考点23,,二项分布和正态分布学生版

时间：2020-12-08 20:24:55 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　考点 23

　二项分布和正态分布 [玩前必备] 1．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(X＝k)＝C k n p k (1－p) n－ k (k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量 X 服从二项分布，记为 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率． 2．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 3．正态分布 (1)正态曲线：函数 φ μ ， σ (x)＝22( )21e2πx u，x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ 和 σ 为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数 φ μ ， σ (x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点 ①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称； ③曲线在 x＝μ 处达到峰值1σ 2π ； ④曲线与 x 轴之间的面积为 1； ⑤当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示； ⑥当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

　(3)正态分布的定义及表示 一般地，如果对于任何实数 a，b(a<b)，随机变量 X 满足 P(a<X≤b)＝ʃba φ μ ， σ (x)dx，则称随机变量 X 服从正态分布，记作 X～N(μ，σ 2 )． 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

　①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4. [玩转典例] 题型一 一

　二项分布 例 例 1 （湖南高考）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． （1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； （2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X ，求 X 的分布列和数学期望．

　例 例 2 (广东高考)已知随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，若 E(X)＝30，D(X)＝20，则 p＝________. [玩转跟踪]

　1.为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 40 人，不超过100 km/h 的有 15 人；在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过 100 km/h 的有 25人． (1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过 100 km/h 的人中随机抽取 2 人，求这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员的概率； (2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为 X，求 X 的分布列．

　2.(2019·天津高考)设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 23 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． (1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； (2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率．

　 题型 二

　正态分布 例 例 3 （2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

　（Ⅰ）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差2s （同一组中数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布2( , ) N   ，其中  近似为样本平均数 x ，2 近似为样本方差2s ． ( ) i 利用该正态分布，求 (187.8 212.2) P Z   ； ( ) ii 某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间 (187.8,212.2) 的产品件数，利用 ( ) i 的结果，求 EX ． 附：

　150 12.2  ． 若2~ ( , ) Z N   则 ( ) 0.6826 P Z          ， ( 2 2 ) 0.9544 P Z          ．

　例 例 4 （2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 (0 N ，23 ) ，从中随机抽取一件，其长度误差落在区间 (3,6) 内的概率为 (

　 )

　（ 附 ：

　若 随 机 变 量  服 从 正 态 分 布2( , ) N   ， 则 ( ) 6 8 . 2 6 % P           ，( 2 2 ) 95.44%) P          

　A． 4.56%

　B． 13.59%

　C． 27.18%

　D． 31.74%

　[玩转跟踪]

　1．（2017 新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2( , ) N   ． (1)假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 )       之外的零件数，求( 1) P X ≥ 及 X 的数学期望； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 )       之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：

　9．95 10．12 9．96 9．96 10．01 9．92 9．98 10．04 10．26 9．91 10．13 10．02 9．22 10．04 10．05 9．95 经计算得16119.9716iix x ，16 162 2 21 11 1( ) ( 16 )16 16i ii is x x x x      0.212  ，其中ix 为抽取的第 i 个零件的尺寸， i =1，2，…，16． 用样本平均数 x 作为  的估计值 ˆ  ，用样本标准差 s 作为  的估计值 ˆ  ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计  和 

　(精确到 0．01)． 附：若随机变量 Z 服从正态分布2( , ) N   ，则 ( 3 3 ) P Z         =0．997 4，160.9974 0.9592  ，0.008 0.09  ．

　2.(2020·开封模拟)某商场经营的某种包装的大米质量 ξ(单位：kg)服从正态分布 N(10，σ 2 )，根据检测结果可知 P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有 1 000 名职工，则分发到的大米质量在 9.9 kg 以下的职工数大约为(

　) A．10

　B．20 C．20

　D．40 [玩转练习] 1.（2017 新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，表示抽到的二等品件数，则 DX =

　 ． 2.（2016 四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2次试验中成功次数 X 的均值是

　 ． 3. （2018 全国卷 1）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 ． （2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

　4．（2017 天津）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 . （Ⅰ）设 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 的分布列和数学期望； （Ⅱ）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.

　 ) 1 0 (   p p) (p f ) (p f0p0p pX EX

　5. (2016·全国Ⅰ)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

　以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数． (1)求 X 的分布列； (2)若要求 P(X≤n)≥0.5，确定 n 的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n＝19 与 n＝20 之中选其一，应选用哪个？

　 6．(2020·江西省五校协作体试题)食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为 17 ，第二轮检测不合格的概率为18 ，第三轮检测合格的概率为89 ，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响． (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率； (2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利 400 元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损 200 元，现有 4 箱这种蔬菜，求这 4 箱蔬菜总收益的分布列．

　7.(2020·河北省九校第二次联考)已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为 13 ，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立．假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的．

　(1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率； (2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为 X，求 X 的分布列及数学期望； (3)第三小组进行试验，到成功了四次为止，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率．

　 8.(2020·济南市学习质量评估)某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随机抽取 200 盒作为样本，测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好．由测量结果得到如下频率分布直方图：

　(1)求 a，并试估计这 200 盒产品的该项指标值的平均值． (2)①由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值 ξ 服从正态分布 N(μ，10 2 )，计算该批产品该项指标值落在(180,220]上的概率； ②国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于 150 均为合格，且按该项指标值从低到高依次分为：合格、优良、优秀三个等级，其中(180,220]为优良，不高于 180 为合格，高于 200 为优秀，在①的条件下，设该公司生产该产品 1 万盒的成本为 15 万元，市场上各等级每盒该产品的售价(单位：元)如表，求该公司每万盒的平均利润. 等级 合格 优良 优秀 售价 10 20 30

　附若 ξ～N(μ，δ 2 )，则 P(μ－δ<ξ≤μ＋δ)≈0.682 7，P(μ－2δ<ξ≤μ＋2δ)≈0.954 5.

　9．（2020•广州一模）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了 80 个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：

　) mm ，得到如图的频率分布直方图：

　 （1）根据频率分布直方图，求这 80 个零件尺寸的中位数（结果精确到 0.01) ； （2）若从这 80 个零件中尺寸位于 [62.5 ， 64.5) 之外的零件中随机抽取 4 个，设 X 表示尺寸在 [64.5 ， 65] 上的零件个数，求 X 的分布列及数学期望 EX ； （3）已知尺寸在 [63.0 ， 64.5) 上的零件为一等品，否则为二等品，将这 80 个零件尺寸的样本频率视为概率．现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱 100 个．企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为 99 元．若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付 500 元的赔偿费用．现对一箱零件随机抽检了 11 个，结果有 1 个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由．

　10．（2020•绿园区校级模拟）为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车亭或十字路口处．现从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，他们的年龄情况如表所示． （1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 [30 ， 35) 岁的人数； （2）在抽出的 100 名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加“规范摩的司机的交通意识”培训活动，从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人，记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望． 分组（单位：岁）

　频数 频率 [20 ， 25)

　5 0.05

　[25 ， 30)

　① 0.20 [30 ， 35)

　35 ② [35 ， 40)

　30 0.30 [40 ， 45]

　10 0.10 合计 100 1.00

　11．（2020•眉山模拟）在某社区举行的 2020 迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏，每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分 100 分，没有击中鼓则扣积分 50 分，最终积分以家庭为单位计分．已知张明每次击中鼓的概率为34，王慧每次击中鼓的概率为23；每轮游戏中张明和王慧击中与否互不影响，假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏． （1）若家庭最终积分超过 200 分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少？ （2）张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和  的分布列和数学期望 ( ) E  ．

　12.（2020•九龙坡区模拟）某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准 a ，用电量不超过 a 的部分按平价收费，超出 a 的部分按议价收费．为此，政府调查了

　100 户居民的月平均用电量（单位：度），以 [160 ， 180) ， [180 ， 200) ， [200 ， 220) ， [220 ， 240) ， [240 ，260) ； [260 ， 280) ， [280 ， 300] 分组的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）根据频率分布直方图的数据，求出 x 的值并估计该市每户居民月平均用电量  的值：

　（Ⅱ）现从该市所有居民中随机抽取 3 户，其中月平均用电量介于 [240 ， 280) 的户数为  ，用频率估计概率，求  的分布列及数学期望 ( ) E  ．