第1课时 函数概念及其表示
§ §2.1
函数的概念及其表示 求 考试要求
1. 了解构成函数的要素,会求简单函数的定义域和值域.2. 在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如 如图 像 法、列表法、解析法) 表示函数.3. 了解简单的分段函数,并能简单应用.
1. . 函数的概念 设 一般地,设 A ,B 是非空的 数集 ,如果按系 照某个对应关系 f ,对于集合 A 中任何一数 个数 x 在集合 B 中都存在 唯一确定 的数f(x) 与之对应,那么就把对应关系 f 叫作定合 义在集合 A 上的函数,记作 f :A →B 或 或 y= =f(x) ,x ∈A. 2. . 函数的定义域、值域 (1) 在函数 y =f(x) ,x ∈A 中,x 叫作自变量,x 的取值范围 A 叫作函数的 定义域 ;与 与 x 的值相对应的 y 值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x ∈A} 叫作函数的 值域. (2) 如果两个函数的 定义域 相同,并且 对应关系 完全一致,我们就称这两个函数相等. 3. . 函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、图像法和
列表法. 4. . 分段函数 (1) 若函数在其定义域的不同子集上,因 对应关系 不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. (2) 分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.
考 微思考 1 .直线 x =a(a 是常数) 与函数 y =f(x) 的图像有多少个交点? 提示
0 个或 1 个. 2 .函数定义中,非空数集 A ,B 与函数的定义域、值域有什么关系? 提示
合 函数的定义域即为集合 A ,值域为合 集合 B 的子集.
题组一
思考辨析 1 .判断下列结论是否正确( 请在括号中打“√” 或 “×”) (1)若 若 A =R ,B ={x|x>0} ,f :x →y =|x|, ,从 其对应是从 A 到 到 B 的函数.(
×
) (2) 若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.(
×
)
(3)y= = x -3+ + 2 -x 是一个函数.(
×
) (4) 函数 y =f(x) 的图 像 可以是一条封闭的曲线.(
×
) 题组二
教材改编 2 .函数 f(x)= = 2 x - -1+ +1x -2 的定义域为________ . 【答案】[0,2) ∪(2 ,+∞ ∞) 【解析】
依题意 2 x - -1 ≥0, ,x -2 ≠0 得 解得 x ≥0 且 且 x ≠2 , ∴ 原函数的定义域为[0,2) ∪(2 ,+∞ ∞) . 3 .已知函数 f(x)= = 2 x , ,x ≤1, ,f x -1 ,x>1, ,则 则 f(2)= =________. 【答案】2 【解析】f(2) =f(1) =2 1 = =2. 4 .已知函数f(x)= = x 2 + +2 ,x ≤1, ,1x ,,x>1, ,则 则f(x)的值域为________ . 【答案】(0,1) ∪[2 ,+∞ ∞) 【解析】当 当 x ≤1 时,f(x) =x 2 + +2 , ∴ ∴f(x) ∈[2 ,+∞ ∞) ,
当 当 x>1 时,f(x)= = 1x ,, ∴ ∴f(x) ∈(0,1) . 综上,f(x) 的值域为(0,1) ∪[2 ,+∞ ∞) . 题组三
易错自纠 5 .下列图形中可以表示以 M ={x|0 ≤x ≤1}为定义域,N ={y|0 ≤y ≤1} 为值域的函数的图 像是 是(
)
【答案】C 【解析】A 选项中的值域不满足,B 选项中的定义域不满足,D 选项不是函数的图像项 ,由函数的定义可知选项 C 正确. 6 .已知 f( x) =x+ + x -1 ,则 f(x)= =________. 【答案】x 2 + +x -1 ,x ≥0 【解析】令 令 t= = x ,则 t ≥0 ,x =t 2 , , ∴ ∴f(t) =t 2 + +t -1(t ≥0) , ∴ ∴f(x) =x 2 + +x -1 ,x ≥0.
第 第 1 课时
函数的概念及其表示
题型一 函数的概念
1 .下列各曲线表示的 y 与 与 x 之间的关系中,y 不是 x 的函数的是(
)
【答案】C 2 .下列各组函数相等的是(
) A .f(x) =x 2 - -2x -1(x ∈R) ,g(s) =s 2 - -2s- -1(s ∈Z) B .f(x) =x -1 ,g(x)= = x2 --1x +1 C .f(x)= = x 2 , ,g(x)= = x ,x ≥0, ,- -x ,x<0
D .f(x)= = - -x 3 , ,g(x) =x - -x 【答案】C 3 .已知集合 P ={x|0 ≤x ≤4} ,Q= ={y|0 ≤y ≤2} ,下列从 P 到 到 Q 的各对应关系f 不是函数的是________ .( 填序号) ① ①f :x →y= = 12 x;;② ②f :x →y= = 13 x;;③ ③f :x →y= 23 x;;④ ④f :x →y= = x. 【答案】③ ③ 【解析】
③ 中,f :x →y= = 23 x ,x ∈[0,4] 时,y= = 23 x∈∈ 0, , 83⊈ ⊈Q,故不满足函数的定义. ,故不满足函数的定义. 思维升华
(1) 函数的定义要求第一个非集 空数集 A 中的任何一个元素在第二个非集 空数集 B 中有且只有一个元素与之对应,即可以 “ 多对一 ” ,不能 “ 一对多 ” ,而B 中有可能存在与 A 中元素不对应的元素. (2) 构成函数的三要素中,定义域和对应关系相同,则值域一定相同.
题型二 求函数的解析式
例 例 1
求下列函数的解析式:
(1) 已知 f(1 -sin x) =cos 2 x ,求 f(x) 的解析
式; (2) 已知 f x+ + 1x= =x 2 +1x 2 求,求 f(x) 的解析式; (3) 已知 f(x) 是一次函数且 3f(x +1) -2f(x- -1) =2x +17 ,求 f(x) 的解析式; (4) 已知 f(x) 满足 2f(x) +f( -x) =3x ,求 f(x)的解析式. 【答案】
【解析】(1)( 换元法)设 设 1 -sin x =t, ,t ∈[0,2] , 则 则 sin x =1 -t, ,∵ ∵f(1 -sin x) =cos 2 x =1- -sin 2 x , ∴ ∴f(t) =1 -(1 -t) 2 = =2t -t 2 , ,t ∈[0,2] . 即 即 f(x) =2x -x 2 , ,x ∈[0,2] . (2)( 配凑法) ∵f
x+ + 1x= =x 2 +1x 2 = x+ + 1x2- -2 , ∴ ∴f(x) =x 2 - -2, ,x ∈(- - ∞ ,-2] ∪[2 ,+∞ ∞). . (3)( 待定系数法) ∵f(x) 是一次函数, 设 可设 f(x) =ax +b(a ≠0) , ∴ ∴3[a(x +1) +b] -2[a(x -1) +b] =2x +17. 即 即 ax +(5a +b) =2x +17 , ∴ a =2, ,5a +b =17, ,解得 a =2, ,b =7. ∴ ∴f(x) 的解析式是 f(x) =2x +7. (4)( 解方程组法) ∵2f(x) +f( -x) =3x, ,① ①
∴将 将 x 用-x 替换,得 2f( -x) +f(x) =-3x, ,② ② 由 ①②得 解得 f(x) =3x. 思维升华
函数解析式的求法 (1) 配凑法:由已知条件 f(g(x)) =F(x) ,可将 将 F(x) 改写成关于 g(x) 的表达式,然后以x 替代 g(x) ,便得 f(x) 的表达式. (2) 待定系数法:若已知函数的类型( 如一次函数、二次函数) 可用待定系数法. (3) 换元法:已知复合函数 f(g(x)) 的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (4) 解方程组法:已知关于 f(x)与 与 f 1x或f ( -x) 等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方出 程组求出 f(x) . 练 跟踪训练1
(1)(2020· 济南模拟) 若f
1x=x1 -x 则,则 f(x) =________. 【答案】1x -1 (x ≠0 且 且 x ≠1) 【解析】f(x)= =1x1- - 1x=1x -1 (x ≠0 且 且 x ≠1). . (2) 已知 y =f(x) 是二次函数,若方程 f(x)
= =0 有两个相等实根,且 f ′(x) =2x +2, ,则 则 f(x) =________. 【答案】x 2 + +2x +1 【解析】设 设 f(x) =ax 2 + +bx +c(a ≠0) ,则f ′(x) =2ax +b , ∴ ∴2ax +b =2x +2 ,则 a =1 ,b =2. ∴ ∴f(x) =x 2 + +2x +c , 又 又 f(x) =0 ,即 x 2 + +2x +c =0 有两个相等实根, ∴Δ= =4 -4c =0 ,则 c =1.故 故 f(x) =x 2 + +2x+ +1. (3) 已知 f(x) 满足 f(x) -2f
1x= =2x ,则 f(x)= =________. 【答案】
- 2x3-43x
【解析】∵ ∵f(x) -2f
1x= =2x, ,① ① 以 1x 代替 ①的 中的 x ,得 f 1x- -2f(x)= = 2x ,② ② ① + ②× ×2 得-3f(x) =2x+ + 4x ,, ∴ ∴f(x) =- 2x3-43x .
题型三 分段函数
点 命题点 1
求分段函数的函数值
例 例 2
已知 f(x)= = cos πx ,x ≤1, ,f x -1 +1 ,x>1, ,则f 43+ +f - 43的值为(
) A. 12
B .- 12
C .-1
D .1 【答案】D 【解析】f
43= =f
43 --1 +1 =f 13+ +1= =cos π3 ++1= = 32 ,, f - 43= =cos - 4π3= =cos 2π3=- 12 ,, ∴ ∴f 43+ +f
- 43= 32 - 12 ==1. 点 命题点 2
分段函数与方程、不等式问题 例 例 3
(1)(2020· 长春模拟) 已知函数 f(x)= = 2 x , ,x>0, ,x +1 ,x ≤0.若 若 f(a) +f(1) =0 ,则实数 a的值等于(
) A .-3
B .-1
C .1
D .3 【答案】A 【解析】∵ ∵f(1) =2 1 = =2, ,∴ ∴f(a) +2 =0, ,∴ ∴f(a) =-2 , 当 当 a ≤0 时,f(a) =a +1 =-2, ,∴ ∴a =-3, , 当 当 a>0 时,f(a) =2 a =-2 ,方程无解, 有 综上有 a =-3.
(2) 已知函数 f(x)= = log 2 x ,x ≥1, ,1x ,,x<1 且x ≠0, ,则式 不等式 f(x) ≤1 的解集为(
) A .(- - ∞, ,2]
B .(- - ∞, ,0] ∪(1,2] C .[0,2]
D .(- - ∞, ,0) ∪[1,2] 【答案】D 【解析】
∵当 当 x ≥1 时,log 2 x ≤1, ,∴ ∴1 ≤x ≤2. 当 当 x<1 且 且 x ≠0 时, 1x ≤≤1 ,解得 x<0 , ∴ ∴f(x) ≤1 的解集为(- - ∞, ,0) ∪[1,2] . 思维升华
(1) 分段函数的求值问题的解题思路 ①现 求函数值:当出现 f(f(a)) 的形式时,应从内到外依次求值. ② 求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. (2) 分段函数与方程、不等式问题的求解思路 路 依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来. 练 跟踪训练 2
(1)(2021· 河北冀州一中模拟)
设 设 f(x)= = x+ + 2x --3 ,x ≥1, ,x 2 + +1 ,x<1.则 则 f(f( -1))= =_______ ,f(x) 的最小值是________ . 【答案】0
2 2 -3 【解析】∵ ∵f( -1) =2 , ∴ ∴f(f( -1)) =f(2) =2+ + 22 --3 =0 , 当 当 x ≥1 时,f(x) =x+ + 2x --3 ≥2 2 -3 , 当 当且仅当 x= = 2, 时取等号,f(x) min = =2 2- -3 , 当 当 x<1 时,f(x) =x 2 + +1 ≥1 ,x =0 时取等号, ∴ ∴f(x) min = =1 , 有 综上有 f(x) 的最小值为 2 2 -3. (2) 设函数 f(x)= = x +1 ,x ≤0, ,2 x , ,x>0, ,则满足f(x) +f
x- - 12>1 的 的 x 的取值范围是________ . 【答案】
- 14 ,+∞ ∞ 【解析】当 当 x> 12 时,122 2xx >1 恒成立,∴ ∴x> 12 ,,
当 当 0<x≤ ≤ 12 时,2 x + +x- - 12 ++1>1 ,即 2 x + +x> 12恒成立,∴ ∴0<x≤ ≤ 12 ,, 当 当 x ≤0 时,x +1 +x- - 12 ++1>1 ,解得- 14<x ≤0 , 有 综上有 x 的取值范围是 - 14 ,+∞ ∞ .
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