专题18,导数大题专项练习（文）（解析版）

时间：2021-02-05 05:08:50 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　 1 题 专题 18

　导数大题专项练习 一、巩固基础知识 1．已知函数 1 623) (2 3    x x x x f 。

　(1)求 ) (x f 的极值； (2)求 ) (x f 在区间 ] 4 2 [ ，  上的最小值。

　【解析】(1) ) 2 )( 1 ( 3 6 3 3 ) (2       x x x x x f ，令 0 ) (  xf ，则 1   x 或 2  x ， 当 1   x 或 2  x 时 0 ) (  xf ，故 ) (x f 在区间 ) 1 (  ， 或 ) 2 (   ， 上单调递增， 当 2 1    x 时 0 ) (  xf ，故 ) (x f 在区间 ) 2 1 ( ，  上单调递减， 故函数 ) (x f 的极大值为29) 1 (   f ，极小值是 9 ) 2 (   f ； (2) 1 ) 2 (    f ， 17 ) 4 (  f ，由(1)知，29) ( 极大值x f ， 9 ) (  极小值x f ， 比较可知四个数中的最小值为 ) (x f 在区间 ] 4 2 [ ，  上的最小值，为 9  。

　2．函数 x b x a x x f ln ) (2     的图像在点 ) 0 1 ( ， P 处的切线斜率为 2 。

　(1)求 a 、 b 的值； (2)证明：

　2 2 ) (   x x f 对任意正实数 x 恒成立。

　【解析】(1)解：由题设可知 ) (x f 的定义域为 ) 0 (   ， ， ) (x f y  在点 ) 0 1 ( ， P 处切线的斜率为 2 ， ∴ 0 1 ) 1 (    a f ， 2 2 1 ) 1 (      b a f ，则 1   a ， 3  b ， (2)证明：由(1)知 x x x x f ln 3 ) (2   ( 0  x )，∵ 2 2 ) (   x x f ， 设 x x x x x f x g ln 3 2 2 2 ) ( ) (2       ， 则xx xxx x g) 3 2 )( 1 ( 32 1 ) (2        ， 当 1 0   x 时， 0 ) (  xg ，当 1  x 时， 0 ) (  xg ， ∴ ) (x g 在 ) 1 0 ( ， 上单调递增，在 ) 1 (   ， 上单调递减。

　∴ ) (x g 在 1  x 处有最大值 0 ) 1 (  g ， ∴ 0 2 2 ) (    x x f ，即 2 2 ) (   x x f ，原命题得证。

　3．设函数xe x x f   ) ( 。

　(1)求曲线 ) (x f 在 1  x 处的切线方程； (2)求 ) (x f 的单调区间与极值； (3)若方程 0    a e xx有实数解，求实数 a 的范围。

　【解析】(1)xe x x f   ) ( 的定义域为 R ，xe x x f     ) 1 ( ) ( ， e f 2 ) 1 (   ，又 e f  ) 1 ( ，

　 2 ∴曲线 ) (x f 在 1  x 处的切线方程为 ) 1 ( 2     x e e y ，即 0 2    e y ex ； (2)xe x x f     ) 1 ( ) ( ，令 0 ) (  xf ，得 1   x ，列表如下：

　∴ ) (x f 的单调递减区间是 ) 1 (  ， ，单调递增区间是 ) 1 (    ， ，ef x f1) 1 ( ) (    极小值； (3)∵ ) (x f 在 R 上左减右增，且在 1   x 处取极小值，无极大值，则ex f x f1) ( ) (min  极小值， 又∵ 0    a e xx可化简为 a e xx  ，可看作xe x y   与 a y 图象交点，则ea1  。

　4．已知函数 x ax x x f 3 ) (2 3   。

　(1)若 ) (x f 在区间上 ) 1 [   ， 是增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若31  x 是 ) (x f 的极值点，求 ) (x f 在 ] 1 [ a ， 上的最大值和最小值。

　【解析】(1) 3 2 3 ) (2    ax x x f ， ) (x f 在区间上 ) 1 [   ， 是增函数， 则 0 ) (  xf 在 ) 1 [   ， 恒成立，即 )1(23xx a   在 ) 1 [   ， 恒成立， min)]1(23[xx a   ，xx1 在 ) 1 [   ， 为增函数，则 0 )1(min xx ， 0  a ； (2) 3 2 3 ) (2    ax x x f ，∵31  x 是 ) (x f 的极值点， ∴ 0 3 )31( 2 )31( 3 )31(2          a f 解得 4  a ， ∴ x x x x f 3 4 ) (2 3   ， 0 ) 1 3 )( 3 ( 3 8 3 ) (2        x x x x x f ， 3  x 或31  x ， 列表如下：

　x

　1 

　)311 (   ，

　31

　) 331( ， 

　3

　) 4 3 ( ，

　4

　) (xf 

　0 ) (  xf

　0 ) (  xf

　0 ) (  xf

　0 ) (  xf

　0 ) (  xf

　 ) (x f

　2 

　增函数 2714 减函数 18 

　增函数 12 

　∴2714)31( ) (max   f x f ， 18 ) 3 ( ) (min   f x f 。

　二、扩展思维视野 5．已知函数 x ax x x f 3 ) (2 3   ( R a )。

　(1)若 0 ) 3 (  f，求 ) (x f 在 ] 4 1 [ ， 上的最小值和最大值； x

　) 1 (  ，

　1 

　) 1 (    ，

　) (xf  0 ) (  xf

　0

　0 ) (  xf

　) (x f

　

　极小值 

　 3 (2)若 ) (x f 在 ) 1 [   ， 上是增函数，求实数 a 的取值范围。

　【解析】(1) ) (x f 的定义域为 R ，∵ 3 2 3 ) (2    ax x x f ，由 0 ) 3 (  f得 0 3 6 27    a ，解得 4  a ， ∴ 3 8 3 ) (2    x x x f ，令 0 ) (  xf ，即 0 ) 3 )( 1 3 ( 3 8 32      x x x x ， 解得31  x 或 3  x ， x

　1

　) 3 1 ( ，

　3

　) 4 3 ( ，

　4

　) (xf 

　0 ) (  xf

　0

　0 ) (  xf

　 ) (x f

　6 

　

　极小值 18 

　

　12 

　∴ ) (x f 在 ] 4 1 [ ， 上的最小值是 18 ) 3 (   f ，最大值是 6 ) 1 (   f ； (2)由题意得：

　0 3 2 3 ) (2     ax x x f 在区间 ) 1 [   ， 上恒成立，∴ )1(23xx a   ， 又当 1  x 时， )1(23) (xx x g   是增函数，其最小值为 0 ) 1 (  g ，∴ 0  a ， 即实数 a 的取值范围是 ] 0 ( ，  。

　6．已知函数 cx e x fx  ) ( ( R c )。

　(1)若 0  c ，函数 ) (x f 在区间 ] 2 1 [ ，  上的最小值为 e  1 ，求 c 的值； (2)设xe x f x g   ) ( ) ( ，若函数 ) (x g 有极值，求实数 c 的取值范围。

　【解析】(1) ) (x f 的定义域为 R ， c e x fx  ) ( ， 若 0  c ，则 0 ) (  xf 恒成立，∴ ) (x f 在 R 上单调递增， ∴函数 ) (x f 在区间 ] 2 1 [ ，  上的最小值为 e c e f        1 ) 1 ( ，则 1   c ； (2)由题意得：

　cx e e e x f x gx x x    ) ( ) ( ( R c )， ) (x g 的定义域为 R ， 则 c e e x gx x   ) ( ，而 2 2      x x x xe e e e ，当且仅当 0  x 时取等号，分两种情况：

　①当 2  c 时，对任意 R x ， 0 ) (  xg 恒成立，此时 ) (x g 无极值， ②当 2  c 时，令 t e x  ，方程 0 12  ct t 有两根，2421 c ct ，2422 c ct ， ∴ 0 ) (  xg 有两个根24ln ln21 1  c ct x ，24ln ln22 2  c ct x ， 当2 1x x x   时， 0 ) (  xg ， ) (x g 在区间 ) (2 1x x， 上单调递减， 当1x x  或2x x  时 0 ) (  xg ， ) (x g 在区间 ) (1x ，  和 ) (2  ， x 上单调递增， 从而 ) (x g 在1x x  处取极大值，在2x x  处取极小值， 综上，若函数 ) (x g 有极值，则实数 c 的取值范围为 ) 2 (   ， 。

　7．设函数 k bx ax x f   2) ( ( 0  k )在 0  x 处取得极值，且曲线 ) (x f y  在点 )) 1 ( 1 ( f ， 处的切线垂直于直线 0 1 2    y x 。

　 4 (1)求 a 、 b 的值； (2)若函数) () (x fex gx ，讨论 ) (x g 的单调性。

　【解析】(1) ) (x f 的定义域为 R ， b ax x f    2 ) ( ， 又 ) (x f 在 0  x 处取极值，故 0  b ， 由曲线 ) (x f y  在点 )) 1 ( 1 ( f ， 处的切线垂直于直线 0 1 2    y x 相互垂直可知， 该切线斜率为 2 ，即 2 ) 1 (  f，有 2 2  a ，∴ 1  a ； (2)由(1)知，k xex gx2) ( ( 0  k )， ) (x g 的定义域为 R ，2 22) () 2 () (k xk x x ex gx   ( 0  k )， 令 0 ) (  xg ，则 0 22   k x x ， k 4 4   ， 当 0   即 1  k 时，对 R x  都有 0 ) (  xg 恒成立，则 ) (x g 在 R 内单调递增， 当 0   即 1 0  k 时，方程 0 ) (  xg 有两个不同的实根：

　k x    1 11， k x    1 12，2 1x x  ， 则 ) (x f 在 ) 1 1 ( k   ， 和 ) 1 1 (     ， k 上单调递增， 在 ) 1 1 1 1 ( k k     ， 是上单调递减。

　三、提升综合素质 8．已知 1 ) 1 ( ) (     x e x fx。

　(1)求函数 ) (x f 在区间 ] 2 1 [ ，  上的值域； (2)当 0  x 时， ax x f  ) ( 恒成立，求实数 a 的取值范围。

　【解析】(1) ) (x f 的定义域为 R ， ) ( ) ( x e x fx    ， 令 0 ) (  xf 得 0  x ，则 ) (x f 在区间 ) 0 ( ，  上单调递减， 令 0 ) (  xf 得 0  x ，则 ) (x f 在区间 ) 0 (   ， 上单调递增， 而 1 2 ) 1 (1  e f ， 1 ) 2 (2   e f ， 0 ) 0 (  f ，则 ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( f f f    ， 故 ) (x f 在区间 ] 2 1 [ ，  上的值域为 ] 0 1 [2，  e ； (2) ax x f  ) ( ，即 ax x e x    1 ) 1 ( ，即 0 1 ) 1 (     ax e xx， 令 1 ) 1 ( ) (     ax e x x gx( 0  x )，则只需证明 0 ) (max x g ， 则 a xe x gx    ) ( ，x x xe x xe e x g ) 1 ( ) (         ，对于 0  x 时， 0 ) (   xg 恒成立， ∴ ) (xg在 ) 0 [    ， x 上单调递减， a g   )0 ( ， ①当 0  a 时， 0 ) 0 ( ) (     g x g ， ) (x g 在 ) 0 [   ， 上单调递减， 则 0 ) 0 ( ) (   g x g ，满足 0 ) (max x g ，

　 5 ②当 0  a 时， 1 ae ，则 0 ) 0 (     a g ， 0 ) 1 ( ) (          a ae a a e a a g ， 则存在 ) 0 (0a x   ， 使得 0 ) (0 xg ， ∴当 ) 0 [0x x ，  时 0 ) (  xg ， ) (x g 在 ) 0 [0x ， 上单调递增， ∴当 ) (0a x x   ， 时 0 ) (  xg ， ) (x g 在 ) (0a x  ， 上单调递增减， 又 0 ) 0 (  g ，∴ 0 ) (0 x g ，∴ 0  a 不满足 0 ) (max x g ， 综上可得 0  a ，故实数 a 的取值范围为 ) 0 [   ， 。

　9．已知函数 x a x x f ln ) (    ( R a )。

　(1)设函数xax f x h 1) ( ) ( ，求函数 ) (x h 的单调区间； (2)若xax g 1) ( ，在 ] 1 [ e ， 上存在一点0x ，使得 ) ( ) (0 0x g x f  成立，求 a 的取值范围。

　【解析】(1)xax a x x h   1ln ) ( ，定义域为 ) 0 (   ， ， 2 222)] 1 ( )[ 1 ( ) 1 ( 11 ) (xa x xxa ax xxaxax h        ， ①当 0 1  a ，即 1   a 时，令 0 ) (  xh ，∵ 0  x ，∴ a x  1 ； 令 0 ) (  xh ，∵ 0  x ，∴ a x    1 0 ， ②当 0 1  a ，即 1   a 时， 0 ) (  xh 恒成立， 综上：当 1   a 时， ) (x h 在 ) 1 0 (  a ， 上单调递减，在 ) 1 (    ， a 上单调递增， 当 1   a 时， ) (x h 在 ) 0 (   ， 上单调递增； (2)由题意可知在 ] 1 [ e ， 上存在一点0x ，使得 ) ( ) (0 0x g x f  成立， 即在 ] 1 [ e ， 上存在一点0x ，使得 0 ) (0 x h ， 即函数xax a x x h   1ln ) ( 在 ] 1 [ e ， 上的最小值 0 ) (min x h ，由第(1)问可知：

　①当 e a  1 ，即 1  e a 时， ) (x h 在 ] 1 [ e ， 上单调递减， ∴ 01) ( ) (min    aeae e h x h ，∴112eea ，又∵ 1112 eee，∴112eea ， ②当 1 1  a ，即 0  a 时， ) (x h 在 ] 1 [ e ， 上单调递增， ∴ 0 1 1 ) 1 ( ) (min     a h x h ， 2   a ， ③当 e a    1 1 ，即 1 0    e a 时，∴ 0 ) 1 ln( 2 ) 1 ( ) (min        a a a a h x h ， ∵ 1 ) 1 ln( 0    a ， a a a     ) 1 ln( 0 ， 2 ) 1 (  a h ，此时不存在0x 使 0 ) (0 x h 成立， 综上可得所求 a 的范围是：112eea 或 2   a 。

　 6 10．已知函数 ax x e x x fx2 ln ) (2    。

　(1)若函数 ) (x f y  在 1  x 处的切线的斜率为 1 ，求 a 的值； (2)若 1 2 ) (   x x f ，求 a 的取值范围。

　【解析】(1) ) (x f 的定义域为 ) 0 (   ， ， axe x x fx21) 1 2 ( ) (2      ， 则 1 2 1 3 ) 1 (2     a e f ，解得 1232 ea ； (2)由 1 2 ) (   x x f 可得：

　2 21 ln2  axxex， 令xxe x gx1 ln) (2  ，则 ) (x g 的定义域为 ) 0 (   ， ，22 2ln 2) (xx e xx gx   ， 令 x e x xxln 2 ) (2 2    ， ) (x  的定义域为 ) 0 (   ， ， 01) 1 ( 4 ) (2    xx e x xx恒成立， ∴ ) (x  在 ) 0 (   ， 上单调递增，又 0 121212)1(222         eeeee ee，且 0 2 ) 1 (2   e ，

　∴存在 ) 11(0，ex  ，使得 0 ) (0  x ，即 0 ln 202 200   x e xx， ∴ ) (x g 在 ) 0 (0x ， 上单调递减，在 ) (0  ， x 上单调递增， ∴ ) (0x g 为 ) (x g 的极小值，也是最小值，0020 min1 ln) ( ) (0xxe x g x gx   ， 令 t e xx 02 20，两边同时取对数得：

　t x x t e x t e xx xln 2 ln 2 ln ln ln ln ) ln(0 02 202 200 0        ， 又由 0 ln 202 200   x e xx得 0 ln 20  x t ， 则 t t x x 2 ln 2 ln0 0   ，则 t x 0，即0 02 ln x x   ， ∴02 200x t e xx   ，即0210xex ，∴ 21 2 1 1 ln) ( ) (000 0020 min0    xxx xxe x g x gx， 故 2 ) ( 2 2min   x g a ，解得 0  a ，∴ a 的取值范围是 ] 0 ( ，  。