范本桥总结圆锥曲线解题全面方法

时间：2021-03-11 18:08:04 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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范本桥总结圆锥曲线的解题全面方法 本文简介：高中数学圆锥曲线解答题解法面面观汇编：范本桥圆锥曲线解答题中的十一题型：几乎全面版题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值、最值问题问题八：直线问题问题九：对

范本桥总结圆锥曲线的解题全面方法 本文内容：

高中数学圆锥曲线解答题解法面面观

汇编：范本桥

圆锥曲线解答题中的十一题型：几乎全面版

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

题型二：弦的垂直平分线问题

题型三：动弦过定点的问题

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题

题型五：向量问题

题型六：面积问题

题型七：弦或弦长为定值、最值问题

问题八：直线问题

问题九：对称问题

问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系（简单题型未总结）

题型二：弦的垂直平分线问题

例题1、过点T(-1,0)作直线与曲线N

：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线，，，。

由消y整理，得

①

由直线和抛物线交于两点，得

即

②

由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。

线段的垂直平分线方程为：

令y=0,得，则

为正三角形，到直线AB的距离d为。

解得满足②式此时。

【涉及到弦的垂直平分线问题】

这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。

例题分析1：已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于

解：设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．

题型三：动弦过定点的问题

例题2、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。

（I）求椭圆的方程；

（II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为

（II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，则，，即点M的坐标为，

同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为

，直线MN的方程为：，

令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：

又，椭圆的焦点为，即

故当时，MN过椭圆的焦点。

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题

例题4、已知点A、B、C是椭圆E：

上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。

解：(I)

，且BC过椭圆的中心O

又点C的坐标为。

A是椭圆的右顶点，，则椭圆方程为：

将点C代入方程，得，椭圆E的方程为

(II)

直线PC与直线QC关于直线对称，

设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：

，即，由消y，整理得：

是方程的一个根，

即同理可得：

＝＝

＝

则直线PQ的斜率为定值。

题型五：共线向量问题

1：如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围.

解：（1）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|

又∴动点N的轨迹是以点

C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为

焦距2c=2.

∴曲线E的方程为

（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为

得设

，

又当直线GH斜率不存在，方程为

2：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.（1）求椭圆C

的标准方程；（2）过椭圆C

的右焦点作直线交椭圆C于、两点，交轴于点，若，

，求证：.

解：设椭圆C的方程为

（＞＞）抛物线方程化为，其焦点为，

则椭圆C的一个顶点为，即

由，∴，椭圆C的方程为

（2）证明：右焦点，设，显然直线的斜率存在，设直线的方程为

，代入方程

并整理，得∴，

又，，，，

而

，

，即，

∴，，所以

3、已知△OFQ的面积S=2,且。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q，

，当取得最小值时，求此双曲线方程。

解：设双曲线方程为，

Q（x0,y0）。

，

S△OFQ=，∴。

=c(x0－c)=。

当且仅当，

所以。

类型1——求待定字母的值

例1设双曲线C：与直线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B，直线L与y轴交于点P，且PA=，求的值

思路：设A、B两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a的值。

解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)

∵PA=

∴x1=.

联立消去y并整理得，(1－a2)x2+2a2x－2a2=0(*)

∵A、B是不同的两点，∴

∴00）过M（2，）

，N(,1)两点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB

|的取值范围，若不存在说明理由。

解:（1）因为椭圆E:

（a,b>0）过M（2，）

，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

因为,所以,,①当时

因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”.

②

当时,.

③

当AB的斜率不存在时,两个交点为或,所以此时,综上,|AB

|的取值范围为即:

2、在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．

整理得①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或．即的取值范围为．

（Ⅱ）设，则，由方程①，．

②

又．③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．

3、设、分别是椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

解：易知，设P（x，y），

则，

，

，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；

当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，直线l的方程为

由方程组

依题意

当时，设交点C，CD的中点为R，则

又|F2C|=|F2D|

∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，

所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|

4、椭圆G：的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为（1）求此时椭圆G的方程；（2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．

解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心故该椭圆中即椭圆方程可为，H（x,y）为椭圆上一点，则

，，则有最大值，（舍去），，∴所求椭圆方程为

（2）设，则由

两式相减得……③

又直线PQ⊥直线m

∴直线PQ方程为将点Q（）代入上式得，④

由③④得Q（），Q点必在椭圆内部，

由此得故当时，E、F两点关于点P、Q的直线对称

5、已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为

（I）求，的值；

（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）设

当的斜率为1时，其方程为到的距离为

，故

，

，

由

，得

，=

（Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。

由

（Ⅰ）知椭圆C的方程为+=6.

设

(ⅰ)

假设上存在点P，且有成立，则，

，整理得

故

①

将

②

于是,=,，

代入①解得，，此时

于是=，

即

因此，

当时，，

；

当时，，

。

（ⅱ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。

综上，C上存在点使成立，此时的方程为.

6、已知直线经过椭圆

的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点。

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；

（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由

（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为

故椭圆的方程为

（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而

由得0

设则得，从而

即

又，由得

故

又

，当且仅当，即时等号成立

时，线段的长度取最小值

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，

此时的方程为

要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。

设直线，则由解得或

7、已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．

（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；

（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：由条件知，，设，．

解法一：（I）设，则，，

，由得

即

于是的中点坐标为．

当不与轴垂直时，，即．

又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

，即．

将代入上式，化简得．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

所以点的轨迹方程是．

（II）假设在轴上存在定点，使为常数．

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入有．

则是上述方程的两个实根，所以，，

于是

．

因为是与无关的常数，所以，即，此时=．

当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，

此时．

故在轴上存在定点，使为常数．

8、在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

(1)求圆的方程；

(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

(1)设圆心坐标为(m，n)（m0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

=2

即=4

①

又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得

，m2+n2=8

②

联立方程①和②组成方程组解得，

故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8

(2)=5，∴a2=25，则椭圆的方程为

其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。

要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。

通过联立两圆的方程解得x=，y=

即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。

9、设椭圆E:

（a，b>0）过M（2，）

，N(，1)两点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB

|的取值范围，若不存在说明理由。

解:（1）因为椭圆E:

（a，b>0）过M（2，）

，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为，，，

所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

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篇2：高中数学第三章圆锥曲线与方程章末总结北师大版

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高中数学第三章圆锥曲线与方程章末总结北师大版 本文简介：章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例1已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F

高中数学第三章圆锥曲线与方程章末总结北师大版 本文内容：

章末总结

知识点一

圆锥曲线的定义和性质

对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．

例1

已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，求双曲线的标准方程．

知识点二

直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．

在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．

例2

如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．

(1)求x1x2与y1y2的值；

(2)求证：OM⊥ON.

知识点三

轨迹问题

轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：

(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．

(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．

(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．

(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．

例3

设点A、B是抛物线y2＝4px

(p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

知识点四

圆锥曲线中的定点、定值问题

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．

例4

若直线l：y＝kx＋m与椭圆＋＝1相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，A2为椭圆的右顶点且AA2⊥BA2，求证：直线l过定点．

知识点五

圆锥曲线中的最值、范围问题

圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略：

(1)平面几何法

平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．

(2)目标函数法

建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．

例5

已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最值．

例6

已知F1、F2为椭圆x2＋＝1的上、下两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，求△ABF2面积的最大值．

章末总结

重点解读

例1

解

如图所示，设双曲线方程为－＝1

(a>0，b>0)．

∵e＝＝2，∴c＝2a.

由双曲线的定义，

得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，

在△PF1F2中，由余弦定理，得：

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos

60°

＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos

60°)，

即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.①

又S△PF1F2＝12，

∴|PF1||PF2|sin

60°＝12，

即|PF1||PF2|＝48.②

由①②，得c2＝16，c＝4，则a＝2，b2＝c2－a2＝12，

∴所求的双曲线方程为－＝1.

例2

(1)解

过点P(2,0)且斜率为k的直线方程为：y＝k(x－2)．

把y＝k(x－2)代入y2＝2x，

消去y得k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0，

由于直线与抛物线交于不同两点，

故k2≠0且Δ＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0，

x1x2＝4，x1＋x2＝4＋，

∵M、N两点在抛物线上，

∴y·y＝4x1·x2＝16，

而y1·y20.

当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，

直线过定点(2,0)，与已知矛盾．

当m2＝－时，l的方程为y＝k，直线过定点，

∴直线l过定点．

例5

解

因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左

焦点，则A′(－4,0)，由椭圆定义知|MA|＋|MA′|＝10.

如图所示，则|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|＋|MB|－|MA′|＝10＋|MB|－|MA′|≤10＋|A′B|.

当点M在BA′的延长线上时取等号．

所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，

(|MA|＋|MB|)max＝10＋|A′B|＝10＋2.

又如图所示，|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|－|MA′|＋|MB|

＝10－(|MA′|－|MB|)

≥10－|A′B|，

当M在A′B的延长线上时取等号．

所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，

(|MA|＋|MB|)min＝10－|A′B|＝10－2.

例6

解

由题意，|F1F2|＝2.

设直线AB方程为y＝kx＋1，

代入椭圆方程2x2＋y2＝2，

得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，

则xA＋xB＝－，xA·xB＝－，

∴|xA－xB|＝.

S△ABF2＝|F1F2|·|xA－xB|＝2×

＝2×

≤2×＝.

当＝，即k＝0时，

S△ABF2有最大面积为.