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    二元一次方程组解题技巧(6).doc

    时间：2021-02-05 15:13:40 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：方程组 解题 技巧

    　 1

    　一、基本定义：

    　二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是 1 的整式方程，叫二元一次方程。

    　二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。

    　 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

    　二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

    　 二、

    　解的情况：

    　二元一次方程组的解有 三种情况：

    　1.有一组解

    　 如方程组x+y=5①

    　 6x+13y=89②

    　 x=-24/7

    　 y=59/7 为方程组的解

    　2.有无数组解

    　 如方程组 x+y=6①

    　 2x+2y=12②

    　 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

    　3.无解

    　 如方程组 x+y=4①

    　 2x+2y=10②，

    　 因为方程②化简后为

    　 x+y=5

    　 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

    　三、二元一次方程的解法：

    　1 1 、一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

    　消元的方法有两种：

    　1、代入消元法

    　 2、加减消元法

    　3、教科书中没有的几种解法

    　(一)加减-代入混合使用的方法.

    　例：

    　13x+14y=41 (1)

    　14x+13y=40 (2)

    　解:(2)-(1)得

    　 x-y=-1

    　 x=y-1 (3)

    　把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41

    　 y=2

    　把 y=2 代入(3)得 x=1

    　所以:x=1,y=2

    　特点:两方程相加减,单个 x 或单个 y,这样就适用接下来的代入消元.

    　 (二)换元法

    　例 3：

    　x:y=1:4

    　5x+6y=29

    　 四、 列方程（组）解应用题

    　 （一）、其具体步骤是：

    　⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

    　⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

    　⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

    　⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

    　⑸解方程及检验。

    　⑹答案。

    　 （二）、常用的相等关系

    　1． 行程问题（匀速运动）

    　 基本关系：s=vt

    　 ⑴相遇问题(同时出发)：

    　 ⑵追及问题（同时出发）：

    　 ⑶水（风）中航行：

    　 2． 配料问题：溶质=溶液×浓度

    　 溶液=溶质+溶剂

    　3．增长率问题：

    　4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。5. 数字表示问题：如，一个三位数，百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为

    　c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是 abc

    　5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。

    　 2

    　 二元一次方程组练习题

    　(6)

    　一、选择：

    　1、任何一个二元一次方程都有（

    　 ）

    　（ A ）一个解； （ B ）两个解；（ C ）三个解；（ D ）无数多个解； 2、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为 6，那么符合条件的两位数的个数有（

    　 ）（ A ）5 个 （ B ）6 个 （ C ）7 个 （ D ）8 个 3、如果  4 2 3 y xa y x的解都是正数，那么 a 的取值范围是（

    　）

    　（ A ）

    　a <2；

    　（ B ）34  a ； （ C ）342    a ； （ D ）34  a ； 4、关于 x 、 y 的方程组  m y xm y x93 2的解是方程 3 x +2 y =34 的一组解，那么 m 的值是（

    　 ）（ A ）2；

    　 （ B ）-1；

    　（ C ）1；

    　（ D ）-2；

    　5、下列方程组中，是二元一次方程组的是（

    　）

    　（ A ）  91 14y xy x （ B ）  75z yy x

    　（ C ） 6 2 31y xx （ D ）  1 y xxy y x 6、已知方程组   1 35b y axy x有无数多个解，则 a 、 b 的值等于（

    　）

    　（ A ）

    　a =-3, b =-14 （ B ）

    　a =3, b =-7 （ C ）

    　a =-1, b =9 （ D ）

    　a =-3, b =14 7、若 5 x -6 y =0，且 xy ≠0，则y xy x3 54 5的值等于（

    　 ）

    　（ A ）32

    　 （ B ）23

    　 （ C ）1

    　 （ D ）-1

    　8、若|3 x + y +5|+|2 x -2 y -2|=0，则 2 x 2 -3 xy 的值是（

    　）

    　（ A ）14

    　 （ B ）-4

    　 （ C ）-12

    　 （ D ）12

    　三、填空：

    　9、在方程 3 x +4 y =16 中，当 x =3 时， y =________，当 y =-2 时， x =_______

    　 若 x 、 y 都是正整数，那么这个方程的解为___________； 10、方程 2 x +3 y =10 中，当 3 x -6=0 时， y =_________； 11、如果 0.4 x -0.5 y =1.2，那么用含有 y 的代数式表示的代数式是_____________； 12、若 11yx是方程组   1 2 42a y xb y ax的解，则______________ba； 13、方程| a |+| b |=2 的自然数解是_____________； 14、如果 x =1， y =2 满足方程 141  y ax ，那么 a =____________； 15、已知方程组   m y xay x2 6 43 2有无数多解，则 a =______， m =______； 16、若方程 x -2 y +3 z =0，且当 x =1 时， y =2，则 z =______； 17、若 x + y = a ， x - y =1 同时成立，且 x 、 y 都是正整数，则 a 的值为________； 18、从方程组 ) 0 (0 30 3 3 4    xyzz y xz y x中可以知道， x : z =_______； y : z =________；

    　四、解方程组 19、 ) (6 4 411 2 5为已知数 aa y xa y x  ；

    　 20、1254 32y xy x y x；

    　21、      0 ) 1 (2 ) 1 ( ) 1 (2x y x xx y y x

    　22、 6253) 2 3 ( 22) 3 2 ( 3252 323 3y x y xy x y x；

    　 3

    　 □x+5y=13

    　①

    　4x-□y=-2 ②

    　23、       35 3 513 4 3z y xz y xz y x；

    　24、  30 3 25 : 3 :7 : 4 :z y xz xy x；

    　五、解答题：

    　25、甲、乙两人在解方程组

    　时，甲看错了①式中的 x 的系数，

    　解得475847107yx；乙看错了方程②中的 y 的系数，解得19177681yx，若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解；

    　26、使 x +4 y =| a |成立的 x 、 y 的值，满足(2 x + y -1) 2 +|3 y - x |=0，又| a |+ a =0，求 a的值；

    　 27、代数式 ax 2 + bx + c 中，当 x =1 时的值是 0，在 x =2 时的值是 3，在 x =3 时的值是 28，试求出这个代数式；

    　28、当 a 、 b 满足什么条件时，方程(2 b 2 -18) x =3 与方程组   5 2 31b y xy ax都无解；

    　29、 a 、 b 、 c 取什么数值时， x 3 - ax 2 + bx + c 与( x -1)( x -2)( x -3)恒等？

    　 30、 m 取什么整数值时，方程组  0 24 2y xmy x的解：

    　（1）是正数；

    　（2）是正整数？并求它的所有正整数解。

    　 4

    　 六、列方程（组）解应用题 31、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶 45 千米，就要延误 30 分钟到达；若每小时行驶 50 千米，那就可以提前 30 分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？

    　 32、某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐 68 个，扁担 40 根，问这个班的男女生各有多少人？

    　 33、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑 10 米，那么甲跑 5 秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑 2 秒钟，那么甲跑 4 秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？

    　34、甲桶装水 49 升，乙桶装水 56 升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的31，求这两个水桶的容量。

    　 35、甲、乙两人在 A 地，丙在 B 地，他们三人同时出发，甲与乙同向而行，丙与甲、乙相向而行，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 110 米，丙每分钟走 125 米，若丙遇到乙后 10 分钟又遇到甲，求 A 、 B 两地之间的距离。

    　36、有两个比 50 大的两位数，它们的差是 10，大数的 10 倍与小数的 5 倍的和的201是 11 的倍数，且也是一个两位数，求原来的这两个两位数。

    　 5

    　 二元一次方程组 测试题

    　 一、选择题：

    　1．下列方程中，是二元一次方程的是（

    　）

    　 A．3x－2y=4z

    　 B．6xy+9=0

    　 C．1x+4y=6

    　 D．4x=24y  2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（

    　）

    　 A．228 4 2 3 119. . .2 3 7 5 4 6 2 4x y x y a bxB C Dx y b c y x x y                      3．二元一次方程 5a－11b=21

    　（

    　）

    　 A．有且只有一解

    　B．有无数解

    　C．无解

    　 D．有且只有两解 4．方程 y=1－x 与 3x+2y=5 的公共解是（

    　）

    　 A．3 3 3 3. . .2 4 2 2x x x xB C Dy y y y                     5．若│x－2│+（3y+2）

    　2 =0，则的值是（

    　）

    　 A．－1

    　B．－2

    　 C．－3

    　D．32 6．方程组4 32 3 5x y kx y   的解与 x 与 y 的值相等，则 k 等于（

    　）

    　7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（

    　）

    　 ①xy+2x－y=7；

    　②4x+1=x－y；

    　③1x+y=5； ④x=y；

    　⑤x 2 －y 2 =2

    　 ⑥6x－2y

    　⑦x+y+z=1

    　⑧y（y－1）=2y 2 －y 2 +x

    　 A．1

    　B．2

    　C．3

    　 D．4 8．某年级学生共有 246 人，其中男生人数 y 比女生人数 x 的 2 倍少 2 人，•则下面所列的方程组中符合题意的有（

    　）

    　 A．246 246 216 246. . .2 2 2 2 2 2 2 2x y x y x y x yB C Dy x x y y x y x                        

    　 二、填空题

    　9．已知方程 2x+3y－4=0，用含 x 的代数式表示 y 为：y=_______；用含 y 的代数式表示 x 为：x=________． 10．在二元一次方程－12x+3y=2中，当x=4时，y=______；当y=－1时，x=______． 11．若 x 3m－3 －2y n－1 =5 是二元一次方程，则 m=_____，n=______． 12．已知2,3xy  是方程 x－ky=1 的解，那么 k=_______． 13．已知│x－1│+（2y+1）

    　2 =0，且 2x－ky=4，则 k=_____． 14．二元一次方程 x+y=5 的正整数解有______________． 15．以57xy 为解的一个二元一次方程是_________． 16．已知2 31 6x mx yy x ny         是方程组 的解，则 m=_______，n=______．

    　三、解答题

    　17．当 y=－3 时，二元一次方程 3x+5y=－3 和 3y－2ax=a+2（关于 x，y 的方程）有相同的解，求 a 的值．

    　 18．如果（a－2）x+（b+1）y=13 是关于 x，y 的二元一次方程，则 a，b 满足什么条件？

    　 6 19．二元一次方程组4 3 7( 1) 3x ykx k y    的解 x，y 的值相等，求 k．

    　 20．已知 x，y 是有理数，且（│x│－1）

    　2 +（2y+1）

    　2 =0，则 x－y 的值是多少？

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