佛山市2020届普通高中高三教学质量检测（一）数理

时间：2021-01-14 20:25:30 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　佛山市2020 届普通高中高三教学质量检测（一）

　数 数 学（理科）

　本试卷分第Ⅰ Ⅰ卷(选择题)和第 Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项：

　1.

　答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目． 2.

　选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3.

　非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4.

　请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 第 Ⅰ卷 卷( 选择题 共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数i 2 1i 5对应的点位于（

　）

　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2 ． 已知集合 A   x x 2  x  2  0  ， B   x | x | 1  ，则 A∩B  （

　）

　A． (2, 1)

　B． (1,1)

　C． (0,1)

　D． (1, 2) 3 ． 已知 x, y  R ，且 x  y  0 ，则（ ）

　A ． cos x  cos y  0

　B ． cos x  cos y  0

　 C． ln x  ln y  0

　D． ln x  ln y  0 4 ． 函数 f (x)的图像向左平移一个单位长度，所得图像与 y  e x 关于 y 轴对称，则 f (x)  （

　 ）

　A ．1e x

　B ．1e x

　 C ．1e x

　D ．1e x 5 ． 希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一 个 “中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个 “中心三角形”，我 们用白色代表挖去的面积，那么黑三角 形为剩下的面积（我们称黑三角形为希 尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正 三角形中随机取点，则落在黑色区域的 概率为（

　 ）

　A ．53

　 B ．169

　C ．167

　 D ．52 6 ． 已知等比数列  na 满足 24 , 363 1 2 1    a a a a ，则使得na a a 2 1取得最大值的n为（

　）

　A． 3 B． 4 C． 5

　D． 6 7 ． 已知 a 为锐角，53cos  a ，则 2 4tana （

　 ）

　A ．31

　 B ．21

　 C ．2

　D ． 3

　8 ． 已知双曲线C: 12222 byax，O为坐标原点，直线 a x  与双曲线C的两条渐近线交于A, B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（

　）

　A ． 1322  yx

　B ． 1322 yx

　C ． 14 122 2 y x

　 D ． 112 42 2 y x 9． 地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．

　根据以上信息，正确的统计结论是（

　 ）

　A．截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值 B．10 年来全球新增装机容量连年攀升 C．10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW D．截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过31 10．已知函数 1 21 21) (   x x fx，且 3 ) 2 ( ) (2  a f a f ，则 a 的取值范围是（

　）

　A． ) , 1 ( ) 3 , (    

　B． ) , 0 ( ) 2 , (    

　C．(－2，0)

　D．(－1，3) 11． 已知函数 f (x)  sin x  sin(πx)，现给出如下结论：

　① f (x)是奇函数；

　 ②

　f (x)是周期函数； ③

　f (x) 在区间 (0, π) 上有三个零点；

　 ④ f (x) 的最大值为 2. 其中正确结论的个数为（

　 ）

　A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 12． 已知正三棱柱 ABC  A 1 B 1 C 1 的侧棱长为 4 ，底面边长为 2 ，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA 1 , BB 1 ,CC 1 分别交于点 M , N , Q ，若△ MNQ 为直角三角形，则△ MNQ 面积的最大值为（

　 ）

　A． 3 B． 10

　C． 17

　D． 3 2

　第 Ⅱ卷 卷( 非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 ～21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答．第22 ～23 为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分． 13 ． 从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有

　 种．（用数字作答）

　14． 在△ ABC 中， AB  2 ， AC  3 ， P 是边 BC 的垂直平分线上一点，则 BC AP 

　 .

　15 ． 函数 f (x)  ln x 和 g(x)  ax 2

　 x 的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相同，则这条切 线方程为

　 . 16 ． 在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x 1  0的距离与该点到点O的距离之 和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是

　 ；设点A  0 ,45，则 PA PO  的最小 值为

　 .

　三、解答题：本大题共7 小题，共70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17 ． (本小题满分12分) 绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展.景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁.该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立. （1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？

　18 ． (本小题满分12分) 在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 已知 a sin B  b sin )3( A . （1）求A; （2）D 是线段 BC 上的点，若 AD  BD  2 ， CD  3 ，求△ ADC 的面积.

　19 ． (本小题满分12分) 已知椭圆 C : ) 0 ( 12222    b abyax的离心率为21，点A 23, 1 在椭圆C上，直线l 1 过椭圆C的右焦点与上顶点，动直线 kx y l  :2与椭圆C交于M 、 N两点，交l 1 于P点. （1）求椭圆C的方程； （2）已知O为坐标原点，若点P满足 MN OP41 ，求此时 MN 的长度.

　20．(本小题满分12分) 如图，三棱锥 P  ABC 中，平面 PAB  平面 ABC ， PA  PB ，APB  ACB  90  ，点 E, F 分别是棱 AB, PB 的中点，点G 是△ BCE 的重心． （1）证明：

　GF / / 平面 PAC ； （2）

　若 GF 与平面 ABC 所成的角为 60  ，求二面角 BAPC 的余弦值.

　 21 ．( 本小题满分12分) 已知函数 f (x)  1  x  2 sin x, x  0. （1）求 f (x) 的最小值； （2）证明：xx f2e ) ( .

　 请考生在第 22 ，23 ． 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号． 22 ． (本小题满分10分)[选修4  4 :坐标系与参数方程选讲] 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为m ym x442(m为参数). （1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）已知倾斜角互补的两条直线2 1 ,ll ，其中1l 与C交于A ， B两点，2l 与C交于M ， N两点，1l 与2l 交于点  0 0 ,yx P ，求证：

　PN PM PB PA    .

　23 ． (本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲] 已知函数 1 ) (     x a x x f . （1）若 2 ) (  a f ，求 a 的取值范围； （2）当 ] , [ k a a x   时，函数 ) (x f 的值域为[1,3]，求k的值.

　数学（理科）参考答案

　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C A B B D A D B B C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13． 60

　 14．25

　15． 1   x y

　16．47), 1 , 0 ( 

　三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17． 【解析】(1)当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的可能性为0.7，设每个游客的利润为1Y （元），则1Y 是随机变量，其分布列为：

　1Y

　15 -5 P 0.3 0.7 „„„„„„„„1分 1 7 . 0 5 3 . 0 15 ) (1     Y E 元，则5000个游客的平均利润为5000元； „„„„„„„2分 当收费为10元时，照片被带走的可能性为 8 . 0 10 05 . 0 3 . 0    ，不被带走的可能性为0.2，设每 个游客的利润为2Y (元)，则2Y 是随机变量，其分布列为：

　2Y

　5 -5 P 0.8 0.2 „„„„„„„„4分 3 2 . 0 5 8 . 0 5 ) (2     Y E 元，则5000个游客的平均利润为15000元； „„„„„„5分 该项目每天的平均利润比调整前多10000元.

　„„„„„„„„6分 (2)设降价 x 元，则 15 0   x ，照片被带走的可能性为 x 05 . 0 3 . 0  ，不被带走的可能性为 x 05 . 0 7 . 0  ，设每个游客的利润为 Y (元)，则 Y 是随机变量，其分布列为：

　Y

　15－ x

　-5 P 0.3＋0.05 x

　0.7－0.05 x

　„„„„„„„„8分 ] ) 7 ( 69 [ 05 . 0 ) 05 . 0 7 . 0 ( 5 ) 05 . 0 3 . 0 ( ) 15 ( ) (2          x x x x Y E

　„„„„10分 当 7  x 时， ) (Y E 有最大值3.45元， 即当定价为13元时，日平均利润为17250元. 18． 【解析】(1)由正弦定理，可得 A b B a sin sin  .

　„„„„„„„„1分

　则有  A A b A b cos23sin21sin ，化简得 A A cos23sin21  . „„„„„„3分 即 3 tan   A ， ) , 0 (   A  ，则32  A .

　 „„„„„„„„5分 (2)设   3, 0 ,  B ， 由题意得   BAD ，  2  ADC ，   32DAC ，   3ACD . „„6分 在 ADC  中，ACDADDACCD sin sin，则 3sin232sin3. „„„„7分     sin21cos232sin21cos233 ，得   cos53sin  . „„„„„„8分 结合 1 cos sin2 2    ，可得1421sin   ，147 5cos   .

　„„„„„„„„9分 则143 5cos sin 2 2 sin      .

　„„„„„„„„10分 143 1543 53 221sin21         ADC CD AD SADC.

　„„„„„„„„l2分 19． 【解析】(1)由题意得21 ace ， 1231222b a，结合2 2 2c b a   ， 解得 42 a ， 32 b ， 1  c .

　 „„„„„„„„3分 故所求椭圆 C 的方程为 13 42 2 y x.

　 „„„„„„„„4分 (2)易知定直线1l 的方程为 0 3 3    y x .

　 „„„„„„„„5分 联立 13 42 2y xkx y，整理得 12 ) 4 3 (2 2  x k ，解得24 312kx  ， 无妨令 M 点坐标为 2 24 312,4 312kkk.

　 „„„„„„„„7分

　| |41| | MN OP   ，由对称性可知，点 P 为 OM 的中点， 故 P 点坐标为 24 312,24 3122 2kkk.

　„„„„„„„„8分 又 P 在直线 0 3 3 :1   y x l 上，故 0 324 31224 31232 2 kkk， 解得33 2, 02 1  k k .故 M 点坐标为 ) 0 , 2 ( 或53 4,56.

　„„„„„„„„10分 所以 2 | |  OM 或521 2，所以 | | MN 的长度为 4 或521 4.

　„„„„„„„„12分 20． 【解析】(1)连接 EF ，连接 EG 并延长交 BC 于点 D ，则点 D

　为 BC 的中点，从而点 F E D , , 分别是棱 PB AB CB , , 的中点， AC DE //  ， AP EF // .

　„„„„„„„„1分 又   EF DE, 平面 PAC ，  AP AC, 平面 PAC . // DE  平面 PAC ， // EF 平面 PAC . „„„„„„„„2分 又  EF DE, 平面 EFG ， E EF DE   ，  平面 // EFG 平面 PAC .

　 „„„„„„„„3分 又  GF 平面 EFG ， // GF  平面 PAC .

　„„„„„„„„4分 (2)连接 PE ， PB PA   ， E 是 AB 的中点， AB PE   ，  平面  PAB 平面 ABC ，平面  PAB 平面 AB ABC  ，  PE 平面 PAB ，  PE 平面 ABC . „„„„„„„„6分 连接 CG 并延长交 BE 于点 O ，则 O 为 BE 的中点，连接 OF ，则 PE OF // ，  OF 平面 ABC . FGO   为 GF 与平面 ABC 所成的角，即60  FGO .

　„„„„„„„„7分 在Rt FGO  中，设 2  GF ，则 1  OG ， 3  OF ， 3  OC ， 3 2  PE . 3 4  AB ， 3 2  CE ， 3  OE ，2 2 2CE OC OE    ，即 AB OC  . „„8分 如图建立空间直角坐标系 xyz O ，则 ) 0 , 3 3 , 0 (  A ， ) 0 , 0 , 3 ( C ， ) 3 2 , 3 , 0 (  P ， ) 0 , 3 3 , 3 (  AC ， ) 3 2 , 3 2 , 0 (  AP ，设平面 PAC 的一个法向量为 ) , , (1z y x n  ， 则由      0 3 2 3 20 3 3 311z y AC ny x AP n，可取 ) 1 , 1 , 3 (1  n .

　 „„„„„„„„10分 又平面 PAB 的一个法向量可取 ) 0 , 0 , 1 (2 n .

　 „„„„„„„„11分

　则51553| || |, cos2 12 12 1  n nn nn n ，所以二面角 C AP B   的余弦值为515.„12分 21． 【解析】(1) x x f cos 2 1 ) ( "   ，令 0 ) ( "  x f ，得21cos  x .

　„„„„„„„„1分 故在区间 ] , 0 [  上， ) ( " x f 的唯一零点是3 x .

　 „„„„„„„„2分 当 3, 0x 时， 0 ) ( "  x f ， ) (x f 单调递减； 当 ,3x 时， 0 ) ( "  x f ， ) (x f 单调递增.

　 „„„„„„„„3分 故在区间 ] , 0 [  上， ) (x f 的极小值为 3313     f .

　„„„„„„„„4分 当   x 时，      31 2 1 ) (  f x f ， 所以 ) (x f 的最小值为 3313     f .

　„„„„„„„„5分 (2)要证：

　0  x 时，xe x f2) ( ，即证：

　0  x 时， 1 ) sin 2 1 ( ) (2   xe x x x g .„6分 x x xe x x x e x e x x x g2 2 2) cos 2 sin 4 2 3 ( ) cos 2 1 ( ) sin 2 1 ( 2 ) ( "          . „„„7分 令 x x x h sin ) (   ， 0  x ，则 0 cos 1 ) ( "    x x h ，即 ) (x h 是 ) , 0 (  上的增函数. 0 ) 0 ( ) (    h x h ，即 x x sin  .

　„„„„„„„„9分 04sin 2 2 3 ) cos (sin 2 3 cos 2 sin 4 sin 2 3 cos 2 sin 4 2 3               x x x x x x x x x 0 ) cos 2 sin 4 2 3 ( ) ( "2     xe x x x x g .

　 „„„„„„„„11分 即 ) (x g 是 ) , 0 (  上的增函数， 1 ) 0 ( ) (   g x g ，故当 0  x 时，xe x f2) ( .„„„12分 22． 【解析】(1)由 m y 4  ，得4ym  ，代入24m x  ，得42yx  ，即 x y 42 .

　„„„2分 C  的普通方程为 x y 42 ，表示开口向右，焦点为 ) 0 , 1 ( F 的抛物线. „„„„„„4分 (2)设直线1l 的倾斜角为  ，直线2l 的倾斜角为    ，

　则直线1l 的参数方程为  sincos00t y yt x x（ t 为参数）.

　 „„„„„„„„5分 与 x y 42 联立得 0 4 ) cos 4 sin 2 ( sin020 02 2     x y t y t    .„„„„„„„„6分 设方程的两个解为2 1 ,tt ，则20202 1sin4x yt t .

　 „„„„„„„„7分 |sin4| | | | | | | | |20202 1x yt t PB PA     .

　 „„„„„„„„8分 则 |sin4| |) ( sin4| | | | |20202020  x y x yPN PM  .

　 „„„„„„„„9分 | | | | | | | | PN PM PB PA     .

　 „„„„„„„„10分 23． 【解析】(1) 2 | 1 | ) (    a a f ，得 2 1 2     a .

　„„„„„„„„2分 即 3 1    a ， a  的取值范围是 ) 3 , 1 ( .

　„„„„„„„„4分 (2)当 1  a 时，函数 ) (x f 在区间 ] , [ k a a  上单调递增.

　 „„„„„„„„5分 则 1 1 ) ( )] ( [min    a a f x f ，得 2  a . 3 1 2 ) ( )] ( [max      k a k a f x f ，得 1  k .

　„„„„„„„„6分 当 1  a 时，       a x a xx a ax a xx f, 1 21 , 11 , 1 2) ( .

　„„„„„„„„8分 则 1 1 ) ( )] ( [min    a a f x f ，得 0  a . 3 1 2 ) ( )] ( [max      k a k a f x f ，得 2  k .

　„„„„„„„„9分 综上所述， k 的值为1或2.

　„„„„„„„„10分