6.4,平面向量应用--几何、物理（解析版）

时间：2021-05-01 10:16:11 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　6.4 平面向量的应用-- 几何、物理

　 1. 向量在平面几何中的应用；2. 向量在物理中的应用；3. 用向量方法探究存在性问题.

　一、单选题 1．（2020·全国课时练习）设有四边形 ABCD,O 为空间任意一点,且 AOOB DO OC   ,则四边形 ABCD 是(

　 ) A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形 【答案】B 【解析】

　由已知得 ABDC ,即 , AB DC 是相等向量,因此 , AB DC 的模相等,方向相同, 即四边形 ABCD 是平行四边形.故选 B. 2．（2020·桂阳县第二中学期中）在 ABC 中，若     0 CA CB CA CB     ，则 ABC 为（

　）

　A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 【答案】C 【解析】

　在 ABC 中， (CA CB 

　2 22 2) ( ) 0 CA CB CA CB b a      ， a b   ， ABC  为等腰三角形， 故选：C． 3． （2020·吉林扶余市第一中学期中）在ABC 中， AB ACBA BC CA CB         ，则 ABC 的形状为（

　）． A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定

　 【答案】B 【解析】

　因为AB AC BA BC     ，所以 0 AB AC BC       ， 即 0 AB CA CB       ， 所以在 ABC 中， AB 与 AB 边上的中线垂直，则 CA CB  ， 同理 0 BC AC AB       ， AC AB  ， 所以 AC AB CB    ， ABC 是等边三角形． 故选：B 4．（2019·江西新余·高二期末（文））若 AB · BC +2AB<0,则△ABC 必定是（

　）

　A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】

　AB · BC +2AB= AB ·( BC + AB ) = AB · AC <0, 即| AB || AC |cos A<0, ∴cos A<0, ∴A 为钝角, ∴△ABC 是钝角三角形.故选 B. 5．（2020·全国高一专题练习）一条河的宽度为 d ，一只船从 A 处出发到河的正对岸 B 处，船速为1 v，水速为2 v，则船行到 B 处时，行驶速度的大小为（

　）

　A．2 21 2 v v  B．2 21 2 v v 

　C．2 21 2 v v  D．2 21 2 v v 

　 【答案】D 【解析】

　如图所示，由平行四边形法则和解直角三角形的知识， 可得船行驶的速度大小为2 21 2v v . 故选：D.

　6．（2020·朝阳·北京八十中高一期中）一质点受到平面上的三个力1 F，2F ，3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知1F ，2F 成 60 角，且1F ，2F 的大小分别为 2 和 4，则3F 的大小为（

　）

　A．6 B．2 C．8 D． 2 7

　【答案】D 【解析】

　根据题意，得 3 21  F F F2 21 2 1 22     F F F F 2 22 4 2 2 4 cos60       

　2 7  ， 3F 的大小为 2 7 . 故选：D.

　 7．（2020·四川内江·高一期末（理））在四边形 ABCD 中， (1, 3) AB DC   ， || | |BA BC BDBA BC BD ，则四边形 ABCD 的面积为（

　）

　A． 2 3

　B． 3

　C． 4 3

　D．2 【答案】A 【解析】

　因为 (1, 3) AB DC   ，所以四边形 ABCD 为平行四边形， 又| | | |BA BC BDBA BC BD ，则 BD 平分 ABC  ，则四边形 ABCD 为菱形. 且 120 ABC   ，由 2 AB DC   ，则 2 BC  , 所以四边形 ABCD 的面积为3sin120 2 2 2 32S BA BC        . 故选：A. 8．（2020·湖北襄城·襄阳五中高一月考）两个大小相等的共点力1 2F F ， ，当它们夹角为 90  时，合力大小为20N ，则当它们的夹角为 120  时，合力大小为（

　 ）

　A． 40N

　B． 10 2N

　C． 20 2N

　D． 10 3N

　【答案】B 【解析】

　设合力为0F ， 由平行四边形法则可知，2 01 cos45 10 2N F F F   ， 当1F 和2F 的夹角为 120  时，由平行四边形法则，1 0 210 2N F F F    ， 故选:B.

　9．（2020·衡水市第十四中学高一月考）如图所示，设 P 为 ABC  所在平面内的一点，并且1 14 2AP AB AC   ，则 BPC  与 ABC  的面积之比等于（

　 ）

　A．25 B．35 C．34 D．14 【答案】D 【解析】

　延长 AP交 BC 于点 D，因为 A、P、D 三点共线， 所以 ( 1) CP mCA nCD m n     ，设 CDkCB 

　代入可得 CPmCA nkCB   即 ( ) (1 ) AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nkAB          

　 又因为1 14 2AP AB AC   ，即1 1,14 2nk m nk     ，且 1 m n  

　 解得1 3,4 4m n  

　 所以1 34 4CP CA CD   可得4 AD PD 

　因为 BPC  与 ABC  有相同的底边，所以面积之比就等于 DP 与 AD 之比 所以 BPC  与 ABC  的面积之比为14

　故选 D 10．（2020·河南开封·高一期末）已知 O 是平面上的一定点， 、 、 A B C 是平面上不共线的三个动点，点 P 满

　 足 OPOA       coscosAB ACAC CAB B，则动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的（

　）

　A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 【答案】C 【解析】

　       coscosAB ACOP OAAC CAB B，       coscosAB ACAPAC CAB B cos coscos cos cos cosBC AB B BC AC CBC AB BC ACBC APAB B AC C AB B AC C                       0 BC AP BC BC      

　所以 BC AP ， 动点 P 在 BC 的高线上，动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的垂心， 故选：C 二、多选题 11．（2020·江苏如东·高一期末）在 ABC 中，   2,3 AB  ，   1, AC k  ，若 ABC 是直角三角形，则 k的值可以是（

　）

　A． 1 

　B． 113 C．3 132 D．3 132 【答案】BCD 【解析】

　若 A  为直角，则 AB AC  即0 AC AB   2 3 0 k    解得23k  

　 若 B Ð 为直角，则 BC AB  即0 BC AB       2,3 , 1, AB AC k     1, 3 BC k    

　2 3 9 0 k     解得113k 

　若 C  为直角，则 BC AC  ，即0 BC AC       2,3 , 1, AB AC k  

　  1, 3 BC k    

　  1 3 0 k k     解得3 132k

　综合可得， k 的值可能为2 11 3 13 3 13, , ,3 3 2 2 

　故选：

　BCD

　12．（2020·全国高一单元测试）点 P 是 ABC  所在平面内一点,满足 2 0 PB PC PB PC PA      ,则ABC  的形状不可能是(

　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】AD 【解析】

　∵P 是 ABC  所在平面内一点，且 | | | 2 | 0 PB PC PB PC PA      ， ∴ | | |( ) ( )| 0 CB PB PA PC PA      ， 即 | | | | CB AC AB   ， ∴ | | | | AB AC AC AB    ， 两边平方并化简得0 AC AB  ， ∴ ACAB ， ∴ 90 A ，则 ABC  一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，

　 故不可能是钝角三角形，等边三角形， 故选：AD. 13．（2020·济南市历城第二中学高一开学考试）点 O在 ABC  所在的平面内,则以下说法正确的有(

　) A．若 0OA OB OC   ,则点 O为 ABC  的重心 B．若0AC AB BC BAOA OBAC AB BC BA                 ,则点 O为 ABC  的垂心 C．若 ( ) ( ) 0 OA OB AB OB OC BC      ,则点 O为 ABC  的外心 D．若 OA OBOB OC OC OA     ,则点 O为 ABC  的内心 【答案】AC 【解析】

　选项 A，设 D为 BC 的中点，由于 ( ) 2 OA OB OC OD      ，所以 O 为 BC 边上中线的三等分点(靠近点 D)，所以 O为 ABC  的重心； 选项 B，向量 ,| | | |AC ABAC AB分别表示在边 AC 和 AB 上的单位向量，设为AC和AB，则它们的差是向量BC   ，则当0| | | |AC ABOAAC AB     ，即 OAB C   时，点 O在 BAC  的平分线上，同理由0| | | |BC BAOBBC BA     ，知点 O在 ABC  的平分线上，故 O为 ABC  的内心； 选项 C， OAOB 是以 , OA OB 为邻边的平行四边形的一条对角线，而 AB｜ ｜ 是该平行四边形的另一条对角线， ( ) 0 AB OA OB    表示这个平行四边形是菱形，即 | | | | OA OB  ，同理有 | | | | OB OC  ，于是 O为ABC  的外心； 选项 D，由 OA OBOB OC   得0 OA OB OB OC    ， ∴ ( ) 0 OB OA OC    ，即0 OB CA  ， ∴ OBCA ． 同理可证 , OA CB OC AB   ， ∴ OB CA  ， OA CB  ， OC AB  ，即点 O是 ABC  的垂心； 故选：AC ．

　 14．（2020·全国高一课时练习）在 ABC 中，下列结论正确的是(

　) A． ABAC BC   B． AB BCAB BC   

　C．若    0 AB AC AB AC     ,则 ABC 为等腰三角形 D．若0 AC AB  ,则 ABC 为锐角三角形 【答案】BC 【解析】

　对于 A, ABAC CB  ,故 A中结论错误； 对于 B,设  为向量 AB 与 BC 的夹角,因为 cos AB BC AB BC      ,而 cos 1   ,故AB BC AB BC    ,故 B 中结论正确； 对于 C,   2 20 AB AC AB AC AB AC       ,故 AB AC  ,所以 ABC 为等腰三角形,故 C 中结论正确； 对于 D,取6A B  ,23C ,满足 cos 0 AC AB AC AB A    ,但 ABC 为钝角三角形,故 D中结论错误. 故选：BC. 三、填空题 15． （2020·海南临高二中期末）在 ABC 中，已知 4 AB AC   ，且8 AB AC  ，则 ABC  的形状为______． 【答案】等边三角形 【解析】

　| | | |1cos2AB ACBBA ACAC  ，因为 (0, ) BAC    ，所以3BAC  ， 又因为 4 AB AC   ,所以 ABC  为等边三角形. 故答案为：等边三角形 16．（2020·全国高二课时练习）已知 | | 5 OA  ， || 2 OB uuur， , 60 OA OB   ，2 OC OA OB  ，2 OD OA OB  ，则以 OC ， OD 为邻边的平行四边形 OCED 的对角线 OE 的长为________．

　 【答案】

　199

　【解析】

　∵ OEOC OD  ，∴2 2 2 2| | ( ) (2 2 ) (3 ) OE OC OD OA OB OA OB OA OB        2 29| | | | 6 9 25 4 6 5 2 cos60 199 OA OB OA OB            ． ∴ | | 199 OE  ，即 199 OE  ． 故答案为：

　199

　17．（2020·新乡市第一中学高一月考）如图，等腰三角形 ABC ， 2 AB AC   ， 120 BAC    ． E ， F分别为边 AB ， AC 上的动点，且满足 AEmAB ， AFnAC ，其中 m ，(0,1) n， 1 m n   ， M ，N 分别是 EF ， BC 的中点，则 || MN 的最小值为_____.

　【答案】12 【解析】

　MN AN AM   1 1( ) ( )2 2AB AC mAB nAC    

　1 1(1 ) (1 )2 2m AB n AC    

　2 2 22 21 1 1(1 ) (1 ) (1 )(1 )4 4 2MN m AB n AC m n AB AC       

　2 2(1 ) (1 ) (1 )(1 ) m n m n        ； 1 m n   ， 1 n m    ，代入上式得：

　22 2(1 ) (1 ) MN m m m m      23 3 1 m m   

　21 13( )2 4m    ； (0,1) m；

　 12m  时，2MN取最小值14； | | MN  的最小值为12． 故答案为：12． 四、双空题 18．（2020·山东诸城·高一期中）如图所示，把一个物体放在倾斜角为 30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力 G，沿着斜面向上的摩擦力1F ，垂直斜面向上的弹力2F ．已知180N F  ，则G 的大小为________，2F 的大小为________．

　【答案】

　160N

　 80 3N

　【解析】

　如图，由向量分解的平行四边形法则， 1 2| | | |sin30 , cos30| | | |o oF FG G 

　计算可得：2160 , 80 3 G N F N  

　故答案为：

　160 ,80 3 N N

　19．（2020·全国高一课时练习）如图所示，两根绳子把质量为 1kg 的物体吊在水平杆 AB 上（绳子的质量忽略不计，g=10m/s 2 ），绳子在 A，B 处与铅垂方向的夹角分别为 30° ， 60 ，则绳子 AC 和 BC 的拉力的大小分别为______，______.

　【答案】

　5 3N

　 5N

　 【解析】

　设绳子 AC和 BC 的拉力分别为1f ，2f ，物体的重力用 fuv表示，则 10N f  ，1 2f f f   .如图，以 C为起点，分别作1CE f  ，2CF f  ， CG f  ，则 30 ECG    ， 60 FCG    ，∴3cos30 10 5 32CE CG      ，1cos60 10 52CF CG     ， ∴绳子 AC 的拉力大小为 5 3N ，绳子 BC 的拉力大小为 5 N.

　故答案为：

　5 3N ，5N 20． （2020·抚顺市第十中学高一月考）已知直角梯形 ABCD 中，// AD BC ， 90 ADC    ， 2 AD ， 1 BC  ，P 是腰 DC 上的动点，则3 PA PB  的最小值为_________；此时PDCD __________. 【答案】

　5

　 34

　 【解析】

　如图所示，以直线 DA ， DC 分别为 x ， y 轴建立平面直角坐标系， 设 CD a  ，则   2,0 A ，   1, B a ，   0, C a ，   0,0 D

　设  0, 0 ( ) P b b a  ，则   2, PA b   ，   1, PB a b   ， 所以   3 5,3 4 PA PB a b    ，所以  23 25 3 4 5 PA PB a b      ， 此时 3 4 a b  ，即34PD bCD a  ， 3 PA PB  的最小值为 5.

　 故答案为: 5 ;34.

　 21．（2019·全国高三专题练习（理））已知矩形 ABCD 中 2 AB ， 1 AD ，当每个 ( 1,2,3,4,5,6)ii   取遍  时，1 2 3 4 5 6AB BC CD DA AC BD            的最小值是_____，最大值是_______． 【答案】0

　2 17

　【解析】

　建立如图所示坐标系：

　      2,0 , 2,1 , 0,1 B C D

　,则            1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 3 5 6 2 4 5 6|2,0 0,1 2,0 0, 1 2,1 2,12 2 2 2 ,AB BC CD DA AC BD                                     由题意若使模长最大，则1 3 2 42, 2,          

　 不妨设为1 3 2 42, 2,        

　则 1 2 3 4 5 65 6 5 64 2 2 ,2AB BC CD DA AC BD                  当5 6 5 62, 0         时模长最大为 2 17

　当1 2 3 4 5 61, 1, 1, 1, 1, 1               时模长最小值为 0 故答案为：0； 2 17

　五、解答题 22．（2020·海南临高二中期末）某人在静水中游泳，速度为 4 3 千米/时，现在他在水流速度为 4 千米/时的河中游泳. （1）若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ （2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 【答案】（1）沿与河岸成 60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为 8 千米/时

　（2）沿向量 ADuuuv的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为33游，实际前进的速度大小为 4 2 千米/时 【解析】

　（1）如图，设此人游泳的速度为 OB ，水流的速度为 OA ， 以 OA，OB 为邻边作 QACB，则此人的实际速度为 OAOB OC  ， 由勾股定理知 | | 8 OC  ，且在 Rt ACO  中，∠COA=60°， 故此人沿与河岸成 60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为 8 千米/时；

　（2）如图，设此人的实际速度为 ODuuur，水流速度为 OA ，则游速为 ADOD OA  ，

　 在 Rt△AOD中， | | 4 3 AD  ， | | 4 OA  ，则 | | 4 2 OD  ，3cos3DAO   ，

　故此人沿向量 AD 的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为33游，实际前进的速度大小为 4 2 千米/时． 23．（2020·甘肃城关·兰州一中期末）在平面直角坐标系 xoy中，点 ( 1, 2), (2,3), ( 2, 1) A B C     ． （1）求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数 t 满足 ( ) 0 AB tOC OC    ，求 t的值． 【答案】（1）

　4 2 、 2 10 ；（2）115-

　【解析】

　(1)由题设知 AB =(3,5), AC =(-1,1), 则 AB + AC =(2,6), AB - AC =(4,4). 所以| AB ...