方法技巧专题21,排列组合与二项式定理(原卷版)
方法技巧专题 21 排列组合与二项式定理 学生篇
一、
排列组合与二项式定理知识框架
二、与排列相关的常见问题
【一】特殊元素、特殊位置的排列问题
1.例题 【例 1】有 8 名学生排成一排,求分别满足下列条件的排法种数,要求列式并给出计算结果. (1)甲不在两端; (2)甲、乙相邻; (3)甲、乙、丙三人两两不得相邻; (4)甲不在排头,乙不在排尾。
【例 2】毕业季有 6 位好友欲合影留念,现排成一排,如果:
(1)
A 、 B 两人不排在一起,有几种排法? (2)
A 、 B 两人必须排在一起,有几种排法? (3)
A 不在排头, B 不在排尾,有几种排法?
2.巩固提升综合练习 【练习 1】用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的自然数. (Ⅰ)在组成的三位数中,求所有偶数的个数; (Ⅱ)在组成的三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如 301,423 等都是“凹数”,试求“凹数”的个数;
【练习 2】7 个人排成一排,按下列要求各有多少种排法? 其中甲不站排头,乙不站排尾; 其中甲、乙、丙 3 人两两不相邻; 其中甲、乙中间有且只有 1 人; 其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列
【二】相邻元素的排列问题
1.例题 【例 1】7 人排成一排 (1)甲、乙、丙排在一起,共有多少种排法? (2)甲、乙相邻,丙、丁相邻,共有多少种排法? (3)甲、乙、丙排在一起,且都不在两端,共有多少种排法? (4)甲、乙、丙排在一起,且甲在两端,共有多少种排法? (5)甲、乙之间恰有 2 人,共有多少种排法? (6)甲、乙之间是丙,共有多少种排法?
2.巩固提升综合练习 【练习 1】有 8 本互不相同的书,其中数学书 3 本,英语书 3 本,语文书 2 本,若将这些书排成一列放在书架上,则数学书恰好排在一起,英语书也恰好排在一起的排法共有______种.(用数值回答)
【练习 2】A , B , C , D , E , F 六人围坐在一张圆桌周围开会,A 是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅
子,B , C 二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的座次有(
)
A.60 种 B.48 种 C.30 种 D.24 种 【练习 3】“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一位,且“智信”相邻的概率为(
)
A.110 B.15 C.310 D.25 【练习 4】某小区有排成一排的 8 个车位,现有 5 辆不同型号的轿车需要停放,则这 5 辆轿车停入车位后, 剩余 3 个车位连在一起的概率为_______(结果用最简分数表示).
【三】不相邻元素的排列问题
1.例题 【例 1】】7 人排成一排 (1)甲、乙、丙互不相邻,共有多少种排法? (2)甲、乙相邻,丙、丁不相邻,共有多少种排法? (3)甲、乙不相邻,丙、乙不相邻,共有多少种排法?
【例 2】老况、老王、老顾、小周、小郭和两位王女士共 7 人要排成一排拍散伙纪念照. (1)若两位王女士必须相邻,则共有多少种排队种数? (2)若老王与老况不能相邻,则共有多少种排队种数? (3)若两位王女士必须相邻,若老王与老况不能相邻,小郭与小周不能相邻,则共有多少种排队种数?
2.巩固提升综合练习 【练习 1】某大型联欢会准备从含甲、乙的 6 个节目中选取 4 个进行演出,要求甲、乙 2 个节目中至少有一个参加,且若甲、乙同时参加,则他们演出顺序不能相邻,那么不同的演出顺序的种数为(
)
A.720 B.520 C.600 D.264 【练习 2】有红色、黄色小球各两个,蓝色小球一个,所有小球彼此不同,现将五球排成一行,颜色相同者不相邻,不同的排法共有(
)种 A.48 B.72 C.78 D.84 【练习 3】2019 年 11 月 5 日,第二届中国国际进口博览会在国家会展中心(上海)开幕,共有 155 个国 家和地区,26 个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动,每个企业一个 展位.在排成一排的 6 个展位中,甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种. 【练习 4】现有 5 个不同编号的小球,其中黑色球 2 个,白色球 2 个,红色球 1 个,若将其随机排成一列,则相同颜色的球都不相邻的概率是______.
【四】含定序元素的排列问题
1.例题 【例 1】4 男 3 女排成一排,且 4 男不等高,4 男自左向右从高到矮的顺序排列,有多少种排法?
【例 2】某工程队有 5 项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后立即进行那么安排这 5 项工程的不同排法种数是_____________.(用数字作答)
2.巩固提升综合练习 【练习 1】用 1,2,3,4,5,6,7 排出无重复数字的七位数,按下述要求各有多少个? (1)偶数不相邻; (2)偶数一定在奇数位上; (3)1 和 2 之间恰夹有一个奇数,没有偶数;
(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.
【练习 2】7 人站成一排. (1)甲必须在乙的前面(不一定相邻),则有多少种不同的排列方法; (2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻),则有多少不同的排列方法.
三、与组合相关的常见问题
【一】有限制条件的抽( ( 选) ) 取问题
1.例题
【例 1】某市工商局对 35 种商品进行抽样检查,已知其中有 15 种假货.现从 35 种商品中选取 3 种. (1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (4)至少有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (5)至多有 2 种假货在内,不同的取法有多少种?
【例 2】10 双互不相同的袜子混装在一只口袋中,从中任意抽取 4 只,求各有多少种情况出现如下结果. (1)4 只袜子没有成双; (2)4 只袜子恰好成双; (3)4 只袜子 2 只成双,另两只不成双.
2.巩固提升综合练习 【练习 1】男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 人,选派 5 人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法. (1)任选 5 人 (2)男运动员 3 名,女运动员 2 名 (3)至少有 1 名女运动员 (4)队长至少有一人参加 (5)既要有队长,又要有女运动员
【练习 2】从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加座谈会,问:
(1)如果 4 人中男生和女生各选 2 人,有多少种选法? (2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内,有多少种选法? (3)如果 4 人中必须既有男生又有女生,有多少种选法?
【二】分组分配问题
1.例题 【例 1】按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; (3)平均分成三份,每份 2 本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本; (5)分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本;
【例 2】将 6 个相同的小球放入 4 个编号为 1,2,3,4 的盒子,求下列方法的种数. (1)每个盒子都不空; (2)恰有一个空盒子; (3)恰有两个空盒子.
2.巩固提升综合练习
【练习 1】按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; (3)平均分成三份,每份 2 本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本; (5)分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本; (7)甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本.
【练习 2】某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有(
) A.4 种
B.10 种
C.18 种
D.20 种 【练习 3】(2018·黑龙江鹤岗一中高二月考(理))按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答) (1) 6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子; (2) 6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子,每个盒子至少一个小球; (3) 6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子,每个盒子至少一个小球; (4) 6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子,恰有 1 个空盒.
.
四 、排列与组合综合问题
1.例题 【例 1】在某大型活动中,甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A , B , C , D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (3)求五名志愿者中仅有一人参加 A 岗位服务的概率.
【例 2】用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的自然数. (1)在组成的五位数中,所有奇数的个数有多少? (2)在组成的五位数中,数字 1 和 3 相邻的个数有多少? (3)在组成的五位数中,若从小到大排列,30124 排第几个?
2.巩固提升综合练习 【练习 1】(1)
, , , , A B C D E 五人站一排, B 必须站 A 右边,则不同的排法有多少种; (2)晚会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又加了 2 个节目,若将这 2 个节目插入原节目单中,则不同的插法有多少种. (3)有四个编有 1、2、3、4 的四个不同的盒子,有编有 1、2、3、4 的四个不同的小球,现把小球放入盒子里. ①小球全部放入盒子中有多少种不同的放法; ②恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法; ③恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法.
【练习 2】有 4 个不同的球,4 个不同的盒子,现在要把球全部放入盒内. (1)共有几种放法? (2)恰有一个盒不放球,共有几种放法?
五 、二项式定理
【一】通项及二项式系数
1.例题 【例 1】在二项式521xx 的展开式中,含4x 的项的系数是
。
(2)二项式8 31( )2xx 的展开式的常数项是___________. (3)在二项式2 52( ) xx 的展开式中, x 的系数为
。
【例 2】(1)
422 1 x x x 的展开式中 x 项的系数为(
)
A. 9
B. 5
C. 7
D. 8
(2)(2019·重庆八中高三月考(理))
52 x y x y 的展开式中3 3x y 的系数为(
)
A. 10
B. 20
C.、 30
D. 40
2.巩固提升综合练习 【练习 1】61xx 展开式中的常数项为______. 【练习 2】2 42( ) xx 展开式中含5x 的项的系数为(
)
A. 8
B. 8
C. 4
D. 4
【练习 3】二项式11(3 1) x 的二项展开式中第 3 项的二项式系数为________. 【练习 4】
481 2 14yx 的展开式中2 2x y 的系数是(
)
A.58 B.62 C.52 D.42 【练习 5】
32 x y x y 的展开式中3x y 的系数为_____ .
【二】二项式系数和问题
1.例题
【例 1】若2 70 1 2 77( ) (1 2 ) f x x a a x a x a x . 求:(1)0 1 7a a a ; (2)1 3 5 7a a a a ; (3)0 1 2 7a a a a .
【例 2】在二项式9) 3 2 ( y x的展开式中,求:
(1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和.
2.巩固提升综合练习 【练习 1】设2013 2 20130 1 2 2013(1 2 ) ( R) x a a x a x a x x . (1)求1 2 2013a a a 的值; (2)求1 3 5 2013a a a a 的值; (3)求0 1 2 2013a a a a 的值
【练习 2】
我设(2- 3 x )100 = a0 + a 1 x + a 2 x2 +„+ a100 · x100 , 求下列各式的值.
(1)求 a 0 ; (2) a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +„+ a 100 ;
(3) a 1 + a 3 + a 5 +„+ a 99 ; (4)( a 0 + a 2 +„+ a 100 )2 -( a1 + a 3 +„+ a 99 )2 ; (5)| a 0 |+| a 1 |+„+| a 100 |.
【三】系数的最值问题
1.例题 【例 1】已知二项式3312nxx 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列. (1)求正整数 n 的值; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中系数最大的项.
2.巩固提升综合练习
【练习 1】(2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考)在822( ) xx 的展开式中, (1)求展开式中所有的有理项; (2)展开式中系数的绝对值最大的项是第几项?并求系数最大的项和系数最小的项
【练习 2】
我 已知1( 2 )4nx 的展开式前三项的三项式系数的和等于 37 ,求:
(1)展开式中二项式系数最大的项的系数. (2)展开式中系数最大的项.
六 、课后自我检测
1.一个口袋里装有 7 个白球和 1 个红球,从口袋中任取 5 个球. (1)共有多少种不同的取法? (2)其中恰有一个红球,共有多少种不同的取法? (3)其中不含红球,共有多少种不同的取法?
2.把 6 本不同的书,全部分给甲,乙,丙三人,在下列不同情形下,各有多少种分法?(用数字作答)
(Ⅰ)甲得 2 本; (Ⅱ)每人 2 本; (Ⅲ)有 1 人 4 本,其余两人各1 本.
3.一次游戏有 10 个人参加,现将这 10 人分为 5 组,每组两人。
(1)若任意两人可分为一组,求这样的分组方式有多少种? (2)若这 10 人中有 5 名男生和 5 名女生,要求各组人员不能为同性,求这样的分组方式有多少种? (3)若这 10 人恰为 5 对夫妻,任意两人均可分为一组,问分组后恰有一对夫妻在同组的概率是多少?
4.从 8 名运动员中选 4 人参加 4 100 米接力赛,在下列条件下,各有多少种不同的排法? (1)甲、乙两人必须入选且跑中间两棒; (2)若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒; (3)若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒; (4)甲不在第一棒.
5.有 8 名学生排成一排,求分别满足下列条件的排法种数,要求列式并给出计算结果. (1)甲不在两端; (2)甲、乙相邻; (3)甲不在排头,乙不在排尾;
(4)甲、乙两人之间有且只有 1 人.
6.在班级活动中,4 名男生和 3 名女生站成一排表演节目:(写出必要的数学式,结果用数字..作答)
(1)三名女生不能相邻,有多少种不同的站法? (2)四名男生相邻有多少种不同的排法? (3)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的排法? (4)甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法?(甲乙丙三位同学身高互不相等)
(5)从中选出 2 名男生和 2 名女生表演分四个不同角色朗诵,有多少种选派方法?
(6)现在有 7 个座位连成一排,仅安排 4 个男生就坐,恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种?
7.现有 5 名男生和 3 名女生站成一排照相, (1)3 名女生站在一起,有多少种不同的站法? (2)3 名女生次序一定,但不一定相邻,有多少种不同的站法? (3)3 名女生不站在排头和排尾,也互不相邻,有多少种不同的站法? (4)3 名女生中, A , B 要相邻, A , C 不相邻,有多少种不同的站法?
8.从 1 到 7 的 7 个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数. 试问:(1)能组成多少个不同的五位偶数? (2)五位数中,两个偶数排在一起的有几个?
(3)两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个?(所有结果均用数值表示)
9.现有 4 个不同的球,和 4 个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)共有多少种不同的方法? (2)若每个盒子不空,共有多少种不同的方法? (3)若恰有一个盒子不放球,共有多少种放法? (4)若恰有两个盒子不放球,共有多少种放法?
10.51( 3) x xx 展开式中含 x 的项的系数为(
)
A.-112 B.112 C.-513 D.513 11. 6211 1 xx 展开式中2x 的系数为(
)
A.15 B.20 C.30 D.35 12. 52 3 4 50 1 2 3 4 51 3 + + + + = + x a a x a x a x a x a x ,求0 1 2 3 4 5+ = + + + + a a a a a a
(
)
A.1024 B.243 C.32 D.24 13.二项式 6210 mx mx 的展开式中常数项为 60,则 m (
)
A.2
B.3
C.2 D.3 14. 131 x 的展开式中,系数最小的项为(
)
A.第 6 项 B.第 7 项 C.第 8 项 D.第 9 项 15.设5 2 50 1 2 5(2 ) x a a x a x a x ,那么0 2 41 3 5a a aa a a 的值为(
)
A.244241
B.122121
C.6160
D.-1 16.我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就,在“杨辉三角”中,第 n 行的所有数字之和为12 n ,若去除所有为 1 的项,依次构成数列 2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,„,则此数列的前 15 项和为(
)
A.110 B.114 C.124 D.125 17.设2018 2 20180 1 2 2018(1 ) ax x a x a a x a ,若1 2 3 20182 3 2018 2018 a a a a a 0 a ,则实数 a ________. 18. 1 - 50 51 被 7 除后的余数为_____. 19.若412nxx 展开式中前三项系数成等差数列,求:
(1)展开式中含 x 的一次幂的项;
(2)展开式中所有 x
的有理项; (3)展开式中系数最大的项.
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