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    (教案)复数三角表示

    时间：2021-08-02 11:09:17 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：复数 教案

    　复数的三角表示

    　【教学重难点】

    　【教学目标】

    　【 核心素养】

    　】

    　复数的三角形式 了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系 数学抽象 复数三角形式乘、除运算的 三角表示及其几何意义 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 数学抽象、数学运算 【教学过程】

    　一、问题导入 预习教材内容，思考以下问题：

    　1．复数 z＝a＋bi 的三角形式是什么？ 2．复数的辐角、辐角的主值是什么？ 3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？ 4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？ 二、基础知识 1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 一般地，任何一个复数 z＝a＋bi 都可以表示成 r(cos θ ＋isin θ )的形式，其中，r 是复数 z的模；θ 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量OZ→ 所在射线(射线OZ → )为终边的角，叫做复数 z＝a＋bi 的辐角，我们规定在 0≤θ<2π范围内的辐角 θ 的值为辐角的主值，通常记作 argz.r(cos θ ＋isin θ )叫做复数 z＝a＋bi 的三角表示式，简称三角形式．a＋bi 叫做复数的代数表示式，简称代数形式． ■名师点拨

    　（1）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 2π的整数倍． （2）复数 0 的辐角是任意的． （3）在 0≤θ＜2π范围内的辐角 θ 的值为辐角的主值，通常记作 argz，且 0≤argz＜2π. （4）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 2．复数三角形式的乘、除运算 若复数 z 1 ＝r 1 (cos θ 1 ＋isin θ 1 )，z 2 ＝r 2 (cos θ 2 ＋isin θ 2 )，且 z 1 ≠z 2 ，则 （1）z 1 z 2 ＝r 1 (cos θ 1 ＋isin θ 1 )·r 2 (cos θ 2 ＋isin θ 2 )

    　＝r 1 r 2 [cos(θ 1 ＋θ 2 )＋isin(θ 1 ＋θ 2 )]． （2）

    　z1z 2 ＝r 1 （cos θ 1 ＋isin θ 1 ）r 2 （cos θ 2 ＋isin θ 2 ）

    　＝ r1r 2 [cos(θ 1 －θ 2 )＋isin(θ 1 －θ 2 )]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 三、合作探究 1．复数的代数形式与三角形式的互化 角度一

    　 代数形式化为三角形式 把下列复数的代数形式化成三角形式：

    　（1）

    　3＋i； （2）

    　2－ 2i. 【解】（1）r＝ 3＋1＝2，因为 3＋i 对应的点在第一象限， 所以 cos θ ＝32，即 θ＝ π6， 所以 3＋i＝2  cos π6＋isin π6. （2）r＝ 2＋2＝2，cos θ ＝22， 又因为 2－ 2i 对应的点位于第四象限， 所以 θ ＝ 7π4. 所以 2－ 2i＝2  cos 7π4＋isin 7π4.

    　复数的代数形式化三角形式的步骤 （1）先求复数的模． （2）决定辐角所在的象限． （3）根据象限求出辐角． （4）求出复数的三角形式． [提醒]一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但

    　三角形式辐角不一定取主值． 角度二

    　 三角形式化为代数形式 分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式． （1）4  cos π6＋isin π6； （2）32(cos 60°＋isin 60°)； （3）2  cos π3－isin π3. 【解】（1）复数 4  cos π6＋isin π6的模 r＝4，辐角的主值为 θ＝ π6. 4  cos π6＋isin π6＝4cos π6＋4isin π6 ＝4×32＋4×12 i ＝2 3＋2i. （2）32(cos 60°＋isin 60°)的模 r＝32，辐角的主值为 θ＝60°. 32(cos 60°＋isin 60°)＝32× 12 ＋32×32i ＝34＋ 34 i. （3）2  cos π3－isin π3 ＝2  cos  2π－ π3＋isin  2π－ π3 ＝2  cos 53 π＋isin 53 π . 所以复数的模 r＝2，辐角的主值为 53 π. 2  cos 53 π＋isin 53 π ＝2cos 53 π＋2isin 53 π ＝2×12 ＋2× －32i ＝1－ 3i.

    　复数的三角形式 z＝r(cos θ ＋isin θ )必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟 sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例（3）．

    　 2．复数三角形式的乘、除运算

    　计算：

    　（1）8  cos 43 π＋isin43 π ×4 cos 56 π＋isin56 π ； （2）

    　3(cos 225°＋isin 225°)÷[ 2(cos 150°＋isin 150°)]； （3）4÷cos π4＋isin π4. 【解】（1）8  cos 43 π＋isin43 π ×4 cos 56 π＋isin56 π ＝32  cos  43 π＋56 π ＋isin 43 π＋56 π ＝32  cos 136π＋isin 136π ＝32  cos π6＋isin π6 ＝32   32＋ 12i ＝16 3＋16i. （2）

    　3(cos 225°＋isin 225°)÷[ 2(cos 150°＋isin 150°)] ＝32 [cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝62(cos 75°＋isin 75°) ＝62  6－ 24＋6＋ 24i ＝ 6－2 38＋ 6＋2 38i ＝ 3－ 34＋ 3＋ 34i. （3）4÷cos π4＋isin π4 ＝4(cos 0＋isin 0)÷cos π4＋isin π4 ＝4  cos  － π4＋isin  － π4 ＝2 2－2 2i.

    　 （1）乘法法则：模相乘，辐角相加． （2）除法法则：模相除，辐角相减． （3）复数的 n 次幂，等于模的 n 次幂，辐角的 n 倍．

    　 3．复数三角形式乘、除运算的几何意义 在复平面内，把复数 3－ 3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转 π3，求所得向量对应的复数． 【解】因为 3－ 3i＝2 3   32－ 12i ＝2 3  cos 116π＋isin 116π 所以 2 3  cos 116π＋isin 116π ×  cos π3＋isin π3 ＝2 3  cos   116π＋ π3＋isin   116π＋ π3 ＝2 3  cos 136π＋isin 136π ＝2 3  cos π6＋isin π6 ＝3＋ 3i， 2 3  cos 116π＋isin 116π ×  cos  － π3＋isin  － π3 ＝2 3  cos   116π－ π3＋isin   116π－ π3 ＝2 3  cos 32 π＋isin 32 π ＝－2 3i. 故把复数 3－ 3i 对应的向量按逆时针旋转 π3得到的复数为 3＋ 3i，按顺时针旋转 π3得到的复数为－2 3i.

    　两个复数 z 1 ，z 2 相乘时，先分别画出与 z 1 ，z 2 对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角 θ 2 (如果 θ 2 <0，就要把OZ 1→绕点 O 按顺时针方向旋转角|θ 2 |)，再把它的模变为原来的 r 2 倍，得到向量OZ→ ，OZ → 表示的复数就是积 z 1 z 2．

    　四、课堂检测 1．复数 1－ 3i 的辐角的主值是(

    　 ) A． 53 π

    　B． 23 π C． 56 π

    　 D． π3 解析：选 A．因为 1－ 3i＝2   12 －32i ＝2  cos 53 π＋isin 53 π ，所以 1－ 3i 辐角的主值为53 π. 2．复数 9(cos π＋isin π)的模是________． 答案：9 3．arg(－2i)＝________． 答案：

    　32 π 4．计算：

    　（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)； （2）2(cos 300°＋isin 300°)÷2  cos 34 π＋isin 34 π . 解：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°) ＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°) ＝cos 90°＋isin 90° ＝i. （2）2(cos 300°＋isin 300°)÷2  cos 34 π＋isin 34 π ＝2  cos 53 π＋isin 53 π ÷ 2  cos 34 π＋isin 34 π ＝ 2  cos  53 π－34 π ＋isin 53 π－34 π ＝ 2  cos 1112 π＋isin 1112 π ＝－ 1＋ 32＋3－12i.

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