8.1,基本立体图形及其直观图【解析版】

时间：2021-05-01 10:16:45 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　8.1 基本立体图形及其直观图

　 1. 棱柱的结构特征；2. 棱锥、棱台的结构特征；3. 棱柱、棱锥、棱台的概念；4. 几何体的侧面展开图；5. 旋转体的结构特征；6. 简单组合体的结构特征；7. 旋转体中的计算问题；8. 旋转体的概念；9. 空间想象能力考查……卷与展；10. 对投影的理解；11. 简单几何体的三视图；12. 简单组合体的三视图；13. 空间想象能力、直观想象能力考查——识图、画图、用图；14. 水平放置的平面图形直观图的画法；15. 几何体的直观图画法；16. 斜二测画法下的计算问题.

　一、单选题 1．（2020·北京丰台·期末）如图所示，下列四个几何体：

　其中不．是棱柱的序号是（

　）

　A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解析】

　棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各个面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行. 由此可知②中没有互相平行的平面，所以不是棱柱， 故选：B. 2．下列说法正确的是（

　）

　A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

　 C．棱柱中各条棱长都相等 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 【答案】A 【解析】

　A显然正确； 棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面， 例如正六棱柱的相对侧面，故 B 错误； 棱柱的每条侧棱长相等，而不是各条棱长都相等，故 C 错误； 棱柱的底面可以是平行四边形，如长方体，故 D错误. 故选：A. 3．（2019·广东湛江·高一期末）利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（

　）

　A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【解析】

　由斜二测画法的规则可知：

　因为平行关系不变，所以①正确； 因为平行关系不变，所以②是正确； 因为直角变为 45 或 135 ，所以正方形的直观图是平行四边形，所以③错误； 因为平行于 y 轴的线段长度减半，平行于 x 轴的线段长度不变，所以④是错误， 故选：A. 4．（2020·安徽高二学业考试）主视图为矩形的几何体是（

　 ）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】A 【解析】

　A选项，圆柱的主视图为矩形，故 A正确； B 选项，圆锥的主视图为等腰三角形，故 B 错；

　 C 选项，棱锥的主视图为三角形，故 C 错； D选项，球的主视图为圆，故 D错. 故选：A. 5．（2020·浙江诸暨中学月考）如图， OAB    △ 是水平放置的 OAB 的直观图，则 OAB 的面积为（

　）

　A．6 B．32 C．12 D．62 【答案】C 【解析】

　由斜二测画法特点得2 " " 6" " 4OA O AOB O B    ， OAB 为直角三角形， 16 4 122OABS     ，

　故选：C. 6．（2020·湖南学业考试）如图所示的几何体是（

　）

　A．圆锥 B．棱锥 C．圆台 D．棱柱 【答案】D 【解析】

　由图形可知，该几何体有两个面平行且全等，侧棱平行且相等，故该几何体为棱柱. 故选：D. 7．（2020·重庆市第三十七中学校月考）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（

　）

　A．①是棱台 B．②是圆台 C．③不是多面体 D．④是棱柱 【答案】D 【解析】

　对①，上底是梯形，下底平行四边形，上下底部不相似，故不是棱台； 对②，上下底面不平行，故不是圆台， 对③，是三棱锥，是多面体， 对④，侧棱平行，有一组对面全等且平行，满足棱柱特征，是棱柱. 故选：D. 8．（2020·涡阳县萃文中学月考）下列关于棱台的说法，不正确的是（

　）

　A．所有的侧棱交于一点 B．只有两个面互相平行 C．上下两个底面全等 D．所有的侧面不存在两个面互相平行 【答案】C 【解析】

　由棱台的定义可知：

　A.所有的侧棱交于一点，正确； B.只有两个面互相平行，就是上、下底面平行，正确； C.棱台的上下两个底面不全等，故 C 不正确； D.所有的侧面不存在两个面互相平行，正确. 故选：C. 9．（2019·台州市蓬街私立中学高二月考）用斜二测画法画水平放置的边长为 2 的正三角形的直观图，所得图形的面积为（

　 ）

　A．62 B．64 C．24 D．32

　 【答案】B 【解析】

　根据斜二测画法的特征，可得底不变，为 2，高为2 21 2 62 1 =2 2 4   ，

　所以直观图的面积是1 6 62 =2 4 4 . 故选：B. 10．（2020·山西大附中月考）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳(biēnaò).如图，网格纸上小正方形的边长 1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑最长的棱为（ ）

　A．5 B． 3 2

　C．34

　D．41

　【答案】C 【解析】

　根据三视图，还原直观图为三棱锥 A-BCD， 如图所示

　由题意得 AB=3，BC=4，CD=3， 在直角三角形 BCD 中，2 23 4 5 BD  ， 所以最长棱为2 2 2 23 5 34 AD AB BD     ，

　 故选：C 二、多选题 11．（2020·重庆市万州第二高级中学月考）铜钱：古代铜质辅币，俗称铜钱，是指秦汉以后的各类方孔圆钱，方孔圆钱的铸期一直延伸到清末民国初年.请问铜钱形成的几何体中不包含下列那种几何体（

　）

　A．圆柱 B．棱柱 C．棱锥 D．长方体 【答案】CD 【解析】

　铜钱可以看成一个圆柱挖去一个底面为正方形的四棱柱所得的几何体， 所以铜钱形成的几何体中不包含棱锥和长方体， 故选：CD 12．（2020·山东高二月考）下面关于空间几何体叙述不正确的是（

　）

　A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．棱柱的侧面都是平行四边形 C．直平行六面体是长方体 D．直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥 【答案】ACD 【解析】

　对于 A ：底面是正多边形且棱锥顶点在底面投影必须是底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥，故选项 A 不正确； 对于 B ：棱柱的侧面都是平行四边形是正确的，故选项 B 正确； 对于 C ：直平行六面体底面是平行四边形侧棱垂直于底面，不一定是长方体，故选项 C 不正确； 对于 D ：以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故选项 D 不正确； 故选：ACD 13.水平放置的 ABC 的直观图如图所示,其中 1 BO CO     ,32A O    ,那么原 ABC 是一个(

　)

　A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为3 的三角形 【答案】AD 【解析】

　由题中图形知,在原 ABC 中, AO BC  . 32AO  , 3 AO  

　1 BO CO     , 2 BC   , 2 AB AC   , ABC  为等边三角形. ABC  的面积为12 3 32   , 故选：AD. 14． （2020·山东泰安实验中学高一期中）如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为 B′C′的中点，且 A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平面图形 ABC中（

　）

　A．AB 与 AC 相等 B．AD的长度大于 AC 的长度 C．AB 的长度大于 AD的长度 D．BC 的长度大于 AD 的长度 【答案】AC 【解析】

　根据斜二测画法的直观图，还原几何图形，首先建立平面直角坐标系 xoy ， // BC x 轴，并且 BC BC    ，点 D 是 BC 的中点，并且作 // ADy 轴，即 ADBC  ，且2 AD A D ，连结 , AB AC ，所以 ABC 是

　 等腰三角形， AB AC  , AB 的长度大于 AD 的长度，由图可知 BC BC    ，2 AD A D ，由图观察，12A D B C      ，所以 2 BC AD      ,即 BC AD  .

　故选：AC 三、填空题 15．（2020·江西南康中学高二月考（文））如图，下列四个几何体中，它们的三视图(正视图、俯视图、侧视图)有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是________.

　 (1)棱长为 2的正方体

　 (2)底面直径和高均为 2 的圆柱

　(3)底面直径和高 均为 2 的圆锥 【答案】(2)(3) 【解析】

　图中正方体的三个三视图都是边长为 2 的正方形，（1）不合题意； 图中圆柱的正视图、侧视图都是边长为 2 的正方形，俯视图为圆，（2）符合题意； 图中圆锥的正视图、侧视图都是底与高为 2 的等腰三角形，俯视图为圆，（3）符合题意； 故答案为（2）（3）. 16． （2020·北京人大附中朝阳学校期末）用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的________

　 （写出满足条件的图形序号）

　（1）正三角形（2）梯形（3）直角三角形（4）矩形 【答案】（1）（2）（4）

　【解析】

　如图，正方体有六个面，用平面去截正方体时，最多与六个面相交得六边形，截面与四个面相交时可能得矩形或梯形，截面与三个面相交得三角形，因为正方体从一个顶点出发的棱两两垂直，所以不可能是直角三角形. 故答案为：（1）（2）（4）

　17．（2020·宝山·上海交大附中月考）空间中一条线段在三视图中的长度分别为 5， 13 ， 2 5 ，则该线段的长度为______. 【答案】

　29 . 【解析】

　将该线段放入一个长、宽、高分别为 a 、 b 、 c 的长方体中，如图，

　 由题意可得   2 2 222 222 25132 5a ca bc b   ，解得324abc ， 所以该线段长为2 2 229 a b c   . 故答案为：

　29 . 四、双空题 18．（2020·磐安县第二中学月考）一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高（两底面之间的距离）和底面边长分别是______和______．

　【答案】2

　4

　 【解析】

　由侧视图得三棱柱的高为 2，又底面正三角形的高为 2 3 ，故底面边长为2 34sin60. 故答案为：

　2 ； 4 . 19．（2020·嘉祥县第一中学高一月考）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑 A BCD  中， AB 平面 BCD ，且有 2 1 BD CD AB BD CD     ， ， ，则此鳖臑的外接球 O（ A B C D 、 、 、 均在球 O 表面上）的直径为__________；过 BD 的平面截球 O 所得截面面积的最小值为__________. 【答案】

　3

　 

　【解析】

　根据已知条件画出鳖臑 A BCD  ，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑 A BCD  外接球的直径为 AC ，且2 2 23 AC AB BD CD    .

　 过 BD 的平面截球 O 所得截面面积的最小值的是以 BD 为直径的圆，面积为22BD     . 故答案为：(1). 3

　 (2). 

　 20．（2020·浙江高三开学考试）已知某几何体的三视图如图所示（正视图为等腰三角形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形），则该几何体的最短棱长为________，最长棱长为________.

　【答案】2

　2 3

　【解析】

　此几何体的直观图如图所示，

　其中， SD  面 ABCD ， ABCD 为正方形， 由图可知，此几何体最短棱长为 2 AB SD   ,最长棱长为 SB ，由三视图得：

　2 2 2 22 (2 2) 2 3 SB SD BD     , 故答案为：2； 2 3 . 21．（2020·烟台理工学校高一期中）已知正四棱锥 V-ABCD 的底面面积为 16，侧棱长为 4 ，则这个棱锥的斜高为_____，高为_____ 【答案】

　2 3

　 2 2

　【解析】

　如图所示：

　G 为 CD 中点，在等边三角形 VCD 中，32 32VG VC   ， V 在平面 ABCD 的投影为正方形 ABCD 中心 O ， 正四棱锥 V-ABCD 的底面面积为 16，则底面边长为 4 . 12 22DO DB   ，2 22 2 VO VD DO   . 故答案为：

　2 3 ； 2 2 .

　五、解答题 22．（2020·全国高一课时练习）用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，判断下列命题的真假. （1）三角形的直观图还是三角形； （2）平行四边形的直观图还是平行四边形； （3）正方形的直观图还是正方形； （4）菱形的直观图还是菱形. 【答案】（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）假命题. 【解析】

　（1）三角形的直观图还是三角形，为真命题. （2）平行四边形的直观图还是平行四边形，为真命题. （3）正方形的直观图，边长不全相等，不是正方形，所以命题为假命题. （4）菱形的直观图，边长不全相等，不是菱形，所以命题为假命题. 23．如图所示，梯形 A 1 B 1 C 1 D 1 是一平面图形 ABCD的直观图.若 A 1 D 1 ∥O′y′，A 1 B 1 ∥C 1 D 1 ，A 1 B 1 ＝23 C 1 D 1＝2，A 1 D 1 ＝O′D 1 ＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积.

　【答案】作图见解析；5 【解析】

　如图，建立直角坐标系 xOy，在 x 轴上截取 OD＝O′D 1 ＝1；OC＝O′C 1 ＝2 在过点 D与 y 轴平行的直线上截取 DA＝2D 1 A 1 ＝2. 在过点 A 与 x 轴平行的直线上截取 AB＝A 1 B 1 ＝2.连接 BC，便得到了原图形(如图).

　由作法可知，原四边形 ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为 AB＝2，CD＝3，直角腰长度为 AD＝2. 所以面积为 S＝2 32×2＝5. 24．（2020·河北沧州市一中高一月考）如图所示，在正三棱柱1 1 1ABC ABC  中， 3 AB ，14 AA  ， M 为1AA 的中点， P 是 BC 上的一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱1CC 到 M 的最短路线为29 .设这条最短路线与1CC 的交点为 N ，求：

　（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； （2）

　PC 和 NC 的长. 【答案】（1）

　97 ；（2）

　PC 的长为 2， NC 的长为45. 【解析】

　（1）由题意，该三棱柱的侧面展开图是宽为 4，长为 3 3 9   的矩形， 所以对角线的长为2 24 9 97  ； （2）将该三棱柱的侧面沿棱1BB 展开，如图所示.

　设 PC 的长为 x ，则2 2 2( ) MP MA AC x    . 因为 29 MP  ， 2 MA ， 3 AC  ，

　 所以 2 x  (负值舍去)，即 PC 的长为 2. 又因为 // NC AM ， 所以PC NCPA AM ，即25 2NC ， 所以45NC  . 25．（2020·蚌埠田家炳中学高二月考（理））圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，轴截面的面积等于 392 cm 2 ，母线与轴的夹角是 45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径． 【答案】圆台的高 OO 1 ＝14 cm，母线长 l＝142 cm，两底面的半径分别为 7 cm，21 cm． 【解析】

　圆台的轴截面如图所示，

　设圆台上、下底面半径分别为 x cm，3x cm，延长 AA 1 交 OO 1 的延长线于 S． 在 Rt△SOA中，∠ASO＝45°，∠SAO＝45°， ∴SO＝AO＝3x， ∴OO 1 ＝2x． 又 S 轴截面 ＝12 (6x＋2x)·2x＝392， ∴x＝7． 则圆台的高 OO 1 ＝14 cm，母线长 l＝2 OO 1 ＝14 2

　cm， 两底面的半径分别为 7 cm，21 cm． 26．一个圆台的母线长为 12cm ，两底面面积分别为24 cm 和225 cm ． （1）求圆台的高； （2）求截得此圆台的圆锥的母线长． 【答案】(1) 3 15cm . (2) 20cm .

　 【解析】

　（1）如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形 ABCD ，1O ， O 分别为 AD ， BC 的中点，作 AM BC 于点 M ，连接1OO . 由已知可得上底半径12cm O A  ，下底半径5cm OB  ，且腰长 12cm AB ， ∴ 2 212 3 3 15 cm AM    ，即圆台的高为 3 15cm . （2）如图，延长 BA ，1OO 交于点 S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为 cml ，则由1SAO SBO △ ∽△ ，得1AO SASB BO ，即12 25ll ，∴即截得此圆台的圆锥的母线长为 20cm.

　27．（2020·上海市七宝中学高二期末）设一正方形纸片 ABCD 边长为 4 厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等...