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    1.5.2　全称量词命题和存量词命题否定

    时间：2020-10-14 15:10:28 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：量词 命题 全称

    　1.5.2

    　全称量词命题和存在量词命题的否定

    　课标解读 课标要求 核心素养 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.(重点) 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.(重点) 1.通过对含量词的命题的否定,培养逻辑推理的核心素养. 2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用,提升数学运算的核心素养.

    　问题:有以下命题:①没有男生爱踢足球;②所有男生都不爱踢足球;③至少有一个男生不爱踢足球;④所有女生都 爱踢足球.其中命题“所有男生都爱踢足球”的否定是

    　.(填序号)

    　答案 ③.

    　 1.全称量词命题、存在量词命题的否定

    　2.全称量词命题、存在量词命题及其否定的关系 (1)全称量词命题的否定是③存在量词命题. (2)存在量词命题的否定是④全称量词命题.

    　 思考:“一元二次方程 ax2 +2x+1=0 有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题?试改写成相应命题的形式,并写出该命题的否定.

    　提示 是存在量词命题.可改写为“存在 x∈R,使 ax2 +2x+1=0”,其否定为“∀x∈R,ax2 +2x+1≠0”. 特别提醒

    　 (1)一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题; (2)含有一个量词的命题的否定,是在否定结论 p(x)的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.

    　探究一

    　全称量词命题的否定

    　例 1 写出下列全称量词命题的否定: (1)一切分数都是有理数; (2)所有自然数的平方都是正数; (3)任何实数 x 都是方程 5x-12=0 的根; (4)对任意实数 x,x2 +1≥0. 解析 (1)存在一个分数,它不是有理数. (2)有些自然数的平方不是正数. (3)存在实数 x 不是方程 5x-12=0 的根. (4)存在实数 x,使得 x2 +1<0. 思维突破

    　 (1)对全称量词命题进行否定时要做到“两变”:一变量词,即把全称量词变为存在量词;二变结论(即否定结论). (2)对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.

    　1.写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:无论 m 取任何实数,方程 x2 +mx-1=0 必有实根; (2)p:∀x∈N + ,2x>0. 解析 (1)¬p:存在一个实数 m,使方程 x2 +mx-1=0 没有实根. 因为该方程的判别式 Δ=m2 +4>0 恒成立,所以¬p 为假命题. (2)¬p:∃x∈N + ,2x≤0.¬p 为假命题.

    　探究二

    　存在量词命题的否定

    　例 2 写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假: (1)p:∃x>1,使 x2 -2x-3=0; (2)p:有些素数是奇数; (3)p:有些平行四边形不是矩形. 解析 (1)¬p:∀x>1,x2 -2x-3≠0.¬p 为假命题. (2)¬p:所有的素数都不是奇数.¬p 为假命题. (3)¬p:所有的平行四边形都是矩形.¬p 为假命题. 思维突破

    　 对存在量词命题进行否定时,首先把存在量词改为全称量词,然后对判断词进行否定,可以结合命题的实际意义进行表述.

    　2.写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假: (1)有些三角形是锐角三角形; (2)∃x,y∈Z,使得√2x+y=3. 解析 (1)命题的否定:“所有的三角形都不是锐角三角形”,命题的否定为假命题. (2)命题的否定:“∀x,y∈Z,√2x+y≠3”. ∵当 x=0,y=3 时,√2x+y=3, ∴命题的否定是假命题. 探究三

    　全称量词命题与存在量词命题的应用

    　例 3 已知命题 p:∀x∈R,不等式 x2 +4x-1>m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解析 令 y=x2 +4x-1,x∈R,则 y=(x+2) 2 -5≥-5, 因为∀x∈R,不等式 x2 +4x-1>m 恒成立,所以只要 m<-5 即可. 所以所求实数 m 的取值范围是{m|m<-5}. 思维突破

    　 含有量词的命题中参数的取值范围的求解策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>y(或 a<y)”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求 y 的最大值(或最小值),即 a>y max (或 a<y min )的问题.

    　(2)对于存在量词命题“∃x∈M,a>y(或 a<y)”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求 y 的最小值(或最大值),即 a>y min (或 a<y max )的问题.

    　3.(1)(变条件)把例 3 中的条件变为“∃x∈R,使不等式-x2 +4x-1>m 有解”,求实数 m 的取值范围; (2)(变条件)把例 3 中的条件“∀x∈R”改为“∀x∈[1,+∞)”,求实数 m 的取值范围. 解析 (1)令 y=-x2 +4x-1,则 y=-x 2 +4x-1=-(x-2) 2 +3≤3, 因为∃x∈R,-x2 +4x-1>m 有解,所以只要 m 小于函数的最大值即可, 所以所求实数 m 的取值范围是{m|m<3}.

    　 (2)令 y=x2 +4x-1,x∈[1,+∞),则 y=(x+2) 2 -5≥(1+2) 2 -5=4,因为∀x∈[1,+∞),不等式x2 +4x-1>m 恒成立,所以只要 m<4 即可. 所以所求实数 m 的取值范围是{m|m<4}.

    　1.命题“∀x>0,都有 x2 -x+3≤0”的否定是(

    　) A.∃x>0,使得 x2 -x+3≤0

    　B.∃x>0,使得 x2 -x+3>0 C.∀x>0,都有 x2 -x+3>0

    　D.∀x≤0,都有 x2 -x+3>0 答案 B

    　2.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是(

    　) A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 答案 B 量词“存在”改为“任意”,结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”,故选 B. 3.命题“∃x∈R,x2 +2x+5=0”的否定是 .

    　答案 ∀x∈R,x2 +2x+5≠0

    　解析 存在量词命题的否定是全称量词命题,故将“∃”改为“∀”,“=”改为“≠”. 4.命题“每个函数都有最大值”的否定是 .

    　答案 有些函数没有最大值 5.已知命题 p:∀x∈R,x2 +2ax+a>0.若命题 p 是假命题,求实数 a 的取值范围. 解析 若命题 p 为真命题,则 Δ=4a2 -4a<0,解得 0<a<1,∴当 p 为假命题时,a 的取值范围是{a|a≤0 或 a≥1}.

    　逻辑推理——文字推理问题的求解

    　甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛,四人在成绩公布前做出了如下预测: 甲说:获奖者在乙、丙、丁三人中; 乙说:我不会获奖,丙获奖;

    　 丙说:甲和丁中有一人获奖; 丁说:乙猜测的是对的. 成绩公布后表明,四人中有两人的预测与结果相符,另外两人的预测与结果不相符.已知有两人获奖,则获奖的是(

    　) A.甲和丁 B.甲和丙 C.乙和丙 D.乙和丁 素养探究:公务员考试中的文字型逻辑推理题,是近几年高考的重要题型,需要统筹文字条件筛选出有效信息,从而做出正确判断,解决此类问题多采用对立假设分析法,过程中体现逻辑推理素养. 答案 D 解析 易知乙、丁的预测要么同时与结果相符,要么同时与结果不符,若乙、丁的预测与结果相符,则甲、丙的预测与结果不相符,矛盾,故乙、丁的预测与结果不相符,从而获奖的是乙和丁,故选 D.

    　来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人刚好碰在一起.他们除懂本国语言外,每人还会说其他三国语言中的一种.有一种语言是三个人都懂的,但没有一种语言四个人都懂,现知道:①甲是日本人,丁不会说日语,但他俩能自由交谈;②四人中没有一个人既能用日语

    　交谈,又能用法语交谈;③乙、丙、丁交谈时,不能只用一种语言;④乙不会说英语,当甲与丙交谈时,他能做翻译.则甲、乙、丙、丁会说的语言分别是(

    　) A.日语和德语、法语和德语、英语和法语、英语和德语 B.日语和英语、日语和德语、德语和法语、日语和英语 C.日语和德语、法语和德语、英语和德语、英语和德语 D.日语和法语、英语和德语、法语和德语、法语和英语 答案 A 分析题目和选项,由①中丁不会说日语,排除 B 选项;由②知,没有人既会日语又会法语,排除 D 选项;由③知,乙、丙、丁不会同一种语言,排除 C 选项,故选 A.

    　 1.命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是(

    　) A.对任意实数 x,都有 x>1 B.不存在实数 x,使 x≤1 C.对任意实数 x,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1 答案 C “存在实数 x,使 x>1”的否定是“对任意实数 x,都有 x≤1”. 2.命题“∀x∈R,|x|+x2 ≥0”的否定是(

    　) A.∀x∈R,|x|+x2 <0 B.∀x∈R,|x|+x2 ≤0 C.∃x∈R,|x|+x2 <0 D.∃x∈R,|x|+x2 ≥0 答案 C 条件“∀x∈R”的否定是“∃x∈R”,结论“|x|+x2 ≥0”的否定是“|x|+x 2 <0”. 3.关于命题 p:“∀x∈R,x2 +1≠0”的叙述,正确的是(

    　) A.¬p:∃x∈R,x2 +1≠0 B.¬p:∀x∈R,x2 +1=0 C.p 是真命题,¬p 是假命题 D.p 是假命题,¬p 是真命题 答案 C 命题 p:“∀x∈R,x2 +1≠0”的否定是“∃x∈R,x 2 +1=0”.所以 p 是真命题,¬p 是假命题.

    　4.(多选)已知命题 p:实数的平方是非负数,则下列结论正确的是(

    　) A.命题¬p 是假命题 B.命题 p 是存在量词命题 C.命题 p 是全称量词命题 D.命题 p 既不是全称量词命题也不是存在量词命题 答案 AC 命题 p:实数的平方是非负数,是真命题,故¬p 是假命题,命题 p 是全称量词命题,故选 AC. 5.若命题 p:“∀x∈R,x2 -2x+m≠0”是真命题,则实数 m 的取值范围是(

    　) A.m≥1 B.m>1

    　C.m<1

    　 D.m≤1 答案 B 命题 p:∀x∈R,x2 -2x+m≠0 是真命题,则 Δ<0,即 m>1.故选 B. 6.命题“两条直线平行,同位角相等”的否定为 .

    　答案 存在两条直线平行,同位角不相等 7.命题 p:“有的三角形是直角三角形”,则 p 的否定是

    　,p 的否定是

    　(填“真”或“假”)命题.

    　答案 所有的三角形都不是直角三角形;假 解析 命题:“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题,其否定是全称量词命题,按照存在量词命题改为全称量词命题的规则,即可得到该命题的否定为“所有的三角形都不是直角三角形”,显然是假命题. 8.写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p:∀x∈R,x2 -x+ 14 ≥0; (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:∃x∈R,x2 +2x+2≤0. 解析 (1)¬p:∃x∈R,x2 -x+ 14 <0,假命题. ∵∀x∈R,x2 -x+ 14 =(

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