七剑下天山，终结线性、非线性回归方程

时间：2021-06-23 15:08:44 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　2020 版

　七剑下天山，终结线性、非线性回归方程

　唐宋 目录

　一、线性回归方程 ................................................................. 2 二、非线性回归方程 ............................................................... 2 三、相关系数 ..................................................................... 3 四、相关指数 R2

　................................................................... 3 五.经典题组 ...................................................................... 5

　知识点 通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理. 求回归直线方程时，最好先计算好公式的基本量221 1n ni i ii ix y nxy nx x y x  、、 、 、 、 ，再代入公式求解.这样一是节省试卷的空间，另外是可以把握住得分点，尽量不要一次性计算，避免一步错步步错.

　求非回归直线方程，相比建立线性回归方程模型，其本质在于，将非线性回归方程通过换元，转化为线性回归方程模型，然后除去新元，得到非线性回归方程。这个实际上，是数学中的转化的思想的具体运用

　 一、线性回归方程

　（一）线性的基本模型和公式    1 2 311 2 311 122 21 11 1... x,1 1...( )( )( )vi nvi nn ni i i ii in ni ii ix x x x xn nx yy y y y y yn nx y nxy x x y ybx nx x xa y bx                   

　（二）建立线性回归模型的基本步骤：

　①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；

　②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系

　③确定回归方程的类型

　④按照公式计算回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；

　⑤得出结果后分析残差图是否有异常 二、非线性回归方程

　 （一）非线性的基本模型和公式 题型二 y c d x   ，令 y y   ， x x   ，则有 " " y a bx   ．

　题型三 axb ym 1，令 " y y  ，mxx1  ，则有 " " y a bx   ． 题型四 a bx y  2，令 y y   ，2x x   ，则有 " " y a bx   ． 题型五 ln y a b x   ，令 " y y  ， " ln x x  ，则有 " " y a bx   ． 题型六by ax  ，令 " ln y y  ， " ln x x  ， " ln a a  ，则有 " " " y a bx   ． 题型七：bxy ae  ，令 " ln y y  ， " x x  ， " ln a a  ，则有 " " " y a bx   ．

　（二）建立非线性回归模型的基本步骤：

　①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；

　②确定非线性回归方程的类型

　③通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；

　④按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；

　⑤消去新元，得到非线性回归方程；

　⑥得出结果后分析残差图是否有异常.

　三、相关系数

　①作用：用它来衡量两个变量间的线性相关关系． ②计算：12 21 1( )( )( ) ( )ni iin ni ii ix x y yrx x y y    ．     12 21 1ni iin ni ii ix x y yrx x y y     ③正负：当 r ＞0 时，表明两个变量正相关；当 r ＜0 时，表明两个变量负相关； ④强弱：

　r 的绝对值越接近 1，表明两个变量的线性相关性越强； r 的绝对值越接近于 0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系． 通常当| r |＞0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关关系．

　四、相关指数 R2

　 ①作用：：用相关指数 R2 来刻画回归的效果

　②计算：22121( )1( )niiniiy yRy y ， ③效果：

　R2 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好． 在线性回归模型中， R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率， R2越接近于 1，表示回归效果越好．

　五.经典 7 个题组

　题型一：

　y bx a  

　1.一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：

　学生 A 1

　A 2

　A 3

　A 4

　A 5

　数学（x 分）

　89 91 93 95 97 物理（y 分）

　87 89 89 92 93 （1）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图； （2）并求这些数据的线性回归方程 y ＝bx＋a． 附:线性回归方程 y bx a   中,    1 12221 1,n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxyb a y bxx x x nx           其中 x , y 为样本平均值,线性回归方程也可写为 y bx a   ．

　2．(2016 年全国 III)下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

　（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：719.32iiy，7140.17i iit y，721( ) 0.55iiy y ， 7 ≈2.646. 参考公式：相关系数12 21 1( )( )( ) (y y)ni iin ni ii it t y yrt t    ，

　回归方程 y a bt   中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

　121( )( )( )ni iiniit t y ybt t ， = . a y bt 

　题型二：

　x b a y   ，令 y y   ， x x   ，则有 " " y a bx   ．

　1．（2019·山东模拟）习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第 x 天的高度为 ycm，测得一些数据图如下表所示：

　第 x 天 1 4 9 16 25 36 49 高度 y/cm 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数的散点图如下

　(1)请根据散点图判断， y ax b   与 y c x d   中哪一个更适宜作为幼苗高度 y 关于时间 x 的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x的回归方程，并预测第 144 天这株幼苗的高度(结果保留 1位小数). 附：12 21ˆni iiniix y nxybx nx，ˆây bx  

　参考数据：

　71iix 71iix 71iiy 71( )i iix y 140 28 56 283

　2．（2015 新课标 1）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量 y （单位：t）和年利润 z （单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费ix 和年销售量iy （ i =1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

　x

　y

　w

　821( )iix x 821( )iiw w 81( )( )i iix x y y  81( )( )i iiw w y y  46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中i iw x  ， w

　=1881iiw． （Ⅰ）根据散点图判断， y a bx   与 y c d x   哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

　（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率 z 与 x 、 y 的关系为 0.2 z y x   ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

　（ⅰ）年宣传费 x =49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据1 1( , ) u v ，2 2( , ) u v ，  ， ( , )n nu v ，其回归线 v u     的斜率和截距的最小二乘估计分别为 121( )( )ˆ( )ni iiniiu u v vu u ，ˆˆ v u     ．

　题型三：

　axb ym 1，令 " y y  ，mxx1  ，则有 " " y a bx   ． 1．（2018 山西模拟）在一次抽样调查中测得样本的 5 个样本点，数值如下表：

　x

　 0.25 0.5 1 2 4 y

　16 12 5 2 1

　 （1）根据散点图判断,ky a bx y cx    与 哪一个适宜作为 y 关于 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

　（2）根据（1）的判断结果试建立 y 与 x 之间的回归方程．（注意 , a b 或 , c k 计算结果保留整数）

　（3）由（2）中所得设 z= y + x 且   4, x  ，试求 z 的最小值。

　参考数据及公式如下：

　5123i iix y，5 52 21 121.3125, 430i ii ix y   ，   1 122 21 1n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nx         a y bx  $ $

　2．（2019·重庆八中高三（理））新疆在种植棉花有着得天独厚的自然条件，土质呈碱性，夏季温差大，阳光充足，光合作用充分，生长时间长，这种环境下种植的棉花绒长､品质好､产量髙，所以新疆棉花举世闻名.每年五月份，新疆地区进入灾害天气高发期，灾害天数对当年棉花产量有着重要影响，根据过去五年的数据统计，得到相关数据如下表: 灾害天气天数 x (天) 2 3 4 5 8 棉花产量 y (吨/公顷) 3.2 2.4 2 1.9 1.7 根据以上数据，技术人员分别借助甲､乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程， 方程甲:(1)41.1 yx  ，方程乙:(2)26 41.6 yx  . （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务: ① 完成下表；(计算结果精确到 0.1) ②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并比铰1 2, Q Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好? 灾害天气天数 x (天) 2 3 4 5 8 棉花产量 y (吨公顷) 3.2 2.4 2 1.9 1.7 模型甲 估计值(1)iy

　2.4 2.1

　1.6 残差(1)i e

　0 0.1 

　 0.1 模型乙 估计值(2)ˆ i y

　 2.3 2 1.9

　残差(2)ˆ i e

　0.1 0 0

　（2）根据天气预报，今年五月份新疆 M 市灾害天气是 6 天的概率是 0.5，灾害天气是 7 天的概率为 0.4，灾害天气是 10 天的概率为 0.1，若何女士在新疆 M 市承包了 15公顷地种植棉花，请你根据第(1)问中拟合效果较好的模型估计一下何女士今年棉花的产量.(计算过程中所有结果精确到 0.01)

　题型四：

　a bx y  2，令 y y   ，2x x   ，则有 " " y a bx   ． 1．习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展．以下是近几年我国新能源乘用车的年销售量数据及其散点图：

　年份 2013 2014 2015 2016 2017 年份代码 x

　1

　2

　3

　4

　5

　新能源乘用车年销量 y （万辆）

　1.5

　5.9

　17.7

　32.9

　55.6

　 （1）请根据散点图判断， y ax b   与2y cx d   中哪一个更适宜作为年销售量 y 关于年份代码 x 的回归方程类型? (给出判断即可，不必说明理由) （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程，并预测 2018 年我国新能源乘用车的销售量(精确到 0.1 ). 附:1.最小二乘法估计公式：121( )( )ˆ ˆˆ ,( )wi iiwiit t y yb a y btt t    y

　251( )iiw w 51( )( )i iix x y y  51( )( )i iiw w y y  22.72

　374

　135.2

　851.2

　其中2i iw x 

　2．（2019·重庆巴蜀中学高三月考（理））2019 年双十一落下帷幕,天猫交易额定格在 268(单位:十亿元)人民币(下同),再创新高,比去年 218(十亿元)多了50(十亿元),这些数字的背后,除了是消费者买买买的表现,更是购物车里中国新消费的奇迹,为了研究历年销售额的变化趋势,一机构统计了 2010 年到 2019年天猫双十一的销售额数据 y (单位:十亿元).绘制如下表 1: 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 编号 x

　1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售额y

　0.9 8.7 22.4 41 65 94 132.5 172.5 218 268 根据以上数据绘制散点图,如图所示.

　(1)根据散点图判断, ya bx  与2y cx d   哪一个适宜作为销售额 y 关于 x 的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及下表中的数据,建立 y 关于 x 的回归方程,并预测 2020 年天猫双十一销售额;(注:数据保留小数点后一位) (3)把销售额超过 10(十亿元)的年份叫“畅销年”,把销售额超过 100(十亿元)的年份叫“狂欢年”,从2010 年到 2019 年这十年的“畅销年”中任取 3个,求取到的“狂欢年”个数  的分布列与期望. 参考数据:2i it x  . 1011020iiy 1018088i iix y 101385iit 102125380iit 10167770i iit y  21483 t 

　参考公式:对于一组数据  1 1, u v ,  2 2, u v ,…,   ,n nu v ,其回归直线 va u   的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221 111niniu v nuvu nu,v u    .

　题型五：

　ln y a b x   ，令 " y y  ， " ln x x  ，则有 " " y a bx   ． 1.（2019·河北期中）某地区不同身高   x cm 的未成年男孩的体重平均值   y kg 如下表：

　身高   x cm

　60 70 80 90 100 体重   y kg

　6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 已知 ln y 与 x 之间存在很强的线性相关性， （1）据此建立 y 与 x 之间的回归方程； （2）若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2倍为偏胖，低于 0.8 倍为偏瘦，那么这个地区一名身高150cm 体重为 45kg 的在校男生的体重是否正常？ 参考数据：

　 51ln 940i iix y ，51ln 11.5iiy，3.740.5 e  附：对于一组数据  1 1,v  ，  2 2,v  ，…，   ,n nv  ，其回归直线 vbx a  中的斜率和截距的最小二乘估计分别为12 21ˆni iiniiv n vbn  ，ˆâv b    .

　2．（2019·山东高考模拟（理））混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点,是目前使用量最大的土木建筑材料.抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数,也是实际工程对混凝土要求的基本指标.为了解某型号某批次混凝土的抗压强度(单位: MPa )随龄期(单位:天)的发展规律,质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期 ( 1,2, ,10)ix i  分别为2,3,4,5,7,9,12,14,17,21时的抗压强度iy 的值,并对数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

　 表中 lni iw x  ,101110iiw w. (1)根据散点图判断 ya bx  与 ln y c d x   哪一个适宜作为抗压强度 y 关于龄期 x 的回归方程类型?选择其中的一个模型,并根据表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程； (2)工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度28f 视作混凝土抗压强度标准值.已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为 40MPa . (ⅰ)试预测该批次混凝土是否达标? (ⅱ)由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义.经验表明，该型号混凝土第 7 天的抗压强度7f 与第 28 天的抗压强度28f 具有线性相关关系28 71.2 7 f f   ，试估计在早期质量控制中，龄期为 7 天的试件需达到的抗压强度. 附:    121...