一元微分学概念性质与计算讲义
一元微分学的概念 性质与计算 讲义
一、考试内容
(一)
导数与微分的概念与性质
, 函数 在点 处 可导, 则其所示曲线在点 处有切线,反之不然.
(二)
基本函数的导数 及高阶导数表
;
, . (三)
导数与微分的运算法则
, 对幂指函数也可用对数求导法,其适用于幂指函数、连乘、连除、开方、乘方等;
;
(0) 00 000 0( ) ( ) ( )(0) lim , ( ) lim ( ) ,fx hf x mh f x nh f mxf a ma f x a m n ax h 00 0 0 0 0 0 0( ) "( ) "( ) ,lim ( ) ( ) "( ) "( ) ( )x xf x a f x f x a f x f x f x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) "( ), ( ( )) "( ) ( ) "( ) "( ) "( ) , y x A x x o x A x y x dy u x y u du x y u u x dx y x dx ( ) f x0x0x2 22 21[ln( )]" , x x ax a 2 21 1( ln )" ,2a xa a x a x 11,1(ln )" ,( )" ,[( ) ]" ( 1)( )1,n nx ax x a x a x a n x a x ax a x ( ) ( ) ( 1) ( )101 ( 1) !( ) ! ,( ) ln ,[ln( )] ( ) ,( )nm n x n x n n nnn m nmn mnx n n m a a a x ax a x aA x n m ( )(sin ) sin( 2)n nax a ax n ( )(cos ) cos( 2)n nax a ax n ( ) ( ) ( )( )[ ( ) ] ( ) [ ( )ln ( )] ( ) [ "( ) "( )ln ( )]( )v x v x v xv xd u x u x d v x u x u x u x v x u x dxu x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20[ ( ) ( )] ( ) ( ),[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]nn n n n k n k knkk u x k v x k u x k v x u x v x C u x v x
设 二阶可导,且 ,则 , ;
设 二阶可导,若 由 所确定, 则
, .
二、典型例题
题型一
可导性的判定
1、设函数 在 处连续,则 是 的(A) (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也非必要条件 2 2 、设 ,则 是 的(B) (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也非必要条件 注 1:
是 的(C) ,但 是的(B) . 提示:取 ,则 ,但 在 处非右连续. 注 2:若设函数 在 处连续,则 是的(D),但 是 的(A).
3、设 存在但不相等,则下列命题正确的是(B) (A) 在 处不连续 (B) 在 处连续但不可导
(C) 为 的跳跃间断点 (D) 为 的跳跃间断点 注 1:
为 的跳跃间断点 存在但不相等; ) (x f y " 0 y "( ) 1 " x y y 3""( ) "" " x y y y ( ), ( ) x t y t ( ) y y x ( ), ( ) x x t y y t "( ) "( ) "( ) y x y t x t 3""( ) [ "( ) "( )] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) y x d y t x t dx t y t x t y t x t x t ) (x f0x x 010lim( ) ( )x xx x f x a 0( ) f x a 0 ) 0 ( f220lim ( 1)xxx f e a "(0) f a 220lim ( 1)xxx f e a "(0) f a1lim ( )nnf n a "(0) f a0,( )1,x Qf xx Q 1( ) 0 fn ( ) f x 0 x ) (x f 0 x 220lim ( 1)xxx f e a "(0) f a 220lim ( 1)xxx f e a "(0) f a0 0"( ), "( ) f x f x ( ) f x0x x ( ) f x0x x 0x x ( ) f x0x x "( ) f x0x x "( ) f x 0 0"( ) "( ) f x f x ,
为 的可去间断点 存在且相等; 注 2:设 在 处连续,且 存在且相等 在处连续. 4、设 在 处连续,则下列命题正确的个数为(D) (1) 若 在 处可导,则
(2) 若 在 处连续,则
(3) 若 ,则
(4) 若 ,则 (A)
(B)
(C)
(D)
5、函数 不可导点的个数为 . 6、设 , 在 连续,但不可导,又 存在,求证:
是 在 可导的充要条件. 题型二
求导(微)的计算
例 1、设 ,求 . 例 2、设 ,求 . 例 3、设 ,求 . 例 4、函数 可导, 当自变量 在 处取得增量时,相应的函数增量 的线性主部为 ,则.(提示:
) 例 5、设 是方程 所确定的函数,求 及. 0x x "( ) f x 0 0"( ) "( ) f x f x ,( ) f x0x x 0 0"( ) "( ) f x f x , "( ) f x0x x 00( ),( ),g x x xf xa x x 0x( ) g x0x0 0"( ) "( ) f x g x "( ) g x0x0 0"( ) "( ) f x g x 0 0"( ) "( ) g x g x b 0"( ) f x b 0 0"( ) "( ) g x g x b 0"( ) f x b 1 2 3 42 2( ) ( ) 2 f x x x x x 1( ) ( ) ( ) F x g x x ( ) x x a ( ) g a ( ) 0 g a ( ) F x x a ) ( ) 2 )( 1 () ( ) 2 )( 1 () (n x x xn x x xx f ) 1 (f xex y "( ) y x2 2[ln( 1 )] 1 f x x x )] 1 [ln(2x x f ) (u f ) (2x f y x 1 x1 . 0 x y 0.1 (1)f 0.52 2[ ( )]" 2 "( ) dy f x x xf x x ) (x f y 0 xy e ex y) 0 (y) 0 (y
例 6、
求 . 例 7、设严格单调函数 具有二阶导数,其反函数为且满足 ,则 . 例 8、设 二阶可导,且 ,求
求 . 例 9、设 是由方程组 所确定的隐函数,求. 例 例 0 10 、 已 知 是 由 方 程 确 定 , 则 .
例 11、求函数 的导数 . 例 例 1 12 2 、对于函数
,问选取怎样的系数才能使得 处处具有一阶连续导数,但在 处却不存在二阶导数. 题型三
高阶 导 数 的计算
例 1、设 ,则 .例 2、设 ,求 . 例 3、设 ,求 . 例 4、设 ,求 , . 三 、 课后 练 习 2 2arctany x eyx dy( ) y f x ( ), x y (1) 1, (1) 2, (1) 3 f f f (1) 3 8) (t f 0 ) ( tf ) ( ) () (t f t f t yt f x22dxy d) (x f y 0 1 sin3 2 32y t et t xy202| td ydx x f y 1 ln cos x y xy lim 2 1nn f n 2) 1 1 )( 1 ( x x x yy 0 ) 1 ln(0) (2x xx c bx axx fc b a , , ) (x f 0 x50 2) 5 4 ( x y ! 100 4 50) 100 ( y2 13 ( 2) y x x x ) (nyx x y4 4cos sin ( ) ( 1)4 cos(4 2)n ny x n 2 1( 2) (cos4 )n ny x x x ) () (x fn) 1 () (nf
1(A)、设 存在,则 . 2(A)、设 在 处连续,且 ,则 . 3(B)、若 ,且 ,则 . 4(A)、设函数 在 处连续,下列命题错误的是( ) (A)若 存在,则
(B)若 存在,则
(C)若 存在,则 存在(D)若 存在,则 存在 5(A)、设 ,则 在点 可导的充要条件是( ) (A) 存在
(B) 存在
(C) 存在 (D)
6(B)、设 可导, ,则 是 在处可导的( ) (A) 充要条件 (B)充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件 7(A)、函数 不可导点的个数是 . 8(A)、设 则使 存在的最高阶数 为( ) (A)0
(B)1
(C)2
(D)3
9(B)、设 ,则 在 内( )
(A) 处处可导(B) 恰有一个不可导点
(C)恰有两个不可导) (0xf 10 00lim [ ( ) ( 2 )]xx f x x f x x ) (x f 2 x2 12lim( 4) ( ) 3xx f x (2)f (0) 0 f (0)= f a 3 2 30lim [ ( ) 2 ( )]xx x f x f x ) (x f 0 x 10lim ( )xx f x(0) 0 f 10lim [ ( ) ( )]xx f x f x 0 ) 0 ( f10lim ( )xx f x"(0) f10lim [ ( ) ( )]xx f x f x "(0) f0 ) 0 ( f ) (x f 0 x20lim (1 cosh)hh f10lim (1 )hhh f e20lim (tan sin )hh f h h10lim [ (tan ) (sin )]hh f h f h) (x f ) sin 1 )( ( ) ( x x f x F 0 ) 0 ( f ) (x F 0 xx x x x x f 3 2) 2 ( ) (3 2( ) 3 , f x x x x ( ) (0) nf nnnnx x f31 lim ) ( ( ) f x ) , (
点 (D) 至少有三个不可导点 10(A)、设 ,其中 是有界函数,则在 处( ) (A)极限不存在 (B) 极限存在,但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导点 11(B)、设 在 处连续,则下列命题正确的个数为( ) (1) 若 ,则
(2) 若 ,则 (3) 若 , 则
(4) 若,则
(A)
(B)
(C)
(D)
12(A)、设 为不恒等于零的奇函数,且 存在,则 为的( ) (A) 连续点
(B) 跳跃间断点
(C) 可去间断点 (D) 第二类间断点
13(A)、若 为偶函数,且 存在,求证:
. 14(A)、设函数 的图形如图所示,则在 处的 及的正负号为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2(1 cos ) 0( )( ) 0x x xf xx g x x ) (x g ) (x f0 x000( )( )( )g x x xf x a x xh x x x 0x0 0"( ) "( ) g x h x b 0"( ) f x b 0 0"( ) "( ) g x h x b 0"( ) f x b 0 0"( ) "( ) g x h x b 0"( ) f x b 0 0"( ) "( ) g x h x b 0"( ) f x b 1 2 3 4) (x f ) 0 (f 0 x ( ) ( ) g x f x x ) (x f ) 0 (f 0 ) 0 ( f) (x f y 0x dy dy y 0 , 0 dy y dy 0 , 0 dy y dy0 , 0 dy y dy 0 , 0 dy y dy y
15(A)、设 可微, , 则 . 16(A)、设 在 的某邻域内可导,且 , ,则 .
0
17(A)、设函数 ,其中 为正整数,则=( ) . 18、计算下列导数(微分):
(1)(A)设 ,则 . (2)(A)设 ,求 . (3)(A)若 由 确定,则 . (4)(B)设 ,其中 具有二阶导数,且 ,求. (5)(A)设 ,其中 可导,且 ,则 . (6)(A)设 由 所确定,则 . (7)(B)设函数 则 . (8)(B)设 ,则 . (9)(A)设 ,则 . (10)(A) 则 . (11)(B)设函数 ,则当 , . 19(A) 、设 ,则
. ( ) g x1 ( )( ) e , (1) 1, (1) 2g xh x h g (1) g ( ) f x 2 x ef xf x 2 1 f 2f0x x x 0x2( ) ( 1)( 2)x x nxf x e e e n …( - )
n"(0) f2ln (1 ) (1 ) y x x (0)y23 [(1)( 7)] [ (1 )] y x x x x (1)y) (x f y 0 1 62 x xy ey(0)y) ( y x f y f " 1 f ""( ) y x ) 1 () (3te f yt f x f 0 ) 0 ( f0 tdydx) (x y y 2 3) 1 ln(t t yt t x22d ydxln , 1( )= , ( ( )),2 1, 1x xf x y f f xx x 2=xdydx 2 3( ) max , , , (0,2) f x x x x x ( ) f x ( ) (1 ) (1 ) f x x x ( ) ( ) nf x ln(1 2 ) y x ,( ) (0) ny ) 1 ln( ) (2x x x f 3 n( ) (0) nf 0( ) lim (1 3 ) x ttf x x t "( ) f x
2 20 0(A)、 、 设函数 由方程 确定,则.
2 21 1(A) 、定义于 上的 , 为常数,且在 上, ,
(1) 在 上, ;(2) 若 在 处可导,则. 22(A) 、设
问 取何值时, 可导?
23(A)、设 讨论 在 处的连续性.
24(B)、 的导数在 处连续,则 (连续). 25(B)、设 ,求 的导数,并讨论的连续性. 26(B)、设
, 则 . 27(B)、设 可导, 当自变量 在 处取得增量时,相应的函数增量 的线性主部为 ,则.
) (x f y ) 1 ( y xe x y lim 1 1nn f n R ( ) ( 2) f x kf x k [0, 2]2( ) ( 4) f x x x [ 2,0] ( ) f x ( ) f x 0 x k , 1
,, 1
, 2 ) 1 sin() (x b axx xx f b a, ) (x f2arctan ,
0,( )0,
0,x x xf xx ) (xf 0 x10, cos ,( )0, 0,x x xf xx 0 x 30( )0 0x x xf xx )] ( [ ) ( x f f x ) (x t t t yt t x4 5220 0 0= , = ? , =t t tdx dy dydt dt dx ) (u f22(log ) y f x x 1 x0.01 x y 0.02 (0)f
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【寓言童话】 日期:2020-09-23
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