放缩法证明数列不等式,学生
放缩法证明数列不等式
2020.03 一、基础知识:
在有些数列的题目中,要根据不等式的性质通过放缩,将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧 1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质:
(1)传递性:若 , a b b c ,则 a c (此性质为放缩法的基础,即若要证明 a c ,但无法直接证明,则可寻找一个中间量 b ,使得 a b ,从而将问题转化为只需证明 b c 即可 )
(2)若 , a b c d ,则 a c b d ,此性质可推广到多项求和:
若 1 21 , 2 , ,na f a f a f n ,则: 1 21 2na a a f f f n
(3)若需要用到乘法,则对应性质为:若 0, 0 a b c d ,则 ac bd ,此性质也可推广到多项连乘,但要求涉及的不等式两侧均为正数 注:这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 2、放缩的技巧与方法:
(1)常见的数列求和方法和通项公式特点:
① 等差数列求和公式:12nna aS n ,na kn m (关于 n 的一次函数或常值函数)
② 等比数列求和公式: 1111nna qS qq ,nna k q (关于 n 的指数类函数)
③ 错位相减:通项公式为“等差 等比”的形式 ④ 裂项相消:通项公式可拆成两个相邻项的差,且原数列的每一项裂项之后正负能够相消,进而在求和后式子中仅剩有限项 (2)与求和相关的不等式的放缩技巧:
① 在数列中,“求和看通项”,所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 ② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向,这将决定对通项公式是放大还是缩小(应与所证的不等号同方向)
③ 在放缩时,对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢,常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
④ 若放缩后求和发现放“过”了,即与所证矛盾,通常有两条道路选择:第一个方法是微调:看能否让数列中的一些项不动,其余项放缩。从而减小放缩的程度,使之符合所证不等式;第二个方法就是推翻了原有放缩,重新进行设计,选择放缩程度更小的方式再进行尝试。
(3)放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧:
① 裂项相消:在放缩时,所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点,即作差的两项可视为同一数列的相邻两项(或等距离间隔项)
② 等比数列:所面对的问题通常为“nS 常数”的形式,所构造的等比数列的公比也要满足 0,1 q ,如果题目条件无法体现出放缩的目标,则可从所证不等式的常数入手,,常数可视为11aq 的形式,然后猜想构造出等比数列的首项与公比,进而得出等比数列的通项公式,再与原通项公式进行比较,看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数122=1314,即可猜想该等比数列的首项为12,公比为14,即通项公式为124n 。
注:此方法会存在风险,所猜出的等比数列未必能达到放缩效果,所以是否选择利用等比数列进行放缩,受数列通项公式的结构影响 (4)与数列中的项相关的不等式问题:
① 此类问题往往从递推公式入手,若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 ② 在有些关于项的不等式证明中,可向求和问题进行划归,即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式,即 1 n na a f n 或 1 nnaf na (累乘时要求不等式两侧均为正数),然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为na ,另一侧为求和的结果,进而完成证明 3、常见的放缩变形:
(1) 21 1 11 1 n n n n n ,其中 2, n n N :可称21n为“进可攻,退可守”,可依照所证不等式不等号的方向进行选择。
注:对于21n,可联想到平方差公式,从而在分母添加一个常数,即可放缩为符合裂项相消特征的数列,例如: 2 21 1 1 1 1 11 1 1 2 1 1 n n n n n n ,这种放缩的尺度要小于(1)中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的,如:
2 221 1 4 1 1 1 114 1 2 1 2 1 2 2 1 2 14n n n n n nn (2)1 2n n n,从而有: 2 1 22 1 2 11 1n n n nn n n n n 注:对于1n还可放缩为:12, 2, n n n n Nn
(3)分子分母同加常数:
0, 0 , 0, 0b b m b b mb a m a b ma a m a a m 此结论容易记混,通常在解题时,这种方法作为一种思考的方向,到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。
(4) 1212 2 2 22 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 12 1n n n nn n n n n nn
11 12,2 1 2 1n nn n N 可推广为: 1211 1 1 1 11n n n nn n n n n nnk k k kk k k k k k kk
11 12, 2, ,1 1n nn k k n Nk k 二、典型例题:
例 1:已知数列 na 的前 n 项和为nS ,若 14 2 1 1n nS n a ,且11 a
.(1)求证:数列 na 是等差数列,并求出 na 的通项公式(2)设1nn nba S ,数列 nb 的前 n 项和为nT ,求证:32nT
例 2:设数列 na 满足:1 11, 3 ,n na a a n N ,设nS 为数列 nb 的前 n 项和,已知10 b ,1 12 ,n nb b S S n N
(1)求数列 ,n na b 的通项公式(2)求证:对任意的 n N 且2 n ,有2 2 3 31 1 1 32n na b a b a b
例 3:已知正项数列 na 的前 n 项和为nS ,且12 ,n nna S n Na (1)求证:数列 2nS 是等差数列 (2 2 )记数列31 21 1 12 ,n n nnb S Tb b b ,证明:1 3 112 1nTn n
例 4:已知数列 na 满足21 112, 2 1 ,n na a a n Nn (1)求证:数列2nan 是等比数列,并求出数列 na 的通项公式 (2 2 )设nnnca ,求证:1 21724nc c c
例 5:已知数列 na 的前 n 项和 3 1 ,n nS na n n n N ,且317 a
(1)求1a (2)求数列 na 的前 n 项和nS (3)设数列 nb 的前 n 项和nT ,且满足nnnbS ,求证:23 23nT n
例 6:已知数列 na 满足 1111, 2,41 2nn nnaa a n n Na
(1)试判断数列 11nna 是否为等比数列,并说明理由 (2)设 2 1sin2n nnb a ,数列 nb 的前 n 项和为nT ,求证:对任意的4,7nn N T
例 7:已知数列 na 满足:132a ,且 1132,2 1nnnnaa n n Na n (1)求数列 na 的通项公式 (2 2 )证明:对于一切正整数 n ,均有1 22 !na a a n
例 8:已知函数 2ln , 1 0bf x ax x fx
(1)若函数 f x 在 1 x 处切线斜率为 0 ," 21111nna f na n ,已知14 a ,求证:
2 2na n (2)在(1)的条件下,求证:1 21 1 1 21 1 1 5na a a
例 9:已知数列 na 的各项均为正值,对 n N , 21 21 4 1 , log 1n n n n na a a b a ,且11 a (1)求数列 ,n na b 的通项公式 (2 2 )当 7 k 且 k N 时,证明对 n N ,都有1 2 11 1 1 1 32n n n nkb b b b 成立
例 10:数列 na 是公差不为零的等差数列,56 a ,数列 nb 满足:1 1 1 23, 1n nb b bb b
(1)当 2 n 时,求证:111nnnbbb
(2)当31 a 且3a N 时,1 23 5, , , , , ,nk k ka a a a a 为等比数列 ① 求3a
② 当3a 取最小值时,求证:1 21 2 31 1 1 1 1 1 141 1 1nn k k kb b b b a a a
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【百家讲坛】 日期:2021-08-14