则 k 的值是
A.1.5 B.-1.5 C.5 D. -5 9.已知
10.设 ,且有 ,则锐角
。
11.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点为 A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点 D 的坐标为__ ____. 12.给出下列命题:
( 1 )
如 果
( 2 )
如 果
(3)如果 方向相反; (4)如果
(5)如果 的夹角为钝角.
其中假命题是____________(将假命题的序号都填上)
13 . 已 知 在 梯 形 ABCD 中 ,
b a与), 3 , 2 ( ), 1 , ( AC k AB. // , _______ , ______ ), 3 , 4 ( ), 7 , ( b a x b a x x b x a 时 ;当 时 当 )31, (cos ), sin ,23( b a b a// ; ) R 0 ( b a b a 那么 , ; ), 0 ( b a c c b c a 那么b a b a b a 与 那么 , 0 | | | | ; , 0 b a b a 那么b a b a 与 那么 , 0 . ), 2 //( ), 7 , 3 ( ), 2 , 3 ( ), 1 , 1 ( , // 点坐标 求 若 D AB BD AD C B A CD AB
14.已知平面内三个点 A(1,7),B(0,0),C(8,3),D 为线段 BC 上一点,且 点坐标.
B B 组
( )1.已知 , ,若 ,则△ABC 是直角三角形的概率是
A.
B.
C.
D. 2.有两个向量 , ,今有动点 ,从 开始沿着与向量 相同的方向作匀速直线运动,速度为 ;另一动点 ,从 开始沿着与向量 相同的方向作匀速直线运动,速度为 .设 、 在时刻 秒时分别在 、处,则当 时,
秒.
( )3.已知 O、A、B 三点的坐标分别为 O(0,0),A(3,0),B(0,3),是 P 线段 AB 上且 =t
(0≤t≤1)则 ·
的最大值为
A.3
B.6
C.9
D.12 D BC DA CA BA 求 , ) ( k Z ( ,1), (2,4) AB k AC 10 AB 172737471(1,0) e 2(0,1) e P0 ( 1,2)P 1 2e e 1 2| | e e Q0 ( 2, 1)Q 1 23 2 e e 1 2|3 2 | e e P Q 0 t 0P0Q0 0PQ PQ t AP AB OA OP
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