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    教材高考·审题答题（六）,概率与统计热点问题

    时间：2020-09-30 15:15:06 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：审题 高考 答题

    　教材高考·审题答题（六）

    　概率与统计热点问题

    　 热点预测 真题印证 核心素养 概率的运算，随机变量的分布列、均值与方差 2019·全国Ⅰ，理 6，15；2019·全国Ⅱ，理 18； 2018·全国Ⅰ，理 20；2018·全国Ⅰ，文 19； 2018·全国Ⅱ，理 8；2018·全国Ⅲ，理 8； 2017·全国Ⅱ，文 11；2017·全国Ⅲ，文理 18 数学建模、 数学运算、 数据分析 统计与统计案例

    　2019·全国Ⅰ，文 17；2019·全国Ⅱ，理 5，13； 2019·全国Ⅱ，文 19；2019·全国Ⅲ，3，17； 2018·全国Ⅰ，理 3；2018·全国Ⅱ，18； 2018·全国Ⅲ，18；2018·全国Ⅲ，文 14； 2017·全国Ⅰ，文 19；2017·全国Ⅱ，理 13； 2017·全国Ⅲ，理 3； 数学建模、 数学运算、 数据分析 概率与统计的综合问题 2019·全国Ⅰ，理 21；2017·全国Ⅰ，理 19； 2017·全国Ⅱ理 18，文 19 数学建模、 数学运算、 数据分析

    　教材链接高考——概率的运算，随机变量的分布列、均值与方差 [教材探究] 1.(必修 3P100 例 1) 一只口袋中装有大小相同的 5 只小球，其中 3 只白球、2 只黑球.从中一次摸出 2 只球. （1）共有多少个基本事件？（2）摸出的 2 只球都是白球的概率是多少？ 2.(选修 2-3 P69 例 1) 高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个口袋中装有 10 个红球、20 个白球，这些球除颜色外完全相同.某学生一次从中摸出 5 个球，其中红球的个数为 X ，求 X 的数学期望.

    　[试题评析] （1）本题是古典概型问题，可以通过列表穷举等的方法找寻基本事件，再从中选出符合要求的事件情形，通过“数”的方法，计算概率. （2）本题随机变量 X 为 5 个球中红球的个数，由于共有 30 个球，其中红球有 10 个，所以符合超几何分布模型，分布列为510 20530( )i iiC CP X XC  （ 0 1 2 3 4 5 i  ，，，，， ）， 继而利用50( ) ( )iiE X i P X 算出 X 的数学期望. 教材中的这两题是一脉相承的，分别在必修与选修中出现．同样是摸球问题，后题涉及到的

    　球的数量较大，计算概率时要用到组合数公式，并在此基础上研究随机变量的数学期望，可以说是遵循数学的发展和学习的需要.在解题过程中凸显数学建模、数学运算和数据分析等数学核心素养． 【教材拓展】(2018·天津卷 16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查． ①用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望； ②设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A发生的概率．

    　 【链接高考】(2019·天津卷理 16) 设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （1）用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （2）设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率.

    　 教你如何审题——统计与统计案例 【例题】

    　(2017·全国Ⅱ理 18) 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取 100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：

    　利用相互独立事件概率公式 利用公式计算2K与临界值比较 利用中位数估值公式 利用频率 估计概率 计算直方图面积 得到相应频数 计算直方图面积 得到相应频数

    　（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

    　箱产量  50kg 箱产量 ≥ 50kg 旧养殖法

    　 新养殖法

    　 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到 0．01) 附：

    　2( ) P K k ≥

    　0.050

    　0.010

    　 0.001 k

    　3.841

    　6.635

    　 10.828 22( )( )( )( )( )n ad bcKa b c d a c b d   

    　[审题路线]

    　 新养殖法 旧养殖法频率/组距箱产量/kg 箱产量/kg频率/组距0 35 40 45 50 55 60 65 700.0680.0460.0440.0200.0100.0080.00470 65 60 55 50 45 40 35 30 25 00.0400.0340.0320.0240.0200.0140.012填写 2 2  列联表 分析频率分布 直方图 分析频率分布 直方图 事件 A 的概率 填写 2 2  列联表 求2K 的值并判断 判断中位数所在 区间 估算中位数

    　 [自主解答]

    　探究提高 1.本题主要考查频率分布直方图、相互独立事件的概率、独立性检验和中位数等统计中的相关知识，突出数形结合思想和数据分析等核心素养，准确计算是求解的关键. 2.需要熟练掌握分析频率分布直方图计算频率、用频率估计概率以及估算中位数等方法，掌握相互独立事件的概率公式，会利用 2 2  列联表计算2K 的值. 3.本题涉及统计与统计案例中的相关知识，解题时需要能正确认识统计图表并会利用图表中信息进行计算.

    　【尝试训练】(2020·山东高考模拟卷 20)

    　满分答题示范——概率与统计的综合问题 【例题】

    　(12 分)(2017·全国Ⅰ理 19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2( , ) N   ． (1)假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 )       之外的零件数，求 ( 1) P X ≥ 及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 )       之外的零件，就认为这条生产线

    　在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：

    　9．95 10．12 9．96 9．96 10．01 9．92 9．98 10．04 10．26 9．91 10．13 10．02 9．22 10．04 10．05 9．95 经计算得16119.9716iix x ，16 162 2 21 11 1( ) ( 16 )16 16i ii is x x x x      0.212  ，其中ix 为抽取的第 i 个零件的尺寸， i =1，2，…，16． 用样本平均数 x 作为  的估计值 ˆ  ，用样本标准差 s 作为  的估计值 ˆ  ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计 和 

    　(精确到 0．01)． 附：若随机变量 Z 服从正态分布2( , ) N   ，则 ( 3 3 ) P Z         = 0．997 4，160.9974 0.9592  ， 0.008 0.09  ． [规范解答] (1)抽取的一个零件的尺寸在 ( 3 , 3 )       之内的概率为 0．9974， 从而零件的尺寸在 ( 3 , 3 )       之外的概率为 0．0026，故 ~ (16,0.0026) X B ． 因此16( 1) 1 ( 0) 1 0.9974 0.0408 P X P X        ．

    　············································································· 2 分 (得分点 1) X 的数学期望为 16 0.0026 0.0416 EX    ．

    　············································································· 4 分 (得分点 2) （2）①如果生产状态正常，一个零件尺寸在 ( 3 , 3 )       之外的概率只有 0．0026，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在 ( 3 , 3 )       之外的零件的概率只有 0．0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．

    　············································································· 6 分 (得分点 3) ②由 9.97, 0.212 x s   ，得  的估计值为 ˆ 9.97   ，  的估计值为 ˆ 0.212   ，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 ˆ ˆ ˆ ˆ ( 3 , 3 )       之外，因此需对当天的生产过程进行检查．

    　 ············································································· 8 分 (得分点 4) 剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ ( 3 , 3 )       之外的数据 9．22，剩下数据的平均数为 1(16 9.97 9.22) 10.0215   ，因此  的估计值为 10．02．

    　············································································· 9 分 (得分点 5) 162 2 2116 0.212 16 9.97 1591.134iix    ，

    　············································································· 10 分 (得分点 6) 剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ ( 3 , 3 )       之外的数据 9．22，剩下数据的样本方差为 2 21(1591.134 9.22 15 10.02 ) 0.00815    ， 因此  的估计值为 0.008 0.09  ．

    　············································································· 12 分 (得分点 7)

    　[高考状元满分心得] ❶得审题分：本题作为实际应用题，正确审题并准确转化是解题的前提．在第(1)问中，需要读懂 ( 3 3 ) P Z         =0．997 4 的含义，从而计算 ( 1) P X ≥ 及 X 的数学期望．在第(2) ①问中，需要理解方法的合理性与否是根据发生概率的大小作判断，所以答题要有理由的陈述． ❷得关键分：得分点 1 是一个关键分，涉及到后续的 X 的数学期望计算和第(2) ①问的作答．得分点 4 是另一个关键分，要准确算出 ˆ 9.97   ， ˆ 0.212   并由此判断有一个零件的尺寸在ˆ ˆ ˆ ˆ ( 3 , 3 )       之外． (1)，(2)验证 n＝1，(3)对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分. ❸得计算分：概率统计问题涉及计算的准确性是得满分的根本保证，本题除了得分点 3 之外，其它都是计算分，需要“步步为赢”，确保每一步的计算都准确无误． [构建模板] 第一步：理解关联表达式的含义，求出 ( 1) P X ≥ 及 X 的数学期望； 第二步：利用 3  原则判断监控生产过程方法的合理性； 第三步：确定 ˆ ˆ ˆ ˆ ( 3 , 3 )       的取值，以剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ ( 3 , 3 )       之外的数据，再用剩下的数据估计  和  ． 【规范训练】

    　(2019·石家庄调研)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．今

    　年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了 100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：

    　（1）求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

    　（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ，σ 2 )，利用该正态分布，求 Z 落在(14.55，38.45)内的概率； ②将频率视为概率，若某人从某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为 X，求 X 的分布列和数学期望． 附：计算得所抽查的这 100 包速冻水饺的质量指标值的标准差为 σ＝ 142.75≈11.95；若ξ～N(μ，σ 2 )，则 P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4．

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