第2课时 函数定义域与值域
第 第 2 课时
函数的定义域与值域 题型一 函数的定义域
1 .函数 f(x) =ln(4x -x 2 )+ +1x -2 的定义域为 为(
) A .(0,4)
B .[0,2) ∪(2,4] C .(0,2) ∪(2,4)
D .(- - ∞, ,0) ∪(4 ,+∞ ∞) 【答案】C 【解析】
要使函数有意义,则 4x -x 2 >0, ,x -2 ≠0, , 得 解得 0<x<4 且 且 x ≠2. 2 .(2020· 安徽江南十校模拟) 函数 y= =- -x 2 + +2x +3lg x +1 的定义域为(
) A .( -1,3]
B .( -1,0) ∪(0,3] C .[ -1,3]
D .[ -1,0) ∪(0,3] 【答案】B 【解析】
要使函数有意义,x 需满足 - -x 2 + +2x +3 ≥0, ,x +1>0, ,x +1 ≠1, ,
解得-1<x<0 或 或 0<x ≤3 ,所以函数的定义域为( -1,0) ∪(0,3] . 3 .若函数 f(x) 的定义域为[0,8] ,则函数g(x)= =f 2x 8 -2 x 的定义域为________ . 【答案】[0,3) 【解析】
依题意有 0 ≤2x ≤8, ,8 -2 x >0, , 得 解得 0 ≤x<3 , ∴ ∴g(x) 的定义域为[0,3) . 思维升华
(1) 根据具体的函数解析式求定义域的策略 已知解析式的函数,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式 式( 组) ,得出不等式( 组) 的解集即可. (2) 求抽象函数的定义域的策略 ①数 若已知函数 f(x) 的定义域为[a ,b] ,则数 复合函数 f(g(x)) 的定义域由不等式a ≤g(x) ≤b 求出; ②数 若已知函数 f(g(x)) 的定义域为[a ,b], ,则 则 f(x) 的定义域为 g(x)在 在 x ∈[a ,b] 上的值域. (3) 求函数定义域应注意的问题 ① 不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化; ② 定义域是一个集合,要用集合或区间表
示,若用区间表示数集,不能用 “ 或 ” 连接,而应该用并集符号 “ ∪ ” 连接.
题型二 函数的值域
例 例 1
求下列函数的值域:
(1)y =x 2 - -2x +3 ,x ∈[0,3) ; (2)y= = 2x +1x -3; ; (3)y =2x- - x -1 ; (4)y= = x +1+ + x -1. 【答案】
【解析】(1)( 配方法)y =x 2 - -2x +3 =(x- -1) 2 + +2 , 由 由 x ∈[0,3) , 再结合函数的图像 像( 如图 ① 所示) ,可得函数的值域为[2,6) .
(2)( 分离常数法)y= = 2x +1x -3= 2 x -3 +7x -3=
2+ +7x -3 ,, 显然7x -3 ≠≠0, ,∴ ∴y ≠2. 故函数的值域为(- - ∞, ,2) ∪(2 ,+∞ ∞) . (3)( 换元法)设 设 t= = x -1 ,则 x =t 2 + +1 ,且t ≥0 , ∴ ∴y =2(t 2 + +1) -t =2 t- - 142 + 158, , 由 由 t ≥0 ,再结合函数的图像 像( 如图 ② 所示), ,可得函数的值域为 158,+∞ ∞ . (4) 函数的定义域为[1 ,+∞ ∞) , ∵ ∵y= = x +1与 与 y= = x -1 在[1 ,+∞ ∞) 上均为增函数, ∴ ∴y= = x +1+ + x -1 在[1 ,+∞ ∞) 上为增函数, ∴当 当 x =1 时,y min = = 2 ,即函数的值域为[ 2 ,+∞ ∞) . 思维升华
求函数值域的一般方法 (1) 分离常数法;(2) 配方法;(3) 不等式法;(4) 单调性法;(5) 换元法;(6) 数形结合法;(7) 导数法. 跟踪训练1
求下列函数的值域:
(1)y= = 2x --12 x + +1 ;;
(2)y= =12log x +12 x ,,x ∈[1,2) ; (3)y= = x2 --x +2x -1(x>1) . 【答案】
】
【解析】(1) 方法一
y= = 2x --12 x + +1 ==1- -22 x + +1 ,, ∵ ∵2 x >0, ,∴ ∴2 x + +1>1 , ∴ ∴0<22 x + +1 <2,, ∴- -1<1- -22 x + +1 <1 , ∴ 函数的值域为( -1,1) . 方法二
由 由 y= = 2x --12 x + +1 得得 2 x = y +11 -y ,, 又∵ ∵2 x >0 , ∴ y +11 -y >0 ,即(y +1)(y -1)<0 ,即-1<y<1. ∴ 函数的值域为( -1,1) . (2) 函数 y= =12log x +12 x 在在[1,2) 上为减函数, 当 当 x =1 时,y= = 12 当,当 x =2 时,y =-1+ + 14=- 34 ,, ∴ - 34 <y≤≤ 12 ,,
∴ 函数的值域为 - 34 , 12. (3)令 令 t =x -1, ,∴ ∴t>0 ,x =t +1 , ∴ ∴y= = t +1 2 - - t +1 +2t= t2 ++t +2t= =t+ + 2t+ +1 ≥2 2 +1 , 当 当且仅当 t= = 2t 即即 t= = 2 时取等号, ∴ 函数的值域为[2 2 +1 ,+∞ ∞) .
题型三 定义域与值域的应用
例 例 2
(1)(2021· 广州模拟) 若函数 f(x)= =ax 2 + +abx +b 的定义域为{x|1 ≤x ≤2} ,则a +b 的值为________ . 【答案】
- 92
【解析】数 函数 f(x) 的定义域是不等式 ax 2+ +abx +b ≥0 的解集.不等式 ax 2 + +abx+ +b ≥0 的解集为{x|1 ≤x ≤2} , 所以 a<0, ,1 +2 =-b, ,1 ×2= = ba ,解得 a =- 32 ,b =-3, , 以 所以 a +b =- 32 --3 =- 92 . (2) 已知函数y= = x 2 + +ax -1 +2a 的值域为[0 ,+∞ ∞) ,求 a 的取值范围. 【答案】
【解析】令 令 t =g(x) =x 2 + +ax -1 +2a ,要数 使函数 y= = t 的值域为[0 ,+∞ ∞) ,则说明[0 ,+∞ ∞)⊆ ⊆
{y|y =g(x)} ,即函数 g(x) 对应的一元二次方程的判别式 Δ ≥0 ,即 a 2 - -4(2a -1) ≥0, ,即 即 a 2 - -8a +4 ≥0 ,解得 a ≥4 +2 3或 或 a ≤4
- -2 3, ,∴ ∴a 的取值范围是{a|a ≥4 +2 3或 或a ≤4 -2 3} . 思维升华
已知函数的定义域、值域求参数问题,可通过分析函数解析式的结构特征,结合函数的图 像 、性质、转化为含参数的方程( 组) 、不等式( 组) ,然后求解. 练 跟踪训练 2
(1) 若函数 f(x) =ln(ax -1)在 在(2 ,+∞ ∞) 上有意义,则实数 a 的取值范围为 为________ . 【答案】
12 ,+∞ ∞ 】
【解析】数 要使函数 f(x) =ln(ax -1) 有意义,则 则 ax -1>0 , 即 即 ax -1>0 在(2 ,+∞ ∞) 上恒成立, ∴ a>0, ,2a -1 ≥0, ,得 解得 a≥ ≥ 12 . (2) 已知函数 f(x)= = 12 (x -1) 2 + +1 的定义域与值域都是[1 ,b](b>1) ,则实数 b= =________. 【答案】3 【解析】f(x)= = 12 (x -1) 2 + +1 ,x ∈[1 ,b]且 且b>1 , 则 则 f(1) =1 ,f(b)= = 12 (b -1) 2 + +1 , ∵ ∵f(x) 在[1 ,b] 上为增函数,
∴ 函数值域为 1, , 12 b -1 2 + +1 . 由已知得 12 (b -1) 2 + +1 =b ,解得 b =3 或 或 b= =1( 舍) .
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【百家讲坛】 日期:2021-08-14
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