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    2020版一轮复习理数通用版：高考达标检测（四十三）,,圆锥曲线综合问题——定点、定值、探索性问题

    时间：2021-06-08 15:17:04 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

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    　高考达标检测（四十三）

    　圆锥曲线的综合问题 —— 定点、定值、探索性问题 1.圆 如图，已知椭圆 C：

    　：

    　x2a 2 ＋ y2b 2 ＝＝1(a ＞b ＞0) 的离心率是32，其中一个顶点为 为 B(0,1) ． (1) 求椭圆 C 的方程； (2)设 设 P ，Q 是椭圆 C 上异于点 B 的任意两点，且 BP ⊥BQ. 试问：直线 PQ 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由.

    　解：(1) 设椭圆 C 的半焦距为 c. 依题意，得 b ＝1 ， 且 且 e 2 ＝ c2a 2 ＝ a2 －－1a 2＝ 34

    　， 得 解得 a 2 ＝ ＝4 ， 圆 所以椭圆 C 的方程为 x24＋ ＋y 2 ＝ ＝1. (2) 直线 PQ 恒过定点． 法一：线 易知，直线 PQ 的斜率存在，设其方程为 y ＝kx ＋m ，P(x 1 ， ，y 1 ) ，Q(x 2 ， ，y 2 ) ， 线 将直线 PQ 的方程代入 x 2 ＋ ＋4y 2 ＝ ＝4 ， 去 消去 y ，整理得 (1 ＋4k 2 )x 2 ＋ ＋8kmx ＋4m 2 － －4 ＝0. 则 则 x 1 ＋x 2 ＝－8km1 ＋4k 2 ，，x 1 x 2 ＝ 4m2 －－41 ＋4k 2 .

    　 ① 为 因为 BP ⊥BQ ，且直线 BP ，BQ 的斜率均存在， 所以 y1 － －1x 1·y 2 － －1x 2＝－1 ， 整理得 x 1 x 2 ＋ ＋y 1 y 2 － －(y 1 ＋ ＋y 2 ) ＋1 ＝0.

    　 ② 为 因为 y 1 ＝kx 1 ＋m ，y 2 ＝ ＝kx 2 ＋m ， 以 所以 y 1 ＋y 2 ＝ ＝k(x 1 ＋ ＋x 2 ) ＋2m ，y 1 y 2 ＝ ＝k 2 x 1 x 2 ＋ ＋mk(x 1 ＋x 2 ) ＋m 2 .

    　③ 将 ③ 代入 ② ，整理得(1 ＋k 2 )x 1 x 2 ＋ ＋k(m －1)(x 1 ＋x 2 ) ＋(m －1) 2 ＝ ＝0.

    　 ④ 将 ① 代入 ④得 ，整理得 5m 2 － －2m －3 ＝0. 得 解得 m ＝－ 35 或或 m ＝1( 舍去) ． 线 所以直线 PQ 恒过定点     0 ，－ 35. 法二：线 直线 BP ，BQ 的斜率均存在，设直线 BP 的方程为 y ＝kx ＋1. 线 将直线 BP 的方程代入 x 2 ＋ ＋4y 2 ＝ ＝4 ，消去 y ，得 (1 ＋4k 2 )x 2 ＋ ＋8kx ＝0.

    　 得 解得 x ＝0 或 或 x ＝－ －8k1 ＋4k 2 . 设 设 P(x 1 ， ，y 1 ) ，所以 x 1 ＝－ －8k1 ＋4k 2 ，y 1 ＝ ＝kx 1 ＋ ＋1＝ ＝ 1 －4k 21 ＋4k 2 ，， 以 所以 P        － －8k1 ＋4k 2 ， 1 －4k 21 ＋4k 2. 以－ 1k 点替换点 P 坐标中的 k ，可得 Q        8kk 2 ＋ ＋4 ， k2 －－4k 2 ＋ ＋4. 线 从而，直线 PQ 的方程是y － 1 －4k 21 ＋4k 2k 2 － －4k 2 ＋ ＋4 － 1 －4k 21 ＋4k 2＝x ＋8k1 ＋4k 28kk 2 ＋ ＋4 ＋8k1 ＋4k 2. 线 依题意，若直线 PQ 过定点，则定点必定在 y 轴上． 令 在上述方程中，令 x ＝0 ，解得 y ＝－ 35 . 线 所以直线 PQ 恒过定点     0 ，－ 35. 2 ．已知椭圆 C：

    　：

    　x2a 2 ＋ y2b 2 ＝＝1(a ＞b ＞0) 的离心率为32为 ，短轴端点到焦点的距离为 2. (1) 求椭圆 C 的方程； ； (2)设 设 A ，B 为椭圆 C 上任意两点，O 为坐标原点，且 OA ⊥OB. 求证：原点 O 到直线AB 的距离为定值，并求出该定值． 解：(1) 由题意知，e ＝ ca ＝32， ， b 2 ＋ ＋c 2 ＝ ＝2 ， 又 又 a 2 ＝b 2 ＋ ＋c 2 以 ，所以 a ＝2 ，c＝ ＝ 3 ，b ＝1 ， 圆 所以椭圆 C 的方程为 x24＋ ＋y 2 ＝ ＝1. (2) 证明：当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 的方程为 x ＝±2 55点 ，此时，原点 O 到线 直线 AB 的距离为 2 55. 线 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y ＝kx ＋m ，A(x 1 ，y 1 ) ，B(x 2 ，y 2 ) ． 由      x 24＋ ＋y 2 ＝ ＝1， ，y ＝kx ＋m得 得(1 ＋4k 2 )x 2 ＋ ＋8kmx ＋4m 2 － －4 ＝0. 则 则 Δ＝ ＝(8km) 2 － －4(1 ＋4k 2 )(4m 2 － －4) ＝16(1 ＋4k 2 －m 2 ) ＞0 ， x 1 ＋ ＋x 2 ＝－8km1 ＋4k 2 ，，x 1 x 2 ＝ 4m2 －－41 ＋4k 2 ，， 则 则 y 1 y 2 ＝ ＝(kx 1 ＋ ＋m)(kx 2 ＋ ＋m)＝ ＝ m2 －－4k 21 ＋4k 2， ，

    　 由 由 OA ⊥OB 得 得 k OA ·k OB ＝－1 ，即 y 1x 1 ·y 2x 2 ＝－1 ， 以 所以 x 1 x 2 ＋ ＋y 1 y 2 ＝ 5m2 －－4 －4k 21 ＋4k 2＝ ＝0 ，即 m 2 ＝ 45 (1 ＋k 2 ) ， 点 所以原点 O 到直线 AB 的距离为|m|1 ＋k 2 ＝ 2 55. 点 综上，原点 O 到直线 AB 的距离为定值 2 55. 3 ．已知椭圆 C：

    　：

    　x2a 2 ＋ y2b 2 ＝＝1(a ＞b ＞0) 的离心率为63点 ，以原点 O 为圆心，椭圆 C 的长半线 轴长为半径的圆与直线 2x－ － 2y ＋6 ＝0 相切． (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 已知点 A ，B 为动直线 y ＝k(x －2)(k ≠0) 与椭圆 C 的两个交点，问：在 x 轴上是否存点 在定点 E ，使得EA― ― → 2 ＋＋ EA― ― → ·AB ― ― → 为定值？若存在，试求出点 点 E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 解：

    　：(1)由 由 e ＝63，得 ca ＝63， ， 即 即 c ＝63a ，

    　 ① 点 又以原点 O 为圆心，椭圆 C 的长半轴长为半径的圆为 x 2 ＋y 2 ＝ ＝a 2 ， ， 线 且该圆与直线 2x－ － 2y ＋6 ＝0 相切， 以 所以 a ＝|6|2 2 ＋ － － 2  2＝ ＝ 6 ，代入 ①得 得 c ＝2 ， 以 所以 b 2 ＝ ＝a 2 － －c 2 ＝ ＝2 ， 圆 所以椭圆 C 的标准方程为 x26 ＋ y22 ＝＝1. (2)由 由      x 26＋ y22 ＝＝1， ，y ＝k x －2 ， ， 得 得(1 ＋3k 2 )x 2 － －12k 2 x ＋12k 2 － －6 ＝0. 设 设 A(x 1 ， ，y 1 ) ，B(x 2 ， ，y 2 ) ， 以 所以 x 1 ＋ ＋x 2 ＝12k 21 ＋3k 2 ，，x 1 x 2 ＝ 12k2 －－61 ＋3k 2. 设 根据题意，假设 x 轴上存在定点 E(m,0) ， 得 使得 EA― ― → 2 ＋＋ EA― ― → ·AB ― ― → ＝＝(EA― ― → ＋＋AB― ― → )·EA ― ― → ＝＝ EA― ― → ·EB ― ― → 为定值， 则 则 EA― ― → ·EB ― ― → ＝＝(x 1 － －m ，y 1 )·(x 2 －m ，y 2 )

    　 ＝ ＝(x 1 － －m)(x 2 － －m) ＋y 1 y 2

    　＝ ＝(k 2 ＋ ＋1)x 1 x 2 － －(2k 2 ＋ ＋m)(x 1 ＋ ＋x 2 ) ＋(4k 2 ＋m 2 ) ＝  3m2 －－12m ＋10 k 2 ＋ ＋ m 2 － －6 1 ＋3k 2， ， 与 要使上式为定值，即与 k 无关， 需 只需 3m 2 － －12m ＋10 ＝3(m 2 － －6) ，解得 m ＝ 73 ，， ， 此时， EA― ― →

    　2 ＋＋ EA― ― → ·AB ― ― → ＝m 2 － －6 ＝－ 59 ，， 在 所以在 x 轴上存在定点 点 E     73 ，，0 使得 EA― ― → 2 ＋＋ EA― ― → ·AB ― ― → 为定值，且定值为－ 59 . 4 ．已知椭圆 C：

    　：

    　x2a 2 ＋ y2b 2 ＝＝1(a>b>0) 的右焦点为 F(1,0) ，且点 P     1， ， 32圆 在椭圆 C 上 上， ，O 为 为坐标原点． (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 设过定点 T(0,2) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A ，B ，且∠ ∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率 k 的取值范围； (3) 过椭圆 C 1 ：

    　x2a 2 ＋y 2b 2 － 53＝ ＝1 上异于其顶点的任一点 P ，作圆 O ：x 2 ＋ ＋y 2 ＝ 43 的两条切线，为 切点分别为 M ，N(M ，N 不在坐标轴上) ，若直线 MN 在 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 m ，n， ，证明：13m 2 ＋1n 2 为定值． 解：(1) 由题意得 c ＝1 ，所以 a 2 ＝b 2 ＋ ＋1 ，

    　 ① 点 又点 P     1， ， 32圆 在椭圆 C 上，所以1a 2 ＋94b 2 ＝＝1 ，

    　② 由 ①②得 可解得 a 2 ＝ ＝4 ，b 2 ＝ ＝3 ， 圆 所以椭圆 C 的标准方程为 x24 ＋ y23 ＝＝1. (2) 设直线 l 的方程为 y ＝kx ＋2 ，A(x 1 ， ，y 1 ) ，B(x 2 ， ，y 2 ) ， 由      y ＝kx ＋2， ，x 24 ＋ y23 ＝＝1， ，得 得(4k 2 ＋ ＋3)x 2 ＋ ＋16kx ＋4 ＝0 ， 因为 Δ ＝16(12k 2 － －3)>0 ，所以 k 2 > 14 ，， 则 则 x 1 ＋x 2 ＝－ －16k4k 2 ＋ ＋3 ，，x 1 x 2 ＝44k 2 ＋ ＋3 . 因为 ∠AOB 为锐角， 以 所以OA― ― → ·OB ― ― → >0，，即 即 x 1 x 2 ＋y 1 y 2 >0 ，

    　 以 所以 x 1 x 2 ＋ ＋(kx 1 ＋ ＋2)(kx 2 ＋ ＋2)>0 ， 所以(1 ＋k 2 )x 1 x 2 ＋ ＋2k(x 1 ＋x 2 ) ＋4>0 ， 即 即(1 ＋k 2 )·44k 2 ＋ ＋3 ＋＋2k·－ －16k4k 2 ＋ ＋3 ＋＋4>0 ， 得 解得 k 2 < 43 . 又 又 k 2 > 14 ， 所以 14 <k2 < 43 ，， 解得 － 2 33<k<－ － 12 或 12 <k<2 33. 线 所以直线 l 的斜率 k 的取值范围为     － 2 33，－ 12∪     12 ， 2 33. (3) 证明：由(1) 知椭圆 C 1 的方程为 x24＋ 3y24＝ ＝1 ， 设 设 P(x 0 ， ，y 0 ) ，M(x 3 ， ，y 3 ) ，N(x 4 ， ，y 4 ) ， 为 因为 M ，N 不在坐标轴上，所以 k PM ＝－1k OM ＝－ x 3y 3 ，， 线 直线 PM 的方程为 y －y 3 ＝－ x 3y 3 (x －x 3 ) ， 得 化简得 x 3 x ＋y 3 y ＝ 43 ，，

    　③ 线 同理可得直线 PN 的方程为 x 4 x ＋y 4 y ＝ 43 .

    　④ 把 把 P 点的坐标代入 ③④ 得    x 3 x 0 ＋ ＋y 3 y 0 ＝ 43 ，x 4 x 0 ＋ ＋y 4 y 0 ＝ 43 ， 线 所以直线 MN 的方程为 x 0 x ＋y 0 y ＝ 43 . 令 令 y ＝0 ，得 m ＝43x 0 令，令 x ＝0 ，得 n ＝43y 0 ，， 以 所以 x 0 ＝43m ，，y 0 ＝43n ，， 点 又点 P 在椭圆 C 1 上， 所以     43m2 ＋＋3     43n2 ＝＝4 ，即13m 2 ＋1n 2 ＝ 34 ，为定值．

    　已知椭圆的两个焦为 点为 F 1 (－ － 5 ，0)， ，F 2 ( 5 ，0)， ，M 是椭圆上一点，若MF 1― ― → ·MF2― ― → ＝＝0， ，|MF 1― ― → |·|MF2― ― → | ＝8. (1) 求椭圆的方程；

    　 (2) 直线 l 过右焦点 F 2 ( 5 ，0) ( 不与 x 轴重合) 且与椭圆相交于不同的两点 A ，B ，在 x点 轴上是否存在一个定点 P(x 0, 0) ，使得 PA― ― → ·PB ― ― → 出的值为定值？若存在，写出 P 点的坐标；若不存在，说明理由． 解：(1) 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆的方程为 x2a 2 ＋ y2b 2 ＝＝1(a ＞b ＞0),

    　则 则 c＝ ＝ 5 ，|MF 1― ― → | 2 ＋＋|MF 2― ― → | 2 ＝＝(2c) 2 ＝ ＝20. 又 又|MF 1― ― → |·|MF2― ― → | ＝8， ，∴ ∴(|MF 1― ― → | ＋|MF 2― ― → |) 2 ＝＝|MF 1― ― → | 2 ＋＋|MF 2― ― → | 2 ＋＋2|MF 1― ― → |·|MF2― ― → | ＝36 ， 解得|MF 1― ― → | ＋|MF 2― ― → | ＝6 ，即 2a ＝6 ， 则 则 a ＝3 ，b 2 ＝ ＝a 2 －c 2 ＝ ＝4 ， ∴ 椭圆的方程为 x29 ＋ y24 ＝＝1. (2) 当直线与 x 轴不垂直时 ， 设直线 l 的方程为 y ＝k(x－ － 5) ， 代入椭圆方程并消元整理得 ，(9k 2 ＋ ＋4)x 2 － －18 5k 2 x ＋45k 2 － －36 ＝0. ① 设 设 A(x 1 ， ，y 1 ) ，B(x 2 ， ，y 2 ) ， 则 则 x 1 ＋ ＋x 2 ＝ 18 5k24 ＋9k 2 ，，x 1 x 2 ＝ 45k2 －－364 ＋9k 2， ，

    　y 1 y 2 ＝ ＝k 2 (x 1 － － 5)(x 2 － － 5) ＝k 2 [x 1 x 2 － － 5(x 1 ＋ ＋x 2 ) ＋5] ＝－16k 24 ＋9k 2 ，， 所以 PA― ― → ·PB ― ― → ＝＝(x 1 － －x 0 ， ，y 1 )·(x 2 － －x 0 ， ，y 2 ) ＝ ＝(x 1 － －x 0 )(x 2 － －x 0 ) ＋y 1 y 2

    　＝ ＝x 1 x 2 － －x 0 (x 1 ＋ ＋x 2 ) ＋x 2 0 ＋ ＋y 1 y 2

    　＝  9x20 － －18 5x 0 ＋ ＋29 k 2 ＋ ＋4x 2 0 － －364 ＋9k 2. 令 令 PA― ― → ·PB ― ― → ＝＝t ， 则(9x 2 0 － －18 5x 0 ＋ ＋29)k 2 ＋ ＋4x 2 0 － －36 ＝t(4 ＋9k 2 ) ， 故 故 9x 2 0 － －18 5x 0 ＋ ＋29 ＝9t 且 且 4x 2 0 － －36 ＝4t ， 解得 x 0 ＝ 11 59， ， 此时 PA― ― → ·PB ― ― → 的值为－ － 12481. 当 当 直线 l 与 与 x 轴垂直时， ，l 的方程为 x＝ ＝ 5， ， 代入椭圆方程解得 A     5 ，－ 43， ，B     5， ， 43， ， 所以 PA― ― → ·PB ― ― → ＝     － 2 59，－ 43·    － 2 59， 43＝ 2081 － 169＝－ 12481， ，

    　 综上 ，在 在 x 轴上存在一个定点 P     11 59， ，0 ， 使得 PA― ― → ·PB ― ― → 的值 为定值.

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