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    课后限时集训32,数列概念与简单表示法

    时间：2020-11-09 15:45:57 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：数列 课后 限时

    　1

    　数列的概念与简单表示法 建议用时：45 分钟

    　一、选择题 1．已知数列 3， 5， 7，…， 2n－1， 2n＋1，则 3 5是这个数列的(

    　) A．第 20 项

    　B．第 21 项 C．第 22 项

    　 D．第 23 项 C [由题意知，数列的通项公式为 a n ＝ 2n＋1，令 2n＋1＝3 5得 n＝22，故选 C.] 2．设数列{a n }的前 n 项和 S n ＝n 2 ，则 a 8 的值为(

    　) A．15

    　B．16

    　C．49

    　D．64 A [当 n＝8 时，a 8 ＝S 8 －S 7 ＝8 2 －7 2 ＝15.] 3．设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 S n ＝2(a n －1)，则 a n ＝(

    　) A．2n

    　 B．2n－1 C．2 n

    　D．2 n －1 C [当 n＝1 时，a 1 ＝S 1 ＝2(a 1 －1)，可得 a 1 ＝2，当 n≥2 时，a n ＝S n －S n － 1＝2a n －2a n － 1 ，所以 a n ＝2a n － 1 ，所以数列{a n }为等比数列，公比为 2，首项为 2，所以 a n ＝2 n .] 4．(2019·石家庄模拟)若数列{a n }满足 a 1 ＝2，a n ＋ 1 ＝ 1＋an1－a n ，则 a 2 020的值为(

    　) A．2

    　 B．－3

    　C．－ 12

    　D.13

    　D [由题意知，a 2 ＝ 1＋21－2 ＝－3，a 3 ＝1－31＋3 ＝－12 ，a 4 ＝1－ 121＋ 12＝ 13 ，a 5 ＝1＋ 131－ 13＝2，a 6 ＝ 1＋21－2 ＝－3，…，

    　2 因此数列{a n }是周期为 4 的周期数列， ∴a 2 020 ＝a 505 × 4 ＝a 4 ＝ 13 .故选 D.] 5．已知数列{a n }满足 a 1 ＝3,2a n ＋ 1 ＝a n ＋1，则 a n ＝(

    　) A．2 n－ 2 ＋1

    　 B．2 1－ n ＋1 C．2 n ＋1

    　 D．2 2－ n ＋1 D [由 2a n ＋ 1 ＝a n ＋1 得 2(a n ＋ 1 －1)＝a n －1， 即 a n ＋ 1 －1＝ 12 (a n －1)，又 a 1 ＝3， ∴数列{a n －1}是首项为 a 1 －1＝2，公比为 12 的等比数列， ∴a n －1＝2×  12n － 1 ＝2 2 － n ， ∴a n ＝2 2－ n ＋1，故选 D.] 二、填空题 6．若数列{a n }的前n项和S n ＝ 23 n2 － 13 n，则数列{a n }的通项公式a n ＝

    　. 43 n－1 [当 n＝1 时，a 1 ＝S 1 ＝13 . 当 n≥2 时，a n ＝S n －S n － 1 ＝ 23 n2 － 13 n－ 23 n－12 － 13 n－1 ＝4n3－1. 又 a 1 ＝ 13 适合上式，则 a n ＝43 n－1.] 7．在数列{a n }中，a 1 ＝1，a n ＝ n－1na n － 1 (n≥2)，则数列{a n }的通项公式 a n＝

    　. 1n

    　[由 a n ＝n－1na n － 1 得a na n － 1 ＝n－1n， ∴a n ＝a na n － 1 ×a n － 1a n － 2 ×…×a 2a 1 ×a 1

    　＝ n－1n× n－2n－1 ×…×12 ×1＝1n . 当 n＝1 时，a 1 ＝1 适合上式． 故 a n ＝ 1n .]

    　3 8．已知数列{a n }满足 a 1 ＝0，a n ＋ 1 ＝a n ＋2n－1，则数列{a n }的通项公式 a n＝

    　. (n－1) 2

    　[由题意知 a n －a n － 1 ＝2n－3(n≥2)， 则 a n ＝(a n －a n － 1 )＋(a n － 1 －a n － 2 )＋…＋(a 2 －a 1 )＋a 1

    　＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋3＋1 ＝ n－12n－22＝(n－1) 2 .] 三、解答题 9．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n . (1)若 S n ＝(－1) n＋ 1 ·n，求 a 5 ＋a 6及 a n ； (2)若 S n ＝3 n ＋2n＋1，求 a n . [解] (1)因为 a 5 ＋a 6 ＝S 6 －S 4 ＝(－6)－(－4)＝－2， 当 n＝1 时，a 1 ＝S 1 ＝1，当 n≥2 时， a n ＝S n －S n － 1 ＝(－1) n＋ 1 ·n－(－1) n ·(n－1)＝(－1) n ＋ 1 ·[n＋(n－1)]＝(－1) n ＋ 1 ·(2n－1)， 又 a 1 也适合此式，所以 a n ＝(－1) n＋ 1 ·(2n－1)． (2)因为当 n＝1 时，a 1 ＝S 1 ＝6， 当 n≥2 时，a n ＝S n －S n － 1 ＝(3 n ＋2n＋1)－[3 n－ 1 ＋2(n－1)＋1]＝2×3 n － 1 ＋2. 由于 a 1 不适合此式，所以 a n ＝   6，n＝1，2×3 n－ 1 ＋2，n≥2. 10．已知 S n 为正项数列{a n } 的前 n 项和，且满足 S n ＝ 12 a2n ＋ 12 a n (n∈N* )． (1)求 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 的值； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)由 S n ＝ 12 a2n ＋ 12 a n (n∈N* )， 可得 a 1 ＝ 12 a21 ＋ 12 a 1 ，解得 a 1 ＝1； S 2 ＝a 1 ＋a 2 ＝ 12 a22 ＋ 12 a 2 ， 解得 a 2 ＝2； 同理 a 3 ＝3，a 4 ＝4.

    　4 (2)S n ＝ 12 a2n ＋ 12 a n ，① 当 n≥2 时，S n － 1 ＝ 12 a2n － 1 ＋ 12 a n － 1 ，② ①－②得(a n －a n － 1 －1)(a n ＋a n － 1 )＝0. 由于 a n ＋a n － 1 ≠0，所以 a n －a n － 1 ＝1， 又由(1)知 a 1 ＝1， 故数列{a n }是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故 a n ＝n.

    　1．已知各项都为正数的数列{a n }满足 a 2 n ＋ 1 －a n ＋ 1 a n －2a 2 n ＝0，且 a 1 ＝2，则数列{a n }的通项公式为(

    　) A．a n ＝2 n－ 1

    　 B．a n ＝3 n － 1

    　C．a n ＝2 n

    　D．a n ＝3 n

    　C [∵a 2 n ＋ 1 －a n ＋ 1 a n －2a 2 n ＝0， ∴(a n ＋ 1 ＋a n )(a n ＋ 1 －2a n )＝0. ∵数列{a n }的各项均为正数， ∴a n ＋ 1 ＋a n ＞0， ∴a n ＋ 1 －2a n ＝0， 即 a n ＋ 1 ＝2a n (n∈N * )， ∴数列{a n }是以 2 为公比的等比数列． ∵a 1 ＝2，∴a n ＝2 n .] 2．已知正项数列{a n }中， a 1 ＋ a 2 ＋…＋ a n ＝ nn＋12，则数列{a n }的通项公式为(

    　) A．a n ＝n

    　 B．a n ＝n 2

    　C．a n ＝ n2

    　D．a n ＝ n22 B [∵ a 1 ＋ a 2 ＋…＋ a n ＝ nn＋12， ∴ a 1 ＋ a 2 ＋…＋ a n － 1 ＝ nn－12(n≥2)，

    　5 两式相减得 a n ＝ nn＋12－ nn－12＝n(n≥2)，∴a n ＝n 2 (n≥2)，① 又当 n＝1 时， a 1 ＝ 1×22＝1，a 1 ＝1，适合①式，∴a n ＝n 2 ，n∈N * .故选 B.] 3．(2015·全国卷Ⅱ)设 S n 是数列{a n }的前 n 项和，且 a 1 ＝－1，a n ＋ 1 ＝S n S n ＋ 1 ，则 S n ＝

    　. － 1n

    　[∵a n ＋ 1 ＝S n ＋ 1 －S n ，a n ＋ 1 ＝S n S n ＋ 1 ， ∴S n ＋ 1 －S n ＝S n S n ＋ 1 . ∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋ 1 ＝1，即1S n ＋ 1 －1S n ＝－1. 又1S 1 ＝－1，∴  1S n是首项为－1，公差为－1 的等差数列． ∴1S n ＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n， ∴S n ＝－ 1n .] 4．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足 a 1 ＝1，a 2 n －(2a n ＋ 1 －1)a n －2a n ＋ 1 ＝0. (1)求 a 2 ，a 3 ； (2)求{a n }的通项公式． [解] (1)由题意可得 a 2 ＝ 12 ，a 3 ＝14 . (2)由 a 2 n －(2a n ＋ 1 －1)a n －2a n ＋ 1 ＝0 得 2a n ＋ 1 (a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因为{a n }的各项都为正数，所以 an ＋ 1a n＝ 12 . 故{a n }是首项为 1，公比为 12 的等比数列，因此 a n ＝12 n－ 1 .

    　1．已知各项均为正数的数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 a 2 n －9＝4(S n －n)，则数列{a n }的通项公式 a n ＝

    　. 2n＋3 [当 n＝1 时，a 2 1 －9＝4(a 1 －1)，得 a 1 ＝5 或 a 1 ＝－1(舍去)．当 n≥2时，a 2 n － 1 －9＝4(S n － 1 －n＋1)，所以 a 2 n －a 2 n － 1 ＝4a n －4，整理得(a n －2) 2 ＝a 2 n － 1 .因为

    　6 数列{a n }的各项均为正数，所以 a n －2＝a n － 1 ，即 a n －a n － 1 ＝2(n≥2)，所以数列{a n }是以 5 为首项，2 为公差的等差数列，所以 a n ＝5＋(n－1)×2＝2n＋3.] 2．已知数列{a n }的通项公式是 a n ＝n 2 ＋kn＋4. (1)若 k＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于 n∈N * ，都有 a n ＋ 1 >a n ，求实数 k 的取值范围． [解] (1)由 n 2 －5n＋4<0，解得 1<n<4. 因为 n∈N * ，所以 n＝2,3， 所以数列中有两项是负数，即为 a 2 ，a 3 . 因为 a n ＝n 2 －5n＋4＝  n－ 522－ 94 ， 由二次函数性质，得当 n＝2 或 n＝3 时，a n 有最小值，其最小值为 a 2 ＝a 3＝－2. (2)由 a n ＋ 1 >a n 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式 a n ＝n 2 ＋kn＋4 可以看作是关于 n 的二次函数，考虑到n∈N * ，所以－ k2 <32 ，即得 k>－3. 所以实数 k 的取值范围为(－3，＋∞)．

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