立体几何复习讲义
立体几何复习 讲义
一、考试大纲解读
一
知识梳理 立体几何是高中数学的重要内容,立体几何试题是考查空间想象能力,逻辑思维能力和演绎推理能力的基本载体。
在《课程标准》中,立体几何的内容和考查要求有了较大的变化:增加了三视图,更强调几何直观,几何证明有所削弱,淡化了距离问题。因此,在复习中,以基本知识,基本方法为基础,以通性通法为重点,培养空间几何体的直观认知能力和逻辑推理能力。
1、加强几何直观 立体几何问题以 “直观图”“三视图”等形式呈现几何直观,注意空间想象能力的培养,尤其是认识图,理解图,应用图的能力,实现“空间图形”与其“直观图”“三视图”的相互转化。在试题设计上,通常有 1—2 道选择题或填空题,常见题型为(1)与三视图结合,考查几何体的表面积或体积等问题,(2)平行垂直关系的判定以及符号语言的理解和使用。
2、几何证明有所削弱,但平行与垂直关系仍是问题的主线 线线,线面,面面平行和垂直关系是最重要的空间位置关系,仍然是高考考查的重点,在试题设计上,解答题常以多面体和旋转体为载体,考查平行垂直关系,以及角的计算,同时应适度关注有关位置关系的探索等探索性问题。
3、重视向量方法在立体几何计算问题中的应用 由于平面几何和高中立体几何对平行垂直关系的证明要求有所削弱,
有关线面角,二面角侧重于用向量方法,要求考生(1)会根据题目特点,建立适当的空间直角坐标系,求出所研究各点的坐标,进而求出相关几何量的坐标,(2)会用数量积研究两条直线的夹角和线段长度的计算问题,(3)会用向量的线性运算研究向量的共线问题,进而解决平行垂直关系以及空间中角的计算和两点间的距离问题。
二、知识点回顾
1、空间平行与垂直的判定定理 线 面 平 行 :____________________________________________________________ 线 面 垂 直 :_____________________________________________________________ 面 面 平 行 :_____________________________________________________________ 面 面 垂 直 :_____________________________________________________________ 2、空间角(观察下面图形)
类型 ①线线角 ②线面角 ③面面角 求角公式 e e 1, e e 2 分别为直线 l 1, l 2 的方向向量,直线 l 1,设 e e 为直线 l 的方向向量, n n 为平面 的法向设 n n 1, n n 2 分别为平面 1, 2 的法向量,平面 1,
l 2 所成的角为 ,
____________ 量, l 与平面 所成的角为 ,
_____________ 2 所成的二面角为 ,
______________
取值范围
______________
______________
______________
图形
3、空间距离
点面距离的向量公式:平面 的法向量为 ,点 P 是平面 外一点,点 M 为平面 内任意一点,则点 P 到平面 的距离 d = . [ [ 高考速递] ] :
在长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, AB = BC =2, AA 1 =1,则 BC 1 与平面 BB 1 D 1 D 所成角的正弦值为(
)
A.
B.
cos sin | cos | n | || |MP nn632 65e 2e 1l 2l 1 lne 2 1n 2n 1A B C D B 1 C 1
D 1 E A 1
C.
D.
三、空间向量在立体几何解答题中的应用
[ [ 典型例题] ] :
1、一个几何体的三视图如图所示,其中主视图 是边长为 2 的正三角形,俯视图为正六边形, 那么该几何体的体积为
.
2. 如 图 , 在 直 三 棱 柱 中 ,, , 是 的中点, 是的中点. (1)求证 AB C CQ (2)求异面直线 与 所成角的大小; (3)求直线 与面 Q 所成角的正弦; (4)求二面角 A -CQ-B 的平面角的余弦。
1551051 1 1ABC ABC 1CC AC BC 90 ACB P1AA Q AB1PQ1BCPQ1BC1 1BDEAFOCP俯视图 主视图 左视图 ABC1A1B1CPQ
四、巩固练习 1、一个几何体的三视图如右图所示,则该几 何 体的表面积是_______________。
XYZPQB1A1CBAC1俯 正 侧 3 1 2 2
2、如图,五面体 中, .底面 是正三角形, .四边形 是矩形,二面角 为直二面角. (1)
在 上运动,当 在何处时,有 平面 ,并且说明理由;
(2)当 平面 时,求二面角 的余弦值.
:
解:(1)证明略
(2)建立空间直角坐标系 如图所示,则 , , ,,
……7 分 1 1A BCC B 41 AB ABC 2 AB1 1BCC B1A BC C D AC D //1AB1BDC//1AB1BDC D BC C 1B xyz (0,0,0) B ( 3,1,0) A (0,2,0) C3 3( , ,0)2 2D1 (0,2,2 3)CC1B1BCAA1C 1 B 1DC BA
A 1C 1CAB 1 B所以 , .
……………………………8 分 设 为平面 的法向量,则有 ,即 令 ,可得平面 的一个法向量为 , 而 平 面 的 一 个 法 向 量 为
…所以所 以 二 面 角 的 余 弦 值 为……………13 分
练习、如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱 与正三棱锥 组成,其中, 。它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为 , , 。
(Ⅰ)求直线 与平面 所成角的正弦; (Ⅱ)在线段 上是否存在点 ,使 平面 。若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由。
D
五、课堂小结
1 1 、三视图
2 2 、体积表面积的计算
3 3 、平行与垂直的证明
4 4 、立体几何中求角求距离的向量公式
3 3( , ,0)2 2BD 1(0,2,2 3) BC ) , , (1z y x n 1BDC3 302 22 2 3 0x yy z 33x zy z 1 z1BDC1(3, 3,1) n 1BCC2(1,0,0) n 1 21 21 23 3 13cos ,13 | || | 13n nn nn n D BC C 11313 31 1 1C B A ABC ACD B BC AB 2 2 1 2 2 1 11CA ACD1AC P P B 1 ACDP
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