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    考点27,,椭圆方程与性质学生版

    时间：2020-12-08 20:24:50 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

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    　考点 27

    　椭圆 1．椭圆的概念 把平面内到两个定点 F 1 ，F 2 的距离之和等于常数(大于|F 1 F 2 |)的点的集合叫作椭圆．这两个定点 F 1 ，F 2 叫作椭圆的焦点，两个焦点 F 1 ，F 2 间的距离叫作椭圆的焦距． 椭圆定义用集合语言表示如下：

    　P＝{M||MF 1 |＋|MF 2 |＝2a}，|F 1 F 2 |＝2c，其中 a>0，c>0，且 a，c 为常数． 在椭圆定义中，特别强调到两定点的距离之和要大于|F 1 F 2 |．当到两定点的距离之和等于|F 1 F 2 |时，动点的轨迹是线段 F 1 F 2 ；当到两定点的距离之和小于|F 1 F 2 |时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1 (a>b>0) y 2a 2 ＋x 2b 2 ＝1 (a>b>0) 图形

    　 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴

    　对称中心：原点 顶点 A 1 (－a,0)，A 2 (a,0) B 1 (0，－b)，B 2 (0，b) A 1 (0，－a)，A 2 (0，a) B 1 (－b,0)，B 2 (b,0) 轴 长轴 A 1 A 2 的长为 2a；短轴 B 1 B 2 的长为 2b 焦距 |F 1 F 2 |＝2c 离心率 e＝ ca ∈(0,1) a，b，c 的关系 c 2 ＝a 2 －b 2

    　说明：当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成 Ax 2 ＋By 2 ＝1 的形式，其中 A，B 是不相等的正常数，或设成x 2m 2 ＋y 2n 2 ＝1(m2 ≠n 2 )的形式． 3．椭圆中的弦长公式 (1)若直线 y＝kx＋b 与椭圆相交于两点 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，则 |AB|＝ 1＋k 2 |x 1 －x 2 |＝ 1＋1k 2 |y 1 －y 2 |.

    　(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长 2b2a，最长为 2a. [玩转典例] 题型一 一

    　椭圆的定义和标准方程 例 例 1 （1）（2020·上海徐汇.高三期末）已知1F ､2F 是定点，1 2| | 6 F F  .若动点 M 满足1 2| | | | 6 MF MF   ，则动点 M 的轨迹是（

    　）

    　A．直线 B．线段 C．圆 D．椭圆 （2）（2019·宁波市第四中学高三期中）设 p 是椭圆2 2125 16x y  上的点．若1 2F F ， 是椭圆的两个焦点，则1 2PF PF  等于( ) A．4 B．5 C．8 D．10 例 例 2 （1）

    　（2019·福建高三期末）如果2 22 x ky   表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是（

    　）

    　A． (0,1)

    　B． (0,2)

    　C． (1, ) 

    　D． (0, ) 

    　（2）（2019·江苏省苏州实验中学高三期中）方程2 214x ym  表示椭圆，则实数 m 的取值范围（

    　）

    　A． 0 m

    　B． 4 m

    　C． 0 4 m  

    　D． 0 m 且 4 m 

    　例 例 3 （1）（2018·黑龙江哈尔滨三中高三期中）已知 ABC  的顶点 B ， C 在椭圆2 2116 9x y  上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在 BC 上，则 ABC  的周长是（

    　）

    　A． 8

    　B． 8 3

    　C． 16

    　D． 24

    　（2）

    　（2019·广西田阳高中））已知 P 是椭圆2 2125 9x y  上一点， 1 2, F F 为椭圆的两焦点，且01 260 FPF   ，则1 2FPF  面积为（

    　）

    　A． 3 3

    　B． 2 3

    　C． 3

    　D．33 [玩转跟踪]

    　1．(广东，8)已知椭圆 x225 ＋y 2m 2 ＝1(m>0)的左焦点为 F 1 (－4，0)，则 m＝(

    　) A．2

    　B．3

    　C．4

    　D．9

    　2．(全国，9)已知椭圆 C：

    　x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为 F 1 、F 2 ，离心率为33，过 F 2 的直线 l 交 C 于A、B 两点．若△AF 1 B 的周长为 4 3，则 C 的方程为(

    　) A. x23 ＋y 22 ＝1

    　B. x23 ＋y2 ＝1 C. x212 ＋y 28 ＝1

    　D. x212 ＋y 24 ＝1 3．(广东，9)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于 12 ，则 C 的方程是(

    　) A. x23 ＋y 24 ＝1

    　B. x24 ＋y 23 ＝1 C. x24 ＋y 22 ＝1

    　D. x24 ＋y 23 ＝1 题型 二

    　椭圆的几何性质

    　例 例 4 （1）（2020·武威第八中学高三期末（理））已知椭圆 C ：2 221( 0)4x yaa   的一个焦点为 (2 0)， ，则 C 的离心率为

    　。

    　（2）（2019·江西南昌十中高三期中）过椭圆的右焦点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 A B， 两点，1F 为椭圆的左焦点，若1F AB为正三角形，则椭圆的离心率为

    　。

    　[玩转跟踪]

    　1．(四川，9)从椭圆 x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a＞b＞0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F 1 ，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(

    　) A.24

    　B. 12

    　 C.22

    　D.32 2．(新课标全国Ⅱ，5)设椭圆 C：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F 1 、F 2 ，P 是 C 上的点，PF 2 ⊥F 1 F 2 ，∠PF 1 F 2 ＝30°，则 C 的离心率为(

    　) A.36

    　B. 13

    　 C. 12

    　 D.33

    　3．(辽宁，11)已知椭圆 C：

    　x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝ 45 ，则 C 的离心率为(

    　) A. 35

    　 B. 57

    　 C. 45

    　 D. 67

    　题型 三

    　直线与椭圆的位置关系

    　例 例 5 （2020·云南省泸西县第一中学高三期中）已知椭圆

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