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    教材高考·审题答题（四）立体几何热点问题

    时间：2020-09-30 15:15:03 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：立体几何 审题 高考

    　教材高考·审题答题（四）

    　立体几何热点问题

    　 核心热点 真题印证 核心素养 线、面位置关系的证明与线面角 2019·Ⅰ文，19；2019·Ⅱ文，17；2018·Ⅰ，18；2018·Ⅱ，20；2018·天津，17；2017·北京·16 数学运算、逻辑推理、直观想象 线、面位置关系的证明与二面角 2019·Ⅰ，19；2019·Ⅱ，17；2019·Ⅲ，19；2018·Ⅲ，19；2017·Ⅲ，19；2017·Ⅰ，18；2017·Ⅱ，19 数学运算、逻辑推理、直观想象

    　教材链接高考——线面位置关系与空间角 [教材探究](选修 2－1P109 例 4) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD＝DC，点E 是 PC 的中点，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.

    　(1)求证：PA∥平面 EDB； (2)求证：PB⊥平面 EFD； (3)求二面角 C－PB－D 的大小． [试题评析] 1.本例包括了空间向量在立体几何中最主要的两个应用：(1)证明或判定空间中的线面位置关系，(2)求空间角． 2．教材给出的解法虽然都用到了向量，但第(1)(2)题仍然没有脱离线面平行、线面垂直的判定定理，第(3)题是先找到二面角的平面角，然后利用向量求解． 3．除了教材给出的解法外，我们还可以利用相关平面的法向量解答本题，其优点是可以使几何问题代数化． 【教材拓展】

    　已知四棱锥 P－ABCD，底面 ABCD 为正方形，且 PA⊥平面 ABCD，tan ∠PBA＝63，F 为 PC 的中点，求二面角 C－AF－D 的余弦值．

    　 探究提高 1.本题与教材选修2－1P109例4相比其难点在于不易找到二面角C－AF－D的平面角，或者说找到二面角的平面角对学生来说是一个难点，而利用空间向量，即找到相关平面的法向量来求二面角，就可化解这个难点，这也是向量法的优势所在． 2．利用向量法解决问题时，要注意运算的正确性．

    　【链接高考】

    　(2019·全国Ⅰ卷) 如图，直四棱柱1 1 1 1ABCD ABC D  的底面是菱形，14 AA  ，2 AB ， 60 BAD    ， E ， M ， N 分别是 BC ，1BB ，1AD 的中点． (1)证明：

    　/ / MN 平面1C DE ； (2)求二面角1A MA N   的正弦值．

    　教你如何审题——立体几何中的折叠问题 【例题】

    　(2018·全国Ⅰ卷)如图，四边形 ABCD 为正方形， E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF.

    　(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值． [审题路线]

    　[自主解答]

    　探究提高 立体几何中折叠问题的解决方法 解决立体几何中的折叠问题，关键是搞清楚翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况，一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化． 【尝试训练】

    　(20 19 · 全国Ⅲ卷 ) 图 1 是由矩形 ADEB 、 Rt ABC  和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 1 AB ， 2 BE BF   ， 60 FBC    ．将其沿 AB ， BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG ，如图 2．

    　（1）证明：图 2 中的 A ， C ， G ， D 四点共面，且平面 ABC  平面 BCGE ； （2）求图 2 中的二面角 B CG A   的大小．

    　 满分答题示范——立体几何中的开放问题 【例题】

    　(12 分)如图所示，在正四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 的边长为 2，侧棱长为 2 2.

    　(1)若点 E 为 PD 上的点，且 PB∥平面 EAC，试确定 E 点的位置； (2)在(1)的条件下，在线段 PA 上是否存在点 F，使平面 AEC 和平面 BDF 所成的锐二面角的余弦值为114 ，若存在，求线段 PF 的长度，若不存在，请说明理由． [规范解答]

    　[高考状元满分心得] ❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分． 如第(1)问中利用线面平行的性质证明线线平行 ，第(2)问中建系时证明 PO，AC，BD 两两垂直 ，以及建系后得到各点的坐标 ． ❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分．如第(1)问中指出点 E 的位置，第(2)问中求两个平面的法向量 和 ． ❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证．如第(2)中计算 λ 的值 以及计算线段 PF 的长度 等． [构建模板]

    　【规范训练】

    　(2020·福州质检)如图，在四棱锥 P ABCD  中，底面 ABCD 为正方形， PA 底

    　面 ABCD ， PA AB  ， E 为线段 PB 的中点， F 为线段 BC 上的动点．

    　（1）求证：平面 AEF  平面 PBC ． （2）试确定点 F 的位置，使平面 AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为 30 ．

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